Взаимная корреляционная функция. Представление сигнала с помощью ортогональных функций. Функция взаимной корреляции

Корреляция – математическая операция, схожа со свёрткой, позволяет получить из двух сигналов третий. Бывает: автокорреляция (автокорреляционная функция), взаимная корреляция (взаимнокорреляционная функция, кросскорреляционная функция). Пример:

[Взаимная корреляционная функция]

[Автокорреляционная функция]

Корреляция - это техника обнаружения заранее известных сигналов на фоне шумов, ещё называют оптимальной фильтрацией. Хотя корреляция очень похожа на свёртку, но вычисляются они по-разному. Области применения их также различные (c(t)=a(t)*b(t) - свертка двух функций, d(t)=a(t)*b(-t) - взаимная корреляция).

Корреляция – это та же свёртка, только один из сигналов инвертируется слева направо. Автокорреляция (автокорреляционная функция) характеризует степень связи между сигналом и его сдвинутой на τ копией. Взаимнокорреляционная функция характеризует степень связи между 2-мя разными сигналами.

Свойства автокорреляционной функции:

• 1) R(τ)=R(-τ). Функция R(τ) – является чётной.
• 2) Если х(t) – синусоидальная функция времени, то её автокорреляционная функция – косинусоидальная той же частоты. Информация о начальной фазе теряется. Если x(t)=A*sin(ωt+φ), то R(τ)=A 2 /2 * cos(ωτ).
• 3) Функция автокорреляции и спектра мощности связаны преобразованием Фурье.
• 4) Если х(t) – любая периодическая функция, то R(τ) для неё может быть представлена в виде суммы автокорреляционных функций от постоянной составляющей и от синусоидально изменяющейся составляющей.
• 5) Функция R(τ) не несёт никакой информации о начальных фазах гармонических составляющих сигнала.
• 6) Для случайной функции времени R(τ) быстро уменьшается с увеличением τ. Интервал времени, после которого R(τ) становится равным 0 называется интервалом автокорреляции.
• 7) Заданной x(t) соответствует вполне определённое R(τ), но для одной и той же R(τ) могут соответствовать различные функции x(t)

Исходный сигнал с шумами:

Автокорреляционная функция исходного сигнала:

Свойства взаимной корреляционной функции (ВКФ):

• 1) ВКФ не является ни чётной ни нечётной функ¬цией, т.е. R ху (τ) не равно R ху (-τ).
• 2) ВКФ остаётся неизменной при перемене чередования функций и изменений знака аргумента, т.е. R ху (τ)=R ху (-τ).
• 3) Если случайные функции x(t) и y(t) не содержат постоянных составляющих и создаются независимыми источниками, то для них R ху (τ) стремится к 0. Такие функции называются некоррелированными.

Исходный сигнал с шумами:

Меандр той же частоты:

Корреляция исходного сигнала и меандра:

Внимание! Каждый электронный конспект лекций является интеллектуальной собственностью своего автора и опубликован на сайте исключительно в ознакомительных целях.

Взаимнокорреляционная функция - стандартный метод оценки степени корреляции двух последовательностей. Она часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной. Рассмотрим два ряда f и g. Взаимная корреляция определяется по формуле:

$(f\backslash star\; g)\_i\; \backslash \; \backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\}\}\{=\}\backslash \; \backslash sum\_j\; f^*\_j\backslash ,g\_\{i+j\}$,

где $i$ - сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение . В общем случае, для непрерывных функций f (t ) и g (t ) взаимная корреляция определяется как

$(f\; \backslash star\; g)(t)\backslash \; \backslash stackrel\{\backslash mathrm\{def\}\}\{=\}\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\{\backslash infty\}\; f^*(\backslash tau)\backslash \; g(t+\backslash tau)\backslash ,d\backslash tau,$

Если $X$ и $Y$ - два независимых случайных числа с функциями распределения вероятностей соответственно f и g , тогда взаимная корреляция f $\backslash star$ g соответствует распределению вероятностей выражения $-X\; +\; Y$. Напротив, свёртка f $*$ g соответствует распределению вероятностей суммы $X\; +\; Y$.

Свойства

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязанны:

$f(t)\backslash star\; g(t)\; =\; f^*(-t)*g(t)$

поэтому, если функции f и g чётны, то

$(f\backslash star\; g)\; =\; f*g$

Также: $(f\backslash star\; g)\backslash star(f\backslash star\; g)=(f\backslash star\; f)\backslash star\; (g\backslash star\; g)$

См. также.

Напишите отзыв о статье "Взаимнокорреляционная функция"

Ссылки

• функция в MATLAB

Отрывок, характеризующий Взаимнокорреляционная функция

Анатоль был всегда доволен своим положением, собою и другими. Он был инстинктивно всем существом своим убежден в том, что ему нельзя было жить иначе, чем как он жил, и что он никогда в жизни не сделал ничего дурного. Он не был в состоянии обдумать ни того, как его поступки могут отозваться на других, ни того, что может выйти из такого или такого его поступка. Он был убежден, что как утка сотворена так, что она всегда должна жить в воде, так и он сотворен Богом так, что должен жить в тридцать тысяч дохода и занимать всегда высшее положение в обществе. Он так твердо верил в это, что, глядя на него, и другие были убеждены в этом и не отказывали ему ни в высшем положении в свете, ни в деньгах, которые он, очевидно, без отдачи занимал у встречного и поперечного.
Он не был игрок, по крайней мере никогда не желал выигрыша. Он не был тщеславен. Ему было совершенно всё равно, что бы об нем ни думали. Еще менее он мог быть повинен в честолюбии. Он несколько раз дразнил отца, портя свою карьеру, и смеялся над всеми почестями. Он был не скуп и не отказывал никому, кто просил у него. Одно, что он любил, это было веселье и женщины, и так как по его понятиям в этих вкусах не было ничего неблагородного, а обдумать то, что выходило для других людей из удовлетворения его вкусов, он не мог, то в душе своей он считал себя безукоризненным человеком, искренно презирал подлецов и дурных людей и с спокойной совестью высоко носил голову.
У кутил, у этих мужских магдалин, есть тайное чувство сознания невинности, такое же, как и у магдалин женщин, основанное на той же надежде прощения. «Ей всё простится, потому что она много любила, и ему всё простится, потому что он много веселился».
Долохов, в этом году появившийся опять в Москве после своего изгнания и персидских похождений, и ведший роскошную игорную и кутежную жизнь, сблизился с старым петербургским товарищем Курагиным и пользовался им для своих целей.
Анатоль искренно любил Долохова за его ум и удальство. Долохов, которому были нужны имя, знатность, связи Анатоля Курагина для приманки в свое игорное общество богатых молодых людей, не давая ему этого чувствовать, пользовался и забавлялся Курагиным. Кроме расчета, по которому ему был нужен Анатоль, самый процесс управления чужою волей был наслаждением, привычкой и потребностью для Долохова.

Взаимные корреляционные функции сигналов

Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположение друг относительно друга по координате (независимой переменной). Обобщая формулу (6.1) автокорреляционной функции на два различных сигнала s(t) и u(t), получаем следующее скалярное произведение сигналов:

B su (t) =s(t) u(t+t) dt. (6.14)

Взаимная корреляция сигналов характеризует определенную корреляцию явлений и физических процессов, отображаемых данными сигналами, и может служить мерой “устойчивости” данной взаимосвязи при раздельной обработке сигналов в различных устройствах. Для конечных по энергии сигналов ВКФ также конечна, при этом:

|B su (t)| £ ||s(t)||×||u(t)||,

что следует из неравенства Коши-Буняковского и независимости норм сигналов от сдвига по координатам.

При замене переменной t = t-t в формуле (6.2.1), получаем:

B su (t) =s(t-t) u(t) dt =u(t) s(t-t) dt = B us (-t).

Отсюда следует, что для ВКФ не выполняется условие четности, B su (t) ¹ B su (-t), и значения ВКФ не обязаны иметь максимум при t = 0.

Это можно наглядно видеть на рис. 6.6, где заданы два одинаковых сигнала с центрами на точках 0.5 и 1.5. Вычисление по формуле (6.14) с постепенным увеличением значений t означает последовательные сдвиги сигнала s2(t) влево по оси времени (для каждого значения s1(t) для подынтегрального умножения берутся значения s2(t+t)). При t=0 сигналы ортогональны и значение B 12 (t)=0. Максимум В 12 (t) будет наблюдаться при сдвиге сигнала s2(t) влево на значение t=1, при котором происходит полное совмещение сигналов s1(t) и s2(t+t).

Рис. 6.6. Сигналы и ВКФ

Одни и те же значения ВКФ по формулам (6.14) и (6.14") наблюдаются при одном и том же взаимном положении сигналов: при сдвиге на интервал t сигнала u(t) относительно s(t) вправо по оси ординат и сигнала s(t) относительно сигнала u(t) влево, т.е. B su (t) = B us (-t).

На рис. 6.7 приведены примеры ВКФ для прямоугольного сигнала s(t) и двух одинаковых треугольных сигналов u(t) и v(t). Все сигналы имеют одинаковую длительность Т, при этом сигнал v(t) сдвинут вперед на интервал Т/2.

Рис. 6.7. Взаимноковариационные функции сигналов

Сигналы s(t) и u(t) одинаковы по временному расположению и площадь "перекрытия" сигналов максимальна при t=0, что и фиксируется функцией B su . Вместе с тем функция B su резко асимметрична, так как при асимметричной форме сигнала u(t) для симметричной формы s(t) (относительно центра сигналов) площадь "перекрытия" сигналов изменяется по разному в зависимости от направления сдвига (знака t при увеличения значения t от нуля). При смещении исходного положения сигнала u(t) влево по оси ординат (на опережение сигнала s(t) - сигнал v(t)) форма ВКФ остается без изменения и сдвигается вправо на такое же значение величины сдвига – функция B sv на рис. 6.7. Если поменять местами выражения функций в (6.14), то новая функция B vs будет зеркально повернутой относительно t=0 функцией B sv .

С учетом этих особенностей полное ВКФ вычисляется, как правило, отдельно для положительных и отрицательных запаздываний:

B su (t) =s(t) u(t+t) dt. B us (t) =u(t) s(t+t) dt. (6.14")

Взаимно корреляционная функция (ВКФ) представляет собой оценку корреляционных свойств между двумя случайными процессами и , представленными наблюдениями поля на двух профилях, на двух трассах и т.д.

Рассчитывается ВКФ по формуле:

(4.7)

где n - число точек в каждой реализации, т.е. по каждому профилю, трассе и т.д.

И - средние значения наблюденных данных по этим профилям, трассам.

При равенстве средних значений нулю: формула (4.7) упрощается

(4.8)

При m =0 значение ВКФ равно произведению значений поля для одноименных дискретов наблюдений по профилям, трассам и т.д.

При значение ВКФ равно произведению значений поля, смещенных на один дискрет. При этом будем полагать, что смещение на один дискрет влево последующего профиля, т.е. , относительно предыдущего, т.е. , соответствует положительному смещению, т.е. , а смещение вправо соответствует величине .

Поскольку при и при перемножаются разные значения поля, в отличие от расчета АКФ, то ВКФ не является четной функцией, т.е. .

При значение ВКФ равно произведению значений поля, смещенных уже на два дискрета и т.д.

На практике часто используется нормированная ВКФ, определяемая как (4.8)

где и - среднеквадратические отклонения значений поля для первого и второго профиля трассы.

ВКФ нашла применение при решении трех основных задач обработки геофизических данных:

1) Оценка корреляционных свойств сигнала при условии некоррелированности помехи между профилями, трассами и незначительном изменении формы сигнала от профиля к профилю (от трассы к трассе), что обычно выполняется на практике, поскольку расстояние между профилями выбирается таким образом, чтобы сигналы коррелировались между профилями, а помехи, наоборот, были бы некоррелированы. В сейсморазведке расстояния между сейсмоприемниками выбираются таким образом, чтобы нерегулярные волны-помехи были бы некоррелированы между соседними трассами. При этом ВКФ будет равна

т.е. при совпадении формы сигналов последняя сумма будет равна АКФ сигнала.

Следовательно, ВКФ более надежно оценивает корреляционные свойства сигнала по сравнению с АКФ.

2) Оценка простирания сигналов по положительным экстремумам ВКФ. Положительные экстремумы ВКФ указывают на наличие корреляции сигнала между профилями, трассами, поскольку значение аргумента , при котором достигается экстремум ВКФ, соответствует смещению сигнала на последующем профиле относительно его положения на предыдущем. Таким образом, по величине положительных экстремумов ВКФ определяется смещение сигнала от профиля к профилю, что и приводит к оценке простирания сигнала.

В случае сигналов (аномалий) различного простирания ВКФ имеет два или более положительных экстремумов.

На рис.4.2,а приведены результаты наблюдений физического поля по пяти профилям и соответствующие этим наблюдениям графики ВКФ, по которым определяется простирание сигналов, соответствующее их смещению на два дискрета от профиля к профилю.

В случае интерференции двух сигналов, как это изображено на рис.4.2,б, фиксируются два положительных экстремума при и , что в дальнейшем при суммировании данных по нескольким профилям в направлении простирания сигналов позволяет четко провести их разделение по площади съемки.

Наконец, резкое смещение экстремумов ВКФ для какой-либо пары профилей по сравнению с экстремумами соседних пар профилей позволяет использовать ВКФ для выделения нарушений в распределении поля, как это показано на рис.4.2,в. По такому смещению экстремумов ВКФ обычно картируются разломы с простиранием, близким к простиранию профилей геофизической съемки.

При обработке сейсмических записей построение ВКФ между данными соседних трасс обеспечивает оценку суммарной статической и кинематической поправок, определяемую абсциссой положительного экстремума ВКФ. При знании кинематики, т.е. скоростной характеристики временного разреза, нетрудно определить величину статической поправки.

Свойства автокорреляционных функций

Автокорреляционные функции играют большую роль в представлении случайных процессов и при анализе систем, оперирующих со случайными входными сигналами. Поэтому приведем некоторые свойства автокорреляционных функций стационарных процессов.

1. R x (0) = M(X 2 (t)) = D x (t).

2. R x (t) = R x (-t). Автокорреляционная функция является четной функцией. Это свойство симметрии графика функции исключительно полезно при вычислении автокорреляционной функции, так оно означает, что вычисления можно производить только для положительных t, а для отрицательных t можно их определить, используя свойство симметрии.

3.½R x (t)½£ R x (0). Наибольшее значение автокорреляционной функции, как правило, принимает при t = 0.

Пример . В случайном процессе X(t) = A Coswt, где А – случайная величина с характеристиками: М(А) = 0, D(A) = s 2 , найти М(Х), D(Х) и R x (t 1 ,t 2).

Решение . Найдем математическое ожидание и дисперсию случайного процесса:

М(Х) = М(A Coswt) = Coswt × М(А) = 0,

D(Х) = М((A Coswt-0) 2) = М(А 2) Cos 2 wt = s 2 Cos 2 wt.

Теперь найдем автокорреляционную функцию

R x (t 1 ,t 2) = М(А Coswt 1 × А Coswt 2) =

М(А 2) Coswt 1 × Coswt 2 = s 2 Coswt 1 × Coswt 2 .

Входной Х(t) и выходной Y(t) случайные сигналы системы можно рассматривать как двумерный векторный случайный процесс Введем числовые характеристики этого процесса.

Математическое ожидание и дисперсия векторного случайного процесса определяется как математическое ожидание и дисперсия его компонент:

Корреляционную функцию векторного процесса введем с помощью матрицы второго порядка:

где R xy (t 1 , t 2) взаимная корреляционная функция случайных процессов X(t) иY(t), определяемая следующим образом

Из определения взаимной корреляционной функции вытекает, что

R xy (t 1 ,t 2) = R yx (t 2 ,t 1).

Нормированной взаимной корреляционной функцией двух случайных процессов X(t), Y(t) называется функция

Определение. Если взаимная корреляционная функция случайных процессов X(t) и Y(t) равна нулю:

то случайные процессы называются некоррелироваными.

Для суммы случайных процессов X(t) и Y(t) автокорреляционная функция равна

R x + y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R xy (t 1 ,t 2) + R yx (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2).

Для некоррелированных случайных процессов X(t) и Y(t) автокорреляционная функция суммы случайных процессов равна сумме автокорреляционных функций

R x+y (t 1 ,t 2) = R x (t 1 ,t 2) + R y (t 1 ,t 2),

а значит и дисперсия суммы случайных процессов равна сумме дисперсий:

D x+y (t) = D x (t) + D y (t).

Если где X 1 (t), ..., X n (t) – некоррелированные случайные процессы, то и

При выполнении различных преобразований со случайными процессами часто удобно записывать их в комплексном виде.

Комплексным случайным процессом называется случайный процесс вида

Z(t) = X(t) + i Y(t),

где X(t) , Y(t) - действительные случайные процессы.

Математическое ожидание, корреляционная функция и дисперсия комплексного случайного процесса определяются следующим образом:

M(Z) = M(X) + i M(Y),

где знак * обозначает комплексное сопряжение;

Пример . Пусть случайный процесс , где w - постоянная величина, Здесь А и j - независимые случайные величины, причем М(А) = m A , D(A) = s 2 , а j - равномерно распределенная случайная величина на интервале . Определить математическое ожидание, корреляционную функцию и дисперсию комплексного случайного процесса Z(t).

Решение . Найдем математическое ожидание:

Используя равномерное распределение случайной величины j на интервале , имеем

Автокорреляционная функция случайного процесса Z(t) равна

Отсюда имеем

D z (t 1) = R z (t 1, t 1) = s 2 + m A 2 .

Из полученных результатов следует, что случайный процесс Z(t) стационарный в широком смысле.