Мы имеем полное право перейти к рассмотрению цепей, состоящих из этих элементов 🙂 Этим мы сегодня и займемся.
И первая цепь, работу которой мы рассмотрим – дифференцирующая RC-цепь.
Дифференцирующая RC-цепь.
Из названия цепи, в принципе, уже понятно, что за элементы входят в ее состав – это конденсатор и резистор 🙂 И выглядит она следующим образом:
Работа данной схемы основана на том, что ток, протекающий через конденсатор , прямо пропорционален скорости изменения напряжения, приложенного к нему:
Напряжения в цепи связаны следующим образом (по закону Кирхгофа):
В то же время, по закону Ома мы можем записать:
Выразим из первого выражения и подставим во второе:
При условии, что (то есть скорость изменения напряжения низкая) мы получаем приближенную зависимость для напряжения на выходе:
Таким образом, цепь полностью оправдывает свое название, ведь напряжение на выходе представляет из себя дифференциал входного сигнала.
Но возможен еще и другой случай, когда title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="22" width="134" style="vertical-align: -6px;"> (быстрое изменение напряжения). При выполнении этого равенства мы получаем такую ситуацию:
То есть: .
Можно заметить, что условие будет лучше выполняться при небольших значениях произведения , которое называют постоянной времени цепи :
Давайте разберемся, какой смысл несет в себе эта характеристика цепи 🙂
Заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненциальному закону:
Здесь – напряжение на заряженном конденсаторе в начальный момент времени. Давайте посмотрим, каким будет значение напряжения по истечении времени :
Напряжение на конденсаторе уменьшится до 37% от первоначального.
Получается, что – это время, за которое конденсатор:
- при заряде – зарядится до 63%
- при разряде – разрядится на 63% (разрядится до 37%)
С постоянной времени цепи мы разобрались, давайте вернемся к дифференцирующей RC-цепи 🙂
Теоретические аспекты функционирования цепи мы разобрали, так что давайте посмотрим, как она работает на практике. А для этого попробуем подавать на вход какой-нибудь сигнал и посмотрим, что получится на выходе. В качестве примера, подадим на вход последовательность прямоугольных импульсов:
А вот как выглядит осциллограмма выходного сигнала (второй канал – синий цвет):
Что же мы тут видим?
Большую часть времени напряжение на входе неизменно, а значит его дифференцаил равен 0 (производная константы = 0). Именно это мы и видим на графике, значит цепь выполняет свою дифференцирующую функцию. А с чем же связаны всплески на выходной осциллограмме? Все просто – при “включении” входного сигнала происходит процесс зарядки конденсатора, то есть по цепи проходит ток зарядки и напряжение на выходе максимально. А затем по мере протекания процесса зарядки ток уменьшается по экспоненциальному закону до нулевого значения, а вместе с ним уменьшается напряжение на выходе, ведь оно равно . Давайте увеличим масштаб осциллограммы и тогда мы получим наглядную иллюстрацию процесса зарядки:
При “отключении” сигнала на входе дифференцирующей цепи происходит аналогичный переходный процесс, но только вызван он не зарядкой, а разрядкой конденсатора:
В данном случае постоянная времени цепи у нас имеет небольшую величину, поэтому цепь хорошо дифференцирует входной сигнал. По нашим теоретическим расчетам, чем больше мы будем увеличивать постоянную времени, тем больше выходной сигнал будет похож на входной. Давай проверим это на практике 🙂
Будем увеличивать сопротивление резистора, что и приведет к росту :
Тут даже не надо ничего комментировать – результат налицо 🙂 Мы подтвердили теоретические выкладки, проведя практические эксперименты, так что давайте переходить к следующему вопросу – к интергрирующим RC-цепям .
Запишем выражения для вычисления тока и напряжения данной цепи:
В то же время ток мы можем определить из Закона Ома:
Приравниваем эти выражения и получаем:
Проинтегрируем правую и левую части равенства:
Как и в случае с дифференцирующей RC-цепочкой здесь возможны два случая:
Для того, чтобы убедиться в работоспособности цепи, давайте подадим на ее вход точно такой же сигнал, какой мы использовали при анализе работы дифференцирующей цепи, то есть последовательность прямоугольных импульсов. При малых значениях сигнал на выходе будет очень похож на входной сигнал, а при больших величинах постоянной времени цепи, на выходе мы увидим сигнал, приближенно равный интегралу входного. А какой это будет сигнал? Последовательность импульсов представляет собой участки равного напряжения, а интеграл от константы представляет из себя линейную функцию (). Таким образом, на выходе мы должны увидеть пилообразное напряжение. Проверим теоретические выкладки на практике:
Желтым цветом здесь изображен сигнал на входе, а синим, соответственно, выходные сигналы при разных значениях постоянной времени цепи. Как видите, мы получили именно такой результат, который и ожидали увидеть 🙂
На этом мы и заканчиваем сегодняшнюю статью, но не заканчиваем изучать электронику, так что до встречи в новых статьях! 🙂
Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.20,а. Пусть на входе этой цепи действует напряжение u1(t).
Рис. 3.20. Дифференцирующие RC-(а) и RL-(б) цепи.
Тогда для этой цепи справедливо соотношение
и с учетом преобразований будем иметь
Если для данного сигнала выбрать постоянную времени цепи τ=RC настолько большим, что вкладом второго члена правой части (3.114) можно пренебречь, то переменная составляющая напряжения uR≈u1. Это значит, что при больших постоянных времени напряжение на сопротивлении R повторяет входное напряжение. Такую цепь применяют тогда, когда необходимо передать изменения сигнала без передачи постоянной составляющей.
При очень малых значениях τ в (3.114) можно пренебречь первым слагаемым. Тогда
т. е. при малых постоянных времени τ RC-цепь (рис. 3.20,а) осуществляет дифференцирование входного сигнала, поэтому такую цепь называют дифференцирующей RC-цепью.
Аналогичными свойствами обладает и RL-цепь (рис. 3.20,б).
Рис. 3.21. Частотные (а) и переходная (б) характеристики дифференцирующих цепей.
Сигналы при прохождении через RС- и RL-цепи называют быстрыми, если
или медленными, если
Отсюда следует, что рассмотренная RC-цепь дифференцирует медленные и пропускает без искажения быстрые сигналы.
Для гармонической э. д. с. аналогичный результат легко получить, вычисляя коэффициент передачи цепи (рис. 3.20,а) как коэффициент передачи делителя напряжения со стационарными сопротивлениямиR и XC=1/ωC:
При малых τ, а именно когда τ<<1/ω, выражение (3.116) преобразуется в
При этом фаза выходного напряжения (аргумент K) равна π/2. Сдвиг гармонического сигнала по фазе на π/2 эквивалентен его дифференцированию. При τ>>1/ω коэффициент передачи K≈1.
В общем случае модуль коэффициента передачи (3.116), или частотная характеристика цепи (рис. 3.20,а):
а аргумент K, или фазовая характеристика этой цепи:
Эти зависимости показаны на рис. 3.21,а.
Такими же характеристиками обладает RL-цепь на рис. 3.20,б с постоянной времени τ=L/R.
Если в качестве выходного сигнала взять единичный скачок напряжения , то интегрированием уравнения (3.114) можно получить переходную характеристику дифференцирующей цепи, или временную зависимость выходного сигнала при единичном скачке напряжения на входе:
График переходной характеристики показан на рис. 3.21,б.
Рис. 3.22. Интегрииующие RC-(а) и LC-(б) цепи.
Рассмотрим RC-цепь, изображенную на рис. 3.22,а. Она описывается уравнением
При малых τ=RC (для «медленных» сигналов) uC≈u1. Для «быстрых» сигналов напряжение u1 интегрируется:
Поэтому RC-цепь, выходное напряжение которого снимается с емкости C называют интегрирующей цепью.
Коэффициент передачи интегрирующей цепи определяется выражением
При ω<<1/τ K≈1.
Частотная и фазовая характеристики описываются соответственно выражениями
Рис. 3.23. Частотные (а) и переходная (б) характеристики интегрирующих цепей.
и изображены на рис. 3.23,а. Переходная характеристика (рис. 3.23,б) получается интегрированием (3.121) при :
При равных постоянных времени такими же свойствами обладает RL-цепь, изображенная на рис. 3.22,б.
Электрическая цепь, в к-рой выходное напряжение U вых (t)(или ток) пропорционально интегралу по времени от входного напряжения U вх (t) (или тока):
Рис. 1.
Интегратор на операционном усилителе. <В основе действия И. ц. лежит накопление заряда на конденсаторе с ёмкостью С
под действием приложенного тока или накопление магн. потока в катушке с индуктивностью L
под действием приложенного напряжения Преимущественно используются И. ц. с конденсатором. <С наиб, точностью указанный принцип реализуется в интеграторе на операц. усилителе (ОУ) (рис. 1). Для идеального ОУ разность напряжений между его входами и входные токи равны нулю, поэтому ток, протекающий через сопротивление R,
равен току заряда
конденсатора С,
а напряжение в точке их соединения равно нулю. В результате Произведение RС=t, характеризующее скорость заряда конденсатора, наз. постоянной времени И. ц. <Широко используется простейшая RC-И.
ц. (рис. 2, а). В этой схеме ток заряда конденсатора определяется разностью входного и выходного напряжений поэтому интегрирование входного напряжения выполняется приближённо и тем точнее, чем меньше выходное напряжение по сравнению с входным. Последнее условие выполняется, если постоянная времени t много больше интервала времени, по к-рому происходит интегрирование. Для правильного интегрирования импульсного входного сигнала необходимо, чтобы t была много больше длительности импульса Т(рис. 3). Аналогичными свойствами обладает RL-И. ц., показанная на рис. 2, б, для к-рой постоянная времени равна L/R.
Рис. 3. 1 -
входной прямоугольный импульс; 2 -
выходное напряжение интегрирующей цепи при tдT.
И. ц. применяются для преобразования импульсов, модулированных по длительности, в импульсы, модулированные по амплитуде, для удлинения импульсов, получения пилообразного напряжения, выделения низкочастотных составляющих сигнала и т. п. И. ц. на операц. усилителях применяются в устройствах автоматики и аналоговых ЭВМ для реализации операции интегрирования.
53.Переходные процессы. Законы коммутации и их применение.
Перехо́дные проце́ссы - процессы, возникающие в электрических цепях при различных воздействиях, приводящих их из стационарного состояния в новое стационарное состояние, то есть, - при действии различного рода коммутационной аппаратуры, например, ключей, переключателей для включения или отключения источника или приёмника энергии, при обрывах в цепи, при коротких замыканиях отдельных участков цепи и т. д.
Физическая причина возникновения переходных процессов в цепях - наличие в них катушек индуктивности и конденсаторов, то есть индуктивных и ёмкостных элементов в соответствующих схемах замещения. Объясняется это тем, что энергия магнитного и электрического полей этих элементов не может изменяться скачком при коммутации (процесс замыкания или размыкания выключателей) в цепи.
Переходный процесс в цепи описывается математически дифференциальным уравнением
- неоднородным (однородным), если схема замещения цепи содержит (не содержит) источники ЭДС и тока,
- линейным (нелинейным) для линейной (нелинейной) цепи.
Длительность переходного процесса длятся от долей наносекунд до годов. Зависят от конкретной цепи. Например, постоянная времени саморазряда конденсатора с полимерным диэлектриком может достигать тысячелетия. Длительность протекания переходного процесса определяется постоянной времени цепи.
Законы коммутации относятся к энергоемким (реактивным) элементам, т. е. к емкости и индуктивности. Они гласят: напряжение на емкости и ток в индуктивности при конечных по величине воздействиях являются непрерывными функциями времени, т. е. не могут изменяться скачком.
Математически эта формулировка может быть записана следующим образом
Для емкости;
Для индуктивности.
Законы коммутации являются следствием определений элементов емкости и индуктивности.
Физически закон коммутации для индуктивности объясняется противодействием ЭДС самоиндукции изменению тока, а закон коммутации для емкости – противодействием напряженности электрического поля конденсатора изменению внешнего напряжения.
54.Вихревые токи, их проявления и использование.
Вихревые токи или токи Фуко́ (в честь Ж. Б. Л. Фуко) - вихревые индукционные токи, возникающие в проводниках при изменении пронизывающего их магнитного поля.
Впервые вихревые токи были обнаружены французским учёным Д. Ф. Араго (1786-1853) в 1824 г. в медном диске, расположенном на оси под вращающейся магнитной стрелкой. За счёт вихревых токов диск приходил во вращение. Это явление, названное явлением Араго, было объяснено несколько лет спустя M. Фарадеем с позиций открытого им закона электромагнитной индукции: вращаемое магнитное поле наводит в медном диске вихревые токи, которые взаимодействуют с магнитной стрелкой. Вихревые токи были подробно исследованы французским физиком Фуко (1819-1868) и названы его именем. Он открыл явление нагревания металлических тел, вращаемых в магнитном поле, вихревыми токами.
Токи Фуко возникают под воздействием переменного электромагнитного поля и по физической природе ничем не отличаются от индукционных токов, возникающих в линейных проводах. Они вихревые, то есть замкнуты в кольце.
Электрическое сопротивление массивного проводника мало, поэтому токи Фуко достигают очень большой силы.
Тепловое действие токов Фуко используется в индукционных печах - в катушку, питаемую высокочастотным генератором большой мощности, помещают проводящее тело, в нём возникают вихревые токи, разогревающие его до плавления.
С помощью токов Фуко осуществляется прогрев металлических частей вакуумных установок для их дегазации.
Во многих случаях токи Фуко могут быть нежелательными. Для борьбы с ними принимаются специальные меры: с целью предотвращения потерь энергии на нагревание сердечников трансформаторов, эти сердечники набирают из тонких пластин, разделённых изолирующими прослойками. Появление ферритов сделало возможным изготовление этих сердечников сплошными.
Вихретоковый контроль - один из методов неразрушающего контроля изделий из токопроводящих материалов.
55. Трансформатор, основные свойства и виды конструкции.
Постоянная времени цепи RC
Электрическая цепь RC
Рассмотрим ток в электрической цепи, состоящей из конденсатора ёмкостью C
и резистора сопротивлением R, соединённых параллельно.
Значение тока заряда или разряда конденсатора определится выражением I = C(dU/dt)
, а значение тока в резисторе, согласно закону Ома, составит U/R
, где U
- напряжение заряда конденсатора.
Из рисунка видно, что электрический ток I в элементах C и R цепи будет иметь одинаковое значение и противоположное направление, согласно закону Кирхгофа. Следовательно, его можно выразить следующим образом:
Решаем дифференциальное уравнение C(dU/dt)= -U/R
Интегрируем: 
Из таблицы интегралов здесь используем преобразование 
Получаем общий интеграл уравнения: ln|U| = - t/RC + Const
.
Выразим из него напряжение U
потенцированием: U = e
-t/RC * e Const
.
Решение примет вид:
U = e -t/RC * Const.
Здесь Const - константа, величина, определяемая начальными условиями.
Следовательно, напряжение U заряда или разряда конденсатора будет меняться во времени по экспоненциальному закону e -t/RC .
Экспонента - функция exp(x) = e x
e
– Математическая константа, приблизительно равная 2.718281828...
Постоянная времени τ
Если конденсатор емкостью C последовательно с резистором сопротивлением R подключить к источнику постоянного напряжения U , в цепи пойдёт ток, который за любое время t зарядит конденсатор до значения U C и определится выражением:
Тогда напряжение U C на выводах конденсатора будет увеличиваться от нуля до значения U по экспоненте:
U C = U(1 - e -t/RC )
При t = RC
, напряжение на конденсаторе составит U C = U(1 - e
-1 ) = U(1 - 1/e)
.
Время, численно равное произведению RC
, называется постоянной времени цепи RC
и обозначается греческой буквой τ
.
Постоянная времени τ = RC
За время τ
конденсатор зарядится до (1 - 1/e
)*100% ≈ 63,2% значения U
.
За время 3τ
напряжение составит (1 - 1/e
3)*100% ≈ 95% значения U
.
За время 5τ
напряжение возрастёт до (1 - 1/e
5)*100% ≈ 99% значения U
.
Если к конденсатору емкостью C , заряженному до напряжения U , параллельно подключить резистор сопротивлением R , тогда в цепи пойдёт ток разряда конденсатора.
Напряжение на конденсаторе при разряде будет составлять U C = Ue -t/τ = U/e t/τ .
За время τ
напряжение на конденсаторе уменьшится до значения U/e
, что составит 1/e
*100% ≈ 36.8% значения U
.
За время 3τ
конденсатор разрядится до (1/e
3)*100% ≈ 5% от значения U
.
За время 5τ
до (1/e
5)*100% ≈ 1% значения U
.
Параметр τ широко применяется при расчётах RC -фильтров различных электронных цепей и узлов.
Связь мгновенных значений напряжений и токов на элементах
Электрической цепи
Для последовательной цепи, содержащей линейные резистор R, катушку индуктивности L и конденсатор С, при ее подключении к источнику с напряжением u (см. рис. 1) можно записать
где х – искомая функция времени (напряжение, ток, потокосцепление и т.п.); - известное возмущающее воздействие (напряжение и (или) ток источника электрической энергии); - к-й постоянный коэффициент, определяемый параметрами цепи.
Порядок данного уравнения равен числу независимых накопителей энергии в цепи, под которыми понимаются катушки индуктивности и конденсаторы в упрощенной схеме, получаемой из исходной путем объединения индуктивностей и соответственно емкостей элементов, соединения между которыми являются последовательными или параллельными.
В общем случае порядок дифференциального уравнения определяется соотношением
| , | (3) |
где и - соответственно число катушек индуктивности и конденсаторов после указанного упрощения исходной схемы; - число узлов, в которых сходятся только ветви, содержащие катушки индуктивности (в соответствии с первым законом Кирхгофа ток через любую катушку индуктивности в этом случае определяется токами через остальные катушки); - число контуров схемы, ветви которых содержат только конденсаторы (в соответствии со вторым законом Кирхгофа напряжение на любом из конденсаторов в этом случае определяется напряжениями на других).
Наличие индуктивных связей на порядок дифференциального уравнения не влияет.
Как известно из математики, общее решение уравнения (2) представляет собой сумму частного решения исходного неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения, получаемого из исходного путем приравнивания его левой части к нулю. Поскольку с математической стороны не накладывается каких-либо ограничений на выбор частного решения (2), применительно к электротехнике в качестве последнего удобно принять решение , соответствующее искомой переменной х в установившемся послекоммутационном режиме (теоретически для ).
Частное решение уравнения (2) определяется видом функции , стоящей в его правой части, и поэтому называется принужденной составляющей. Для цепей с заданными постоянными или периодическими напряжениями (токами) источников принужденная составляющая определяется путем расчета стационарного режима работы схемы после коммутации любым из рассмотренных ранее методов расчета линейных электрических цепей.
Вторая составляющая общего решения х уравнения (2) – решение (2) с нулевой правой частью – соответствует режиму, когда внешние (принуждающие) силы (источники энергии) на цепь непосредственно не воздействуют. Влияние источников проявляется здесь через энергию, запасенную в полях катушек индуктивности и конденсаторов. Данный режим работы схемы называется свободным, а переменная - свободной составляющей.
В соответствии с вышесказанным, . общее решение уравнения (2) имеет вид
| (4) |
Соотношение (4) показывает, что при классическом методе расчета послекоммутационный процесс рассматривается как наложение друг на друга двух режимов – принужденного, наступающего как бы сразу после коммутации, и свободного, имеющего место только в течение переходного процесса.
Необходимо подчеркнуть, что, поскольку принцип наложения справедлив только для линейных систем, метод решения, основанный на указанном разложении искомой переменной х, справедлив только для линейных цепей.
Начальные условия. Законы коммутации
В соответствии с определением свободной составляющей в ее выражении имеют место постоянные интегрирования , число которых равно порядку дифференциального уравнения. Постоянные интегрирования находятся из начальных условий, которые принято делить на независимые и зависимые. К независимым начальным условиям относятся потокосцепление (ток) для катушки индуктивности и заряд (напряжение) на конденсаторе в момент времени (момент коммутации). Независимые начальные условия определяются на основании законов коммутации (см. табл. 2).
Таблица 2. Законы коммутации
See more at: http://www.toehelp.ru/theory/toe/lecture24/lecture24.html#sthash.jqyFZ18C.dpuf
Интегрирующая цепь RC
Рассмотрим электрическую цепь из резистора сопротивлением R и конденсатора ёмкостью C , представленную на рисунке.
Элементы R
и C
соединены последовательно, значит, ток в их цепи можно выразить, исходя из производной напряжения заряда конденсатора dQ/dt = C(dU/dt)
и закона Ома U/R
. Напряжение на выводах резистора обозначим U R
.
Тогда будет иметь место равенство:
Проинтегрируем последнее выражение 
. Интеграл левой части уравнения будет равен U out + Const
. Перенесём постоянную составляющую Const
в правую часть с тем же знаком.
В правой части постоянную времени RC
вынесем за знак интеграла:
В итоге получилось, что выходное напряжение U out
прямо-пропорционально интегралу напряжения на выводах резистора, следовательно, и входному току I in
.
Постоянная составляющая Const
не зависит от номиналов элементов цепи.
Чтобы обеспечить прямую пропорциональную зависимость выходного напряжения U out от интеграла входного U in , необходима пропорциональность входного напряжения от входного тока.
Нелинейное соотношение U in /I in
во входной цепи вызвано тем, что заряд и разряд конденсатора происходит по экспоненте e
-t/τ , которая наиболее нелинейна при t/τ
≥ 1, то есть, когда значение t
соизмеримо или больше τ
.
Здесь t
- время заряда или разряда конденсатора в пределах периода.
τ
= RC
- постоянная времени - произведение величин R
и C
.
Если взять номиналы RC
цепи, когда τ
будет значительно больше t
, тогда начальный участок экспоненты для короткого периода (относительно τ
) может быть достаточно линейным, что обеспечит необходимую пропорциональность между входным напряжением и током.
Для простой цепи RC
постоянную времени обычно берут на 1-2 порядка больше периода переменного входного сигнала, тогда основная и значительная часть входного напряжения будет падать на выводах резистора, обеспечивая в достаточной степени линейную зависимость U in /I in ≈ R
.
В таком случае выходное напряжение U out
будет с допустимой погрешностью пропорционально интегралу входного U in
.
Чем больше величины номиналов RC
, тем меньше переменная составляющая на выходе, тем более точной будет кривая функции.
В большинстве случаев, переменная составляющая интеграла не требуется при использовании таких цепей, нужна только постоянная Const , тогда номиналы RC можно выбирать по возможности большими, но с учётом входного сопротивления следующего каскада.
В качестве примера, сигнал с генератора - положительный меандр 1V периодом 2 mS подадим на вход простой интегрирующей цепи RC
с номиналами:
R
= 10 kOhm, С
= 1 uF. Тогда τ
= RC
= 10 mS.
В данном случае постоянная времени лишь в пять раз больше времени периода, но визуально интегрирование прослеживается в достаточной степени точно.
График показывает, что выходное напряжение на уровне постоянной составляющей 0.5в будет треугольной формы, потому как участки, не меняющиеся во времени, для интеграла будут константой (обозначим её a
), а интеграл константы будет линейной функцией. ∫adx = ax + Const
. Величина константы a
определит тангенса угла наклона линейной функции.
Проинтегрируем синусоиду, получим косинус с обратным знаком ∫sinxdx = -cosx + Const
.
В данном случае постоянная составляющая Const
= 0.
Если подать на вход сигнал треугольной формы, на выходе будет синусоидальное напряжение.
Интеграл линейного участка функции - парабола. В простейшем варианте ∫xdx = x 2 /2 + Const
.
Знак множителя определит направление параболы.
Недостаток простейшей цепочки в том, что переменная составляющая на выходе получается очень маленькой относительно входного напряжения.
Рассмотрим в качестве интегратора Операционный Усилитель (ОУ) по схеме, показанной на рисунке.
С учётом бесконечно большого сопротивления ОУ и правила Кирхгофа здесь будет справедливо равенство:
I in = I R = U in /R = - I C .
Напряжение на входах идеального ОУ здесь равно нулю, тогда на выводах конденсатора U C = U out = - U in
.
Следовательно, U out
определится, исходя из тока общей цепи.
При номиналах элементов RC , когда τ = 1 Sec, выходное переменное напряжение будет равно по значению интегралу входного. Но, противоположно по знаку. Идеальный интегратор-инвертор при идеальных элементах схемы.
Дифференцирующая цепь RC
Рассмотрим дифференциатор с применением Операционного Усилителя.
Идеальный ОУ здесь обеспечит равенство токов I R = - I C
по правилу Кирхгофа.
Напряжение на входах ОУ равно нулю, следовательно, выходное напряжение U out = U R = - U in = - U C
.
Исходя из производной заряда конденсатора, закона Ома и равенства значений токов в конденсаторе и резисторе, запишем выражение:
U out = RI R = - RI C = - RC(dU C /dt) = - RC(dU in /dt)
Отсюда видим, что выходное напряжение U out пропорционально производной заряда конденсатора dU in /dt , как скорости изменения входного напряжения.
При величине постоянной времени RC , равной единице, выходное напряжение будет равно по значению производной входного напряжения, но противоположно по знаку. Следовательно, рассмотренная схема дифференцирует и инвертирует входной сигнал.
Производная константы равна нулю, поэтому постоянная составляющая при дифференцировании на выходе будет отсутствовать.
В качестве примера, подадим на вход дифференциатора сигнал треугольной формы. На выходе получим прямоугольный сигнал.
Производная линейного участка функции будет константой, знак и величина которой определится наклоном линейной функции.
Для простейшей дифференцирующей цепочки RC из двух элементов используем пропорциональную зависимость выходного напряжения от производной напряжения на выводах конденсатора.
U out = RI R = RI C = RC(dU C /dt)
Если взять номиналы элементов RC, чтобы постоянная времени была на 1-2 порядка меньше длины периода, тогда отношение приращения входного напряжения к приращению времени в пределах периода может определять скорость изменения входного напряжения в определённой степени точно. В идеале это приращение должно стремиться к нулю. В таком случае основная часть входного напряжения будет падать на выводах конденсатора, а выходное будет составлять незначительную часть от входного, поэтому для вычислений производной такие схемы практически не используются.
Наиболее часто дифференцирующие и интегрирующие цепи RC применяют для изменения длины импульса в логических и цифровых устройствах.
В таких случаях номиналы RC рассчитывают по экспоненте e
-t/RC исходя из длины импульса в периоде и требуемых изменений.
Например, ниже на рисунке показано, что длина импульса T i
на выходе интегрирующей цепочки увеличится на время 3τ
. Это время разряда конденсатора до 5% амплитудного значения.
На выходе дифференцирующей цепи амплитудное напряжение после подачи импульса появляется мгновенно, так как на выводах разряженного конденсатора оно равно нулю.
Далее следует процесс заряда и напряжение на выводах резистора убывает. За время 3τ
оно уменьшится до 5% амплитудного значения.
Здесь 5% - величина показательная. В практических расчётах этот порог определится входными параметрами применяемых логических элементов.
Сложные радиоэлектронные устройства состоят из простых цепей. Рассмотрим цепь, состоящую из резистора и конденсатора, включенных последовательно с идеальным генератором напряжения, показанную на рис. 3.3.
Рис.3.3. Дифференцирующая цепь
Если выходное напряжение снимается с резистора, то цепь называется дифференцирующей, если с конденсатора – интегрирующей. Эти линейные цепи характеризуются стационарными и переходными характеристиками. Это связано с тем, что изменение величины действующего в цепи напряжения приводит к тому, что токи и напряжения в различных участках цепи приобретают новые значения. Изменение состояния цепи происходит не мгновенно, а в течение некоторого интервала времени. Поэтому различают установившееся и переходное состояние электрической цепи.
Электрические процессы считаются установившимися (стационарными), если закон изменения всех напряжений и токов совпадает с точностью до постоянных величин с законом изменения действующего в цепи напряжения от внешнего источника. В противном случае считают, что цепь находится в переходном (нестационарном) состоянии.
К стационарным характеристикам относятся амплитудно-частотная и фазовая характеристики линейной цепи.
Нестационарное состояние линейной цепи описывается переходной характеристикой.
Будем считать, что к входу цепи подключен идеальный генератор напряжения . На основании второго закона Кирхгофа для дифференцирующей цепи можно записать дифференциальное уравнение, связывающее напряжения и ток в ветвях цепи:
(3.2)
Так как напряжение на выходе цепи , то:
(3.3)
Подставляя в интеграл значение тока, получим:
(3.4)
Продифференцируем левую и правую части последнего уравнения по времени:
(3.5)
Перепишем это уравнение, в следующем виде:
, (3.6)
Где =— параметр цепи называемый постоянной времени цепи.
В зависимости от величины постоянной времени возможны два различных соотношения между первым и вторым слагаемыми правой части уравнения.
Если постоянная времени большая по сравнению с периодом гармонических сигналов >>Или с длительностью импульсов >>, которые можно подавать на вход этой цепи, то
И напряжение на выходе цепи с небольшими искажениями повторяет входное напряжение:
Если же постоянная времени мала по сравнению с периодом гармонических сигналов <<Или с длительностью импульсов <<, то
Отсюда напряжение на выходе равно:
Таким образом, в зависимости от величины постоянной времени такая -цепь может либо с определенными искажениями передавать входной сигнал на выход, либо с определенной степенью точности его дифференцировать. При этом форма выходного сигнала будет разной. Ниже на рис. 3.4 представлены входное напряжение, напряжения на резисторе и конденсаторе для случаев, когда постоянная времени велика и постоянная времени мала .
А Б
Рис. 3.4. Напряжения на элементах дифференцирующей цепи при (А ) и (Б )
В начальный момент времени на резисторе появляется скачок напряжения, равный амплитуде входного сигнала, а затем начинается заряд конденсатора, во время которого напряжение на резисторе будет уменьшаться.
Когда постоянная времени , конденсатор не успевает зарядиться до амплитуды входного импульса и -цепь с небольшими искажениями передает входной сигнал на выход. При << конденсатор успеет полностью зарядиться до амплитуды входного напряжения за время действия первого импульса, а за время паузы между импульсами – полностью разрядиться. При этом на выходе цепи появляются укороченные импульсы, приблизительно соответствующие производной от входного сигнала. Считается, что когда Цепочка дифференцирует входной сигнал.
Теперь определим коэффициент передачи дифференцирующей цепи. Комплексный коэффициент передачи дифференцирующей цепи при подаче на вход гармонического сигнала равен:
. (3.11)
Обозначим отношение 
, где — граничная частота полосы пропускания дифференцирующей цепи.
Выражение для коэффициента передачи примет вид:
Модуль коэффициента передачи равен:
. (3.13)
— граничная частота полосы пропускания, на которой модуль реактивного сопротивления становится равным величине активного сопротивления, а коэффициент передачи цепи равен . Зависимость модуля коэффициента передачи от частоты называется амплитудно–частотной характеристикой (АЧХ).
Зависимость угла сдвига фаз между выходным и входным напряжениями от частоты называется фазовой характеристикой (ФЧХ). Фазовая характеристика:
Ниже на рис. 3.5 представлены АЧХ и ФЧХ дифференцирующей цепи:
Рис. 3.5. Амплитудно–частотная и фазовая характеристики
Дифференцирующей цепи
Из амплитудно-частотной характеристики видно, что прохождение сигналов через дифференцирующую цепь сопровождается уменьшением амплитуд низкочастотных составляющих его спектра. Дифференцирующая цепь является фильтром высоких частот.
Из фазовой характеристики видно, что фазы низкочастотных составляющих сдвигаются на больший угол, чем фазы высокочастотных составляющих.
Переходную характеристику дифференцирующей цепи можно получить, если на вход подать напряжение в виде единичного скачка. Комплексный коэффициент передачи равен
Загрузка...
