В учебном пособии , а также в первой и второй части настоящего пособия исследовались стационарные (установившиеся) режимы работы электрической цепи, когда такие интегральные характеристики как показания электроизмерительных приборов - амперметров, вольтметров, ваттметров оставались неизменными в течение достаточно долгого интервала времени, когда наблюдаемая на экране осциллографа форма тока или напряжения также оставалась неизменной на каждом интервале периода Т . Это имело место в цепях, где действовали источники сигналов постоянного, синусоидального и негармонического периодического тока. В более общем случае задача анализа цепи сводится к изучению переходных процессов (характеристик) цепи, возникающих при переходе от одного стационарного режима к другому. Переходные процессы могут быть вызваны включением, отключением или переключением каких либо элементов в цепи, где действуют источники энергии. Такое изменение структуры цепи называется коммутацией.
Коммутацию в цепи показывают в виде ключа, сопротивление которого равно нулю, если ключ замкнут, и бесконечно велико, если ключ разомкнут. На схемах обычно изображают положение ключа в докоммутационный период; считается, что в момент времени t = 0 ключ переходит (мгновенно) в другое положение, после чего в цепи наступает переходный процесс. Токи и напряжения в отдельных элементах цепи приходят к новым установившимся состояниям. Этот процесс не происходит мгновенно, так как при наличии в цепи реактивных элементов - индуктивностей и емкостей - энергия магнитного и электрического поля, запасенная в этих элементах, не может изменяться скачком, а имеет тенденцию монотонного непрерывного изменения с некоторой скоростью. Этот вывод математически записывается в виде двух законов коммутации:
Потокосцепление в индуктивности не может изменяться скачком:
Если в процессе коммутации индуктивность не меняет своей величины (L (-) = L (+)), то как следствие имеем равенство тока в индуктивности в первый момент до и после коммутации. Это же условие непрерывности функции тока будет иметь место в любой момент времени t :
или
;
(3.2)
Заряд на емкости не может изменяться скачком
или
.
(3.3)
Если в процессе коммутации емкость не меняет своей величины (С (-) = С (+)), то, как следствие, имеем равенство напряжений на емкости до и после коммутации. Это же условие непрерывности функции напряжения будет иметь место в любой момент времени t
или
.
(3.4)
Функции тока i L и напряжения u C , изменяющиеся монотонно, без скачков, играют ключевую роль при анализе переходных процессов; они носят название переменных состояния. Все остальные переменные (например, токи и напряжения в резистивных элементах) однозначно определяются этими функциями.
В общем случае анализ переходных процессов в линейных цепях начинают с составления полной системы уравнений равновесия цепи по законам Кирхгофа . Как известно, эти равенства тождественные и определяют поведение токов и напряжений в любой момент времени t . Подстановка в них компонентных соотношений типа
,
,
(3.5)
сводит эту систему к набору дифференциальных и алгебраических уравнений. Для определения искомой функции, которую можно считать реакцией цепи на коммутацию, систему уравнений сводят к одному уравнению n-го порядка с постоянными коэффициентами. Целесообразно это уравнение получить для любой переменной состояния i L (t ) или u C (t )
где i = i (t ) - выходная реакция (здесь ток i ); f (t ) - правая часть, которая определяется только известными независимыми источниками питания цепи; п - порядок электрической цепи, определяемый суммой реактивных (индуктивных n L и емкостных n C ) элементов цепи. При этом предполагается, что схема исследуемой цепи преобразована к соединению только канонических ветвей.
Общее решение линейного дифференциального уравнения (3.6) ищут в виде суммы двух составляющих
i = i св + i пр (3.7)
Здесь i св - называется свободной составляющей решения; она не зависит от внешних источников энергии, а обусловлена только энергией, запасенной в реактивных элементах цепи. Эта часть решения записывается как сумма и слагаемых определенного типа:
i
св
=
(3.8)
где A k - постоянные коэффициенты интегрирования; р к - корни характеристического уравнения.
Характеристическое уравнение получается из исследуемого дифференциального уравнения посредством замены правой части на ноль (f (t) = 0) и замены операторов дифференцирования на р" (или λ" )
Решение алгебраического уравнения (3.9) позволяет найти п корней и записать свободную составляющую решения в виде (3.8). Для всех цепей, исследуемых в курсе электротехники, корни характеристического уравнения либо отрицательны, либо комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью. Это в свою очередь означает, что свободная составляющая решения с изменением времени от t = 0 до t = ∞ постепенно уменьшается и становится равной нулю, и тогда реакция цепи будет определяться только вторым слагаемым выражения (3.7).
Второе слагаемое i пр называется принужденной составляющей решения; она зависит от правой части уравнения (3.6), т.е. от вида приложенного к цепи сигнала, вырабатываемого источниками питания, и параметров цепи. Наиболее просто принужденная составляющая может быть определена, если действие внешних источников воздействия на цепь носит стационарный характер, например, постоянный или гармонический. В этом случае анализируют токи и напряжения в цепи в момент времени t = ∞, т.е. когда переходный процесс в цепи закончен и цепь находится в новом установившемся состоянии.
Итак, общее решение уравнения (3.6) имеет вид
i = i
св
+ i
пр
=
Из математической теории решения линейных дифференциальных уравнений следует (задача Коши), что для определения постоянных интегрирования – А k необходимо знать n начальных условий в виде значений искомой функции, и ее (п - 1) производных при t = 0: i (0), i ’ (0), i " (0),..., i ( n -1) (0). Эти значения должны быть найдены из анализа исходной цепи как в докоммутационный момент времени t = 0-, так и в первый момент после коммутации t = 0+.
Приведенную здесь общую схему анализа переходных процессов на основе решения дифференциального уравнения называют классическим методом.
Загрузка...
