«Дифференциал функции»
Цель занятия : Научиться решать примеры и задачи по данной теме.
Вопросы теории (исходный уровень):
1. Применение производных для исследования функций на экстремум.
2. Дифференциал функции, его геометрический и физический смысл.
3. Полный дифференциал функции многих переменных.
4. Состояние организма как функция многих переменных.
5. Приближенные вычисления.
6. Нахождение частных производных и полного дифференциала.
7. Примеры использования указанных понятий в фармакокинетике, микробиологии и др.
1. ответить на вопросы по теме занятия;
2. решить примеры.
Примеры
Найти дифференциалы следующих функций:
| 1) | 2)  | 3)  |
4)  | 5)  | 6) |
7)  | 8) | 9)  |
10)  | 11) | 12)  |
13)  | 14)  | 15) |
16)  | 17) | 18)  |
19)  | 20)  |
Применение производных для исследования функций
Условие возрастания функции y = f(x)на отрезке [а, b]
Условие убывания функции y=f(x)на отрезке [а, b]
Условие максимума функции y=f(x)при x= а
f"(a)=0 и f"" (a)<0
Если при х=а производные f"(а) = 0 и f"(а) = 0, то необходимо исследовать f"(x)в окрестностях точки x = а. Функция у=f(х)при х=а имеет максимум, если при переходе через точку х= а производная f"(x)меняет знак с «+» на «-», в случае минимума - с « - » на «+» Если f"(x)не меняет знака при переходе через точку х = а,то в этой точке у функции экстремума нет
Дифференциал функции.
Дифференциал независимой переменной равен ее приращению:
Дифференциал функции y=f(x)
Дифференциал суммы (разности) двух функций y=u±v
Дифференциал произведения двух функций у=uv
Дифференциал частного двух функций y=u/v
dy=(vdu-udv)/v 2
Приращение функции
Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx
где Δx: - приращение аргумента.
Приближенное вычисление значения функции:
f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx
Применениедифференциала в приближенных вычислениях
Дифференциал применяется для вычисления абсолютной и относительной погрешностей при косвенных измерениях u = f(x, у, z .). Абсолютная погрешность результата измерения
du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…
Относительная погрешность результата измерения
du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u
ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.
Дифференциал функции как главная часть приращения функци
и.
С понятием производной тесно связано понятие дифференциала функции. Пусть функция f(x)
непрерывна при данных значениях х
и имеет производную 
Df/Dx = f¢(x) + a(Dx) , откуда приращение функции Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, где a(Dх) ® 0 при Dх ® 0 . Определим порядок бесконечно малой f¢(x)Dx Dх. :
Следовательно, бесконечно малые f¢(x)Dx и Dx имеют одинаковый порядок малости, то есть f¢(x)Dx = O.
Определим порядок бесконечно малой a(Dх)Dх по отношению к бесконечно малой Dх :
Следовательно, бесконечно малая a(Dх)Dх имеет более высокий порядок малости по сравнению с бесконечно малой Dх , то есть a(Dх)Dх = о.
Таким образом, бесконечно малое приращение Df дифференцируемой функции может быть представлено в виде двух слагаемых: бесконечно малой f¢(x)Dx одинакового порядка малости с Dх и бесконечно малой a(Dх)Dх более высокого порядка малости по сравнению с бесконечно малой Dх. Это означает, что в равенстве Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx при Dх® 0 второе слагаемое стремится к нулю «быстрее», чем первое, то есть a(Dх)Dх = о.
Первое слагаемое f¢(x)Dx, линейное относительно Dх , называют дифференциалом функции f(x) в точке х и обозначают dy или df (читается «дэ игрек» или «дэ эф»). Итак,
dy = df = f¢(x)Dx.
Аналитический смысл дифференциала заключается в том, что дифференциал функции есть главная часть приращения функции Df , линейная относительно приращения аргумента Dx . Дифференциал функции отличается от приращения функции на бесконечно малую более высокого порядка малости, чем Dx . Действительно, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx или Df = df + a(Dx)Dx. Дифференциал аргумента dx равен его приращению Dx: dx=Dx.
Пример. Вычислить значение дифференциала функции f(x) = x 3 + 2x, когда х изменяется от 1 до 1,1.
Решение. Найдем общее выражение для дифференциала этой функции:
Подставляя значения dx=Dx=1,1–1= 0,1 и x = 1 в последнюю формулу, получим искомое значение дифференциала: df ½ x=1; = 0,5.
ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ.
Частные производные первого порядка . Частной производной первого порядкафункции z = f(x,y) по аргументу х в рассматриваемой точке (х; у) называется предел
если он существует.
Частная производная функции z = f(x, y) по аргументу х обозначается одним из следующих символов:
Аналогично частная производная по у обозначается и определяется формулой:
Так как частная производная – это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться всеми рассмотренными до сих пор правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования».
Замечание. Для нахождения частной производной, например по аргументу х – df/dx , достаточно найти обыкновенную производную функции f(x,y), считая последнюю функцией одного аргумента х , а у – постоянной; для нахождения df/dy – наоборот.
Пример. Найти значения частных производных от функции f(x,y) = 2x 2 + y 2 в точке Р(1;2).
Решение. Считая f(x,y) функцией одного аргумента х и пользуясь правилами дифференцирования, находим
В точке Р(1;2) значение производной
Считая f(x;y) функцией одного аргумента у, находим
В точке Р(1;2) значение производной
ЗАДАНИЕ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТА:
Найдите дифференциалы следующих функций:
Решить следующие задачи:
1. На сколько уменьшится площадь квадрата со стороной х=10см, если сторону уменьшить на 0,01 см?
2. Дано уравнение движения тела: y=t 3 /2+2t 2 , где s – выражено в метрах, t-в секундах. Найти путь s, пройденный телом за t=1,92 с от начала движения.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лобоцкая Н.Л. Основы высшей математики - М.: «Вышэйшая школа», 1978.C198-226.
2. Бейли Н. Математика в биологии и медицине. Пер. с англ. М.: «Мир», 1970.
3. Ремизов А.Н., Исакова Н.Х., Максина Л.Г. Сборник задач по медицинской и биологической физике – М.: «Высшая школа», 1987. С16-20.
Лекция 3 ФНП, частные производные, дифференциал
Что главное мы узнали на прошлой лекции
Мы узнали, что такое функция нескольких переменных с аргументом из евклидова пространства. Изучили, что такое предел и непрерывность для такой функции
Что мы узнаем на этой лекции
Продолжая изучение ФНП, мы изучим частные производные и дифференциалы для этих функций. Узнаем, как написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
Частная производная, полный дифференциал ФНП. Связь дифференцируемости функции с существованием частных производных
Для функции одной вещественной переменной после изучения тем «Пределы» и «Непрерывность» (Введение в математический анализ) изучались производные и дифференциалы функции. Перейдем к рассмотрению аналогичных вопросов для функции нескольких переменных. Заметим, что если в ФНП зафиксировать все аргументы, кроме одного, то ФНП порождает функцию одного аргумента, для которой можно рассматривать приращение, дифференциал и производную. Их мы будем называть соответственно частным приращением, частным дифференциалом и частной производной. Перейдем к точным определениям.
Определение 10
.
Пусть задана функция переменных где 
- элемент евклидова пространства и соответствующие приращения аргументов , ,…, . При величины , называются частными приращениями функция . Полное приращение функции - это величина .
Например, для функции двух переменных , где - точка на плоскости и , соответствующие приращения аргументов, частными будут приращения , . При этом величина является полным приращениями функции двух переменных .
Определение 11
.
Частной производной функции переменных 
по переменной называется предел отношения частного приращения функции по этой переменной к приращению соответствующего аргумента , когда стремится к 0.
Запишем определение 11 в виде формулы 
или в развернутом виде . (2) Для функции двух переменных определение 11 запишется в виде формул 
, 
. С практической точки зрения данное определение означает, что при вычислении частной производной по одной переменной все остальные переменные фиксируются и мы рассматриваем данную функцию как функцию одной выбранной переменной. По этой переменной и берется обычная производная.
Пример 4 . Для функции , где найдите частные производные и точку, в которой обе частные производные равны 0.
Решение
. Вычислим частные производные , 
и систему запишем в виде Решением этой системы являются две точки и 
.
Рассмотрим теперь, как понятие дифференциала обобщается на ФНП. Вспомним, что функция одной переменной называется дифференцируемой, если ее приращение представляется в виде 
, при этом величина является главной частью приращения функции и называется ее дифференциалом. Величина является функцией от , обладает тем свойством, что , т. е. является функцией, бесконечно малой по сравнению с . Функция одной переменной дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда имеет производную в этой точке. При этом константа и равна этой производной, т. е. для дифференциала справедлива формула 
.
Если рассматривается частное приращение ФНП , то меняется только один из аргументов, и это частное приращение можно рассматривать как приращение функции одной переменной, т. е. работает та же теория. Следовательно, условие дифференцируемости 
выполнено тогда и только тогда, когда существует частная производная , и в этом случае частный дифференциал определяется формулой 
.
А что же такое полный дифференциал функции нескольких переменных?
Определение 12
.
Функция переменных 
называется дифференцируемой в точке 
, если ее приращение представляется в виде . При этом главная часть приращения называется дифференциалом ФНП.
Итак, дифференциалом ФНП является величина . Уточним, что мы понимаем под величиной 
, которую мы будем называть бесконечно малой по сравнению с приращениями аргументов 
. Это функция, которая обладает тем свойством, что если все приращения, кроме одного , равны 0, то справедливо равенство 
. По сути это означает, что 
= = + +…+ .
А как связаны между собой условие дифференцируемости ФНП и условия существования частных производных этой функции?
Теорема 1
.
Если функция переменных дифференцируема в точке , то у нее существуют частные производные по всем переменным в этой точке и при этом .
Доказательство
.
Равенство запишем при и в виде 
и раздели обе части полученного равенства на . В полученном равенстве перейдем к пределу при . В итоге мы и получим требуемой равенство . Теорема доказана.
Следствие
.
Дифференциал функции переменных вычисляется по формуле 
. (3)
В примере 4 дифференциал функции был равен . Заметим, что этот же дифференциал в точке равен 
. А вот если мы его вычислим в точке с приращениями , , то дифференциал будет равен . Заметим, что , точное значение заданной функции в точке 
равно , а вот это же значение, приближенно вычисленное с помощью 1-го дифференциала, равно . Мы видим, что, заменяя приращение функции ее дифференциалом, мы можем приближенно вычислять значения функции.
А будет ли функция нескольких переменных дифференцируема в точке, если она имеет частные производные в этой точке. В отличии от функции одной переменной ответ на этот вопрос отрицательный. Точную формулировку взаимосвязи дает следующая теорема.
Теорема 2
.
Если у функции переменных в точке существуют непрерывные частные производные по всем переменным, то функция дифференцируема в этой точке.
в виде . В каждой скобке меняется только одна переменная, поэтому мы можем и там и там применить формулу конечных приращений Лагранжа. Суть этой формулы в том, что для непрерывно дифференцируемой функции одной переменной разность значений функции в двух точках равна значению производной в некоторой промежуточной точке, умноженному на расстояние между точками. Применяя эту формулу к каждой из скобок, получим . В силу непрерывности частных производных производная в точке и производная в точке отличаются от производных и в точке на величины и , стремящиеся к 0 при , стремящихся к 0. Но тогда и, очевидно, . Теорема доказана. , а координата. Проверьте, что эта точка принадлежит поверхности. Напишите уравнение касательной плоскости и уравнение нормали к поверхности в указанной точке.
Решение
.
Действительно, . Мы уже вычисляли в прошлой лекции дифференциал этой функции в произвольной точке, в заданной точке он равен . Следовательно, уравнение касательной плоскости запишется в виде или , а уравнение нормали - в виде 
.
Рассмотрим изменение функции при задании приращения только одному из ее аргументов – х i , и назовем его .
Определение 1.7. Частной производной функции по аргументу х i называется .
Обозначения: .
Таким образом, частная производная функции нескольких переменных определяется фактически как производная функции одной переменной – х i . Поэтому для нее справедливы все свойства производных, доказанные для функции одной переменной.
Замечание. При практическом вычислении частных производных пользуемся обычными правилами дифференцирования функции одной переменной, полагая аргумент, по которому ведется дифференцирование, переменным, а остальные аргументы – постоянными.
1. z = 2x ² + 3xy –12y ² + 5x – 4y +2,
2. z = x y ,
Геометрическая интерпретация частных производных функции двух переменных.
Рассмотрим уравнение поверхности z = f (x,y) и проведем плоскость х = const. Выберем на линии пересечения плоскости с поверхностью точку М (х,у) . Если задать аргументу у приращение Δу и рассмотреть точку Т на кривой с координатами (х, у+ Δу, z+ Δ y z ), то тангенс угла, образованного секущей МТ с положительным направлением оси Оу , будет равен . Переходя к пределу при , получим, что частная производная равна тангенсу угла, образованного касательной к полученной кривой в точке М с положительным направлением оси Оу. Соответственно частная производная равна тангенсу угла с осью Ох касательной к кривой, полученной в результате сечения поверхности z = f (x,y) плоскостью y = const.
Определение 2.1. Полным приращением функции u = f(x, y, z) называется
Определение 2.2. Если приращение функции u = f (x, y, z) в точке (x 0 , y 0 , z 0) можно представить в виде (2.3), (2.4), то функция называется дифференцируемой в этой точке, а выражение - главной линейной частью приращения или полным дифференциалом рассматриваемой функции.
Обозначения: du, df (x 0 , y 0 , z 0).
Так же, как в случае функции одной переменной, дифференциалами независимых переменных считаются их произвольные приращения, поэтому
Замечание 1. Итак, утверждение «функция дифференцируема» не равнозначно утверждению «функция имеет частные производные» - для дифференцируемости требуется еще и непрерывность этих производных в рассматриваемой точке.
4. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Геометрический смысл дифференциала.
Пусть функция z = f (x, y) является дифференцируемой в окрестности точки М (х 0 , у 0) . Тогда ее частные производные и являются угловыми коэффициентами касательных к линиям пересечения поверхности z = f (x, y) с плоскостями у = у 0 и х = х 0 , которые будут касательными и к самой поверхности z = f (x, y). Составим уравнение плоскости, проходящей через эти прямые. Направляющие векторы касательных имеют вид {1; 0; } и {0; 1; }, поэтому нормаль к плоскости можно представить в виде их векторного произведения: n = {- ,- , 1}. Следовательно, уравнение плоскости можно записать так:
где z 0 = .
Определение 4.1. Плоскость, определяемая уравнением (4.1), называется касательной плоскостью к графику функции z = f (x, y) в точке с координатами (х 0 , у 0 , z 0) .
Из формулы (2.3) для случая двух переменных следует, что приращение функции f в окрестности точки М можно представить в виде:
Следовательно, разность между аппликатами графика функции и касательной плоскости является бесконечно малой более высокого порядка, чем ρ, при ρ→ 0.
При этом дифференциал функции f имеет вид:
что соответствует приращению аппликаты касательной плоскости к графику функции . В этом состоит геометрический смысл дифференциала.
Определение 4.2. Ненулевой вектор, перпендикулярный касательной плоскости в точке М (х 0 , у 0) поверхности z = f (x, y) , называется нормалью к поверхности в этой точке.
В качестве нормали к рассматриваемой поверхности удобно принять вектор --n = { , ,-1}.
Загрузка...
