Для всякой логической формулы с помощью тождественных преобразований можно построить бесконечно много равносильных ей формул. В алгебре логики одной из основных задач является поиск канонических форм (т. е. формул, построенных по единому правилу, канону).
Если логическая функция выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание переменных, то такая форма представления называется нормальной.
Среди нормальных форм выделяются совершенные нормальные формы (такие формы, в которых функции записываются единственным образом).
Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ)
Определение. Формулу называют элементарной конъюнкцией, если она образованна конъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний.
Примеры: y, ¬ y, х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3 ∧ х 4
Определение. Формула называтся дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если она является дизъюнкцией неповторяющихся элементарных конъюнкций.
ДНФ записывается в следующей форме: F 1 ∨ F 2 ∨ ... ∨ F n , где F i - элементарная конъюнкция
Примеры: ¬ х 1 ∧ х 2 ∨ х 1 ∧ ¬ х 2 ∨ х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3 , ¬ y 1 ∨ y 1 ∧ y 2 ∨ ¬ y 2
Определение.
Логическая формула от k переменных называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ), если:
1) формула является ДНФ, в которой каждая элементарная конъюнкция есть конъюнкция k переменных х 1 , х 2 , …, х k , причем на i-м месте этой конъюнкции стоит либо переменная х i , либо ее отрицание;
2) все элементарные конъюнкции в такой ДНФ попарно различны.
Пример: (¬ х 1 ∧ х 2 ∧ х 3) ∨ (х 1 ∧ ¬ х 2 ∧ х 3) ∨ (х 1 ∧ х 2 ∧ ¬ х 3)
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
Определение. Формулу называют элементарной дизъюнкцией, если она образована дизъюнкцией некоторого числа переменных или их отрицаний.
Примеры: ¬ х 3 , х 1 ∨ х 2 , х 1 ∨ х 2 ∨ ¬ х 3
Определение. Формула называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ), если она является конъюнкцией неповторяющихся элементарных дизъюнкций.
КНФ записывается в следующей форме: F 1 ∧ F 2 ∧ ... ∧ F n , где F i - элементарная дизъюнкция
Примеры: (х 1 ∨ ¬ х 2) ∧ х 3 , (х 1 ∨ х 2) ∧ (¬ х 1 ∨ х 2 ∨ х 3) ∧ (х 1 ∨ ¬ х 2 ∨ ¬ х 3)
Определение.
Логическая формула от k переменных называется совершенной конъюнктивной нормальной формой (КДНФ), если:
1) формула является КНФ, в которой каждая элементарная дизъюнкция есть дизъюнкция k переменных х 1 , х 2 , …, х k , причем на i-м месте этой дизъюнкции стоит либо переменная х i , либо ее отрицание;
2) все элементарные дизъюнкции в такой КНФ попарно различны.
Пример: (х 1 ∨ х 2 ∨ х 3) ∧ (¬ х 1 ∨ ¬ х 2 ∨ х 3)
Заметим, что любую логическую функцию, не равную тождественно 0 или 1, можно представить в виде СДНФ или СКНФ .
Алгоритм построения СДНФ по таблице истинности
- Выбрать все строки таблицы, в которых значение функции равно единице.
- Для каждой такой строки записать конъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 1, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае - ее отрицание.
- Все полученные конъюнкции связываем операциями дизъюнкции.
Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности
- Выбрать все строки таблицы, в которых значение функции равно нулю.
- Для каждой такой строки записать дизъюнкцию всех переменных следующим образом: если значение некоторой переменной в этом наборе равно 0, то в конъюнкцию включаем саму переменную, в противном случае - ее отрицание.
- Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.
Анализ алгоритмов показывает, что если на большей части строк таблицы истинности значение функции равно 0, то для получения ее логической формулы лучше построить СДНФ, в противном случае - СКНФ.
Пример: Дана таблица истинности логической функции от трех переменных. Построить логическую формулу, реализующую эту функцию.
| x | y | z | F (x, y, z) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Т.к. на большинстве строк таблицы истинности значение функции равно 1, то построим СКНФ. В результате получим следующую логическую формулу:
F = (¬ x ∨ y ∨ z) ∧ (¬ x ∨ y ∨ ¬ z)
Проверим полученную формулу. Для этого построим таблицу истинности функции.
| x | y | z | ¬ x | ¬ x ∨ y ∨ z | ¬ z | ¬ x ∨ y ∨ ¬ z | F (x, y, z) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Сравнив исходную таблицу истинности и построенную для логической формулы, заметим, что столбцы значений функции совпадают. Значит, логическая функция построена верно.
Введем понятие элементарной дизъюнкции.
Элементарной дизъюнкцией называется выражение вида
Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) логической функции называется конъюнкция любого конечного множества попарно различных элементарных дизъюнкций. Например, логические функции
представляют собой конъюнкции элементарных дизъюнкций. Следовательно, они записаны в конъюнктивной нормальной форме.
Произвольная логическая функция, заданная аналитическим выражением, может быть приведена к КНФ путем выполнения следующих операций:
Использования правила инверсии, если операция отрицания применена к логическому выражению;
Использования аксиомы дистрибутивности относительно умножения:
Использования операции поглощения:
Исключения в дизъюнкциях повторяющихся переменных или их отрицаний;
Удаления всех одинаковых элементарных дизъюнкций, кроме одной;
Удаления всех дизъюнкций, в которые одновременно входят переменная и ее отрицание.
Справедливость перечисленных операций вытекает из основных аксиом и тождественных соотношений алгебры логики.
Конъюнктивная нормальная форма называется совершенной, если каждая входящая в нее элементарная дизъюнкция содержит в прямом или инверсном виде все переменные, от которых зависит функция.
Преобразование КНФ к совершенной КНФ осуществляется путем выполнения следующих операций:
Прибавления к каждой элементарной дизъюнкции конъюнкций переменных и их отрицаний, если они не входят в данную элементарную дизъюнкцию;
Использования аксиомы дистрибутивности;
Удаление всех одинаковых элементарных дизъюнкций, кроме одной.
В совершенной КНФ может быть представлена любая логическая функция, кроме
тождественно равной единице (). Отличительным свойством совершенной КНФ является то, что представление в ней логической функции единственно.
Элементарные дизъюнкции, входящие в совершенную КНФ функции, носят название конституент нуля. Каждая конституента нуля, входящая в совершенную КНФ, обращается в нуль на единственном наборе значений переменных, который является нулевым набором функции. Следовательно, число нулевых наборов логической функции совпадает с числом конституент нуля, входящих в ее совершенную КНФ.
Логическая функция константа нуля в совершенной КНФ представляется конъюнкцией 2nконституент нуля. Сформулируем правило составления СКНФ логической функции по таблице соответствия.
Для каждой строки таблицы соответствия, в которой функция равна нулю, составляется элементарная дизъюнкция всех переменных. При этом в дизъюнкцию входит сама переменная, если ее значение равно нулю, или отрицание, если ее значение равно единице. Полученные элементарные дизъюнкции объединяются знаком конъюнкции.
Пример 3.4. Для логической функции z(x), заданной таблицей соответствия 2.2, определим совершенную конъюнктивную форму.
Для первой строки таблицы, которая соответствует нулевому набору функции 000, находим конституенту нуля . Выполнив аналогичные операции для второй, третьей и пятой строк, определим искомую совершенную КНФ функции:
Необходимо отметить, что для функций, число единичных наборов которых превышает число нулевых наборов, более компактной является их запись в виде СКНФ и наоборот.
Простой дизъюнкцией { англ. inclusive disjunction } или дизъюнктом { англ. disjunct } называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза.
Простая дизъюнкция
- полная , если в неё каждая переменная (или её отрицание) входит ровно один раз;
- монотонная , если она не содержит отрицаний переменных.
Конъюнктивная нормальная форма, КНФ { англ. conjunctive normal form, CNF } нормальная форма, в которой булева функция имеет вид конъюнкции нескольких простых дизъюнктов.
Пример КНФ: $f(x,y) = (x \lor y) \land (y \lor \neg { z })$
СКНФ
Совершенная конъюнктивная нормальная форма, СКНФ { англ. perfect conjunctive normal form, PCNF } - это такая КНФ, которая удовлетворяет условиям:
- в ней нет одинаковых простых дизъюнкций
- каждая простая дизъюнкция полная
Пример СКНФ: $f(x,y,z) = (x \lor \neg { y } \lor z) \land (x\lor y \lor \neg { z })$
Теорема: Для любой булевой функции $f(\vec { x })$, не равной тождественной единице, существует СКНФ, ее задающая.
Доказательство: Поскольку инверсия функции $\neg { f } (\vec x)$ равна единице на тех наборах, на которых $f(\vec x)$ равна нулю, то СДНФ для $\neg { f } (\vec x)$ можно записать следующим образом:
$\neg { f } (\vec x) = \bigvee\limits_ { f(x^ { \sigma_ { 1 } } , x^ { \sigma_ { 2 } } , ... ,x^ { \sigma_ { n } }) = 0 } (x_ { 1 } ^ { \sigma_ { 1 } } \wedge x_ { 2 } ^ { \sigma_ { 2 } } \wedge ... \wedge x_ { n } ^ { \sigma_ { n } }) $, где $ \sigma_ { i } $ обозначает наличие или отсутствие отрицание при $ x_ { i } $
Найдём инверсию левой и правой части выражения:
$ f(\vec x) = \neg ({ \bigvee\limits_ { f(x^ { \sigma_ { 1 } } , x^ { \sigma_ { 2 } } , ... ,x^ { \sigma_ { n } }) = 0 } (x_ { 1 } ^ { \sigma_ { 1 } } \wedge x_ { 2 } ^ { \sigma_ { 2 } } \wedge ... \wedge x_ { n } ^ { \sigma_ { n } }) }) $
Применяя дважды к полученному в правой части выражению правило де Моргана, получаем: $ f(\vec x) = \bigwedge \limits_ { f(x^ { \sigma_1 } , x^ { \sigma_2 } , \dots ,x^ { \sigma_n }) = 0 } $ $(\neg { x_1^ { \sigma_1 } } \vee \neg { x_2^ { \sigma_2 } } \vee \dots \vee \neg { x_n^ { \sigma_n } }) $
Последнее выражение и является СКНФ. Так как СКНФ получена из СДНФ, которая может быть построена для любой функции, не равной тождественному нулю, то теорема доказана.
Алгоритм построения СКНФ по таблице истинности
- В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно $0$.
- Для каждого отмеченного набора записываем дизъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть $0$, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
- Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.
Пример построения СКНФ для медианы
1). В таблице истинности отмечаем те наборы переменных, на которых значение функции равно $0$.
| x | y | z | $ \langle x,y,z \rangle $ |
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
2). Для каждого отмеченного набора записываем конъюнкцию всех переменных по следующему правилу: если значение некоторой переменной есть $0$, то в дизъюнкцию включаем саму переменную, иначе ее отрицание.
| x | y | z | $ \langle x,y,z \rangle $ | |
| 0 | 0 | 0 | 0 | $(x \lor y \lor z)$ |
| 0 | 0 | 1 | 0 | $(x \lor y \lor \neg { z })$ |
| 0 | 1 | 0 | 0 | $(x \lor \neg { y } \lor z)$ |
| 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 1 | 0 | 0 | 0 | $(\neg { x } \lor y \lor z)$ |
| 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
3). Все полученные дизъюнкции связываем операциями конъюнкции.
$ \langle x,y,z \rangle = (x \lor y \lor z) \land (\neg { x } \lor y \lor z) \land (x \lor \neg { y } \lor z) \land (x \lor y \lor \neg { z })$
Примеры СКНФ для некоторых функций
Стрелка Пирса: $ x \downarrow y = (\neg { x } \lor { y }) \land ({ x } \lor \neg { y }) \land (\neg { x } \lor \neg { y }) $
Исключающее или: $ x \oplus y \oplus z = (\neg { x } \lor \neg { y } \lor z) \land (\neg { x } \lor y \lor \neg { z }) \land (x \lor \neg { y } \lor \neg { z }) \land (x \lor y \lor z)$
Определение 1. Конъюнктивным одночленом (элементарной конъюнкцией) от переменных называется конъюнкция этих переменных или их отрицаний.
Например , – элементарная конъюнкция.
Определение 2. Дизъюнктивным одночленом (элементарной дизъюнкцией) от переменных называется дизъюнкция этих переменных или их отрицаний.
Например , – элементарнаядизъюнкция.
Определение 3. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся дизъюнкцией элементарных конъюнктивных одночленов, называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) данной формулы.
Например, – ДНФ.
Определение 4. Формула, равносильная данной формуле алгебры высказываний и являющаяся конъюнкцией элементарных дизъюнктивных одночленов, называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ) данной формулы.
Например , – КНФ.
Для каждой формулы алгебры высказываний можно найти множество дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм.
Алгоритм построения нормальных форм
С помощью равносильностей алгебры логики заменить все имеющиеся в формуле операции основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием:
Избавиться от знаков двойного отрицания.
Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.
2.6. Совершенная дизъюнктивная и совершенная конъюнктивная нормальные формы
Любая булева функция может иметь много представлений в виде ДНФ и КНФ. Особое место среди этих представлений занимают совершенные ДНФ (СДНФ) и совершенные КНФ (СКНФ).
Определение 1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ) – это ДНФ, в которой в каждый конъюнктивный одночлен каждая переменная из наборавходит ровно один раз, причем входит либо сама, либо ее отрицание.
Конструктивно СДНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к ДНФ, можно определить следующим образом:
Определение 2. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) формулы алгебры высказываний называется ее ДНФ, обладающая следующими свойствами:
Определение 3. Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ) – это КНФ, в которой в каждый дизъюнктивный одночлен каждая переменная из наборавходит ровно один раз, причем входит либо сама, либо ее отрицание.
Конструктивно СКНФ для каждой формулы алгебры высказываний, приведенной к КНФ, можно определить следующим образом.
Определение 4. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) данной формулы алгебры высказываний называется такая ее КНФ, которая удовлетворяет следующим свойствам.
Теорема 1. Каждая булева функция от переменных, не являющаяся тождественно ложной, может быть представлена в СДНФ, и притом единственным образом.
Способы нахождения СДНФ
1-й способ
2-й способ
выделяем строки, где формула принимает значение 1;
составляем дизъюнкцию конъюнкций при условии, что если переменная входит в конъюнкцию со значением 1, то записываем эту переменную, если со значением 0, то ее отрицание. Получаем СДНФ.
Теорема 2. Каждая булева функция от переменных, не являющаяся тождественно истинной, может быть представлена в СКНФ, и притом единственным образом.
Способы нахождения СКНФ
1-й способ – с помощью равносильных преобразований:
2-й способ – с помощью таблиц истинности:
выделяем строки, где формула принимает значение 0;
составляем конъюнкцию дизъюнкций при условии, что если переменная входит в дизъюнкцию со значением 0, то записываем эту переменную, если со значением 1, то ее отрицание. Получаем СКНФ.
Пример 1. Постройте КНФ функции .
Решение
Исключим связку «» с помощью законов преобразования переменных:
= /законы де Моргана и двойного отрицания/ =
/дистрибутивные законы/ =
Пример 2. Приведите к ДНФ формулу .
Решение
Выразим логические операции ичерез,и:
= /отнесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания/ =
= /закон дистрибутивности/ .
Пример 3. Запишите формулу в ДНФ и СДНФ.
Решение
Используя законы логики, приведем данную формулу к виду, содержащему только дизъюнкции элементарных конъюнкций. Полученная формула и будет искомой ДНФ:
Для построения СДНФ составим таблицу истинности для данной формулы:
Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение 1. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных ,,данной строки:
строка 1: ;
строка 3: ;
строка 5: .
Дизъюнкция этих трех формул будет принимать значение 1 только на наборах переменных в строках 1, 3, 5, а следовательно, и будет искомой совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ):
Пример 4. Приведите формулу к СКНФ двумя способами:
а) с помощью равносильных преобразований;
б) с помощью таблицы истинности.
Решение:
Преобразуем вторую элементарную дизъюнкцию:
Формула имеет вид:
б) составим таблицу истинности для данной формулы:
Помечаем те строки таблицы, в которых формула (последний столбец) принимает значение 0. Для каждой такой строки выпишем формулу, истинную на наборе переменных ,,данной строки:
строка 2: ;
строка 6: .
Конъюнкция этих двух формул будет принимать значение 0 только на наборах переменных в строках 2 и 6, а следовательно, и будет искомой совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ):
Вопросы и задачи для самостоятельного решения
1. С помощью равносильных преобразований приведите к ДНФ формулы:
2. С помощью равносильных преобразований приведите к КНФ формулы:
3. С помощью второго дистрибутивного закона преобразуйте ДНФ в КНФ:
а)
;
4. Преобразуйте заданные ДНФ в СДНФ:
5. Преобразуйте заданные КНФ в СКНФ:
6. Для заданных логических формул постройте СДНФ и СКНФ двумя способами: с помощью равносильных преобразований и с помощью таблицы истинности.
б)
;
Конъюнктивная нормальная форма удобна для автоматического доказательства теорем . Любая булева формула может быть приведена к КНФ. Для этого можно использовать: закон двойного отрицания , закон де Моргана , дистрибутивность .
Энциклопедичный YouTube
-
1 / 5
Формулы в КНФ :
¬ A ∧ (B ∨ C) , {\displaystyle \neg A\wedge (B\vee C),} (A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C ∨ ¬ D) ∧ (D ∨ ¬ E) , {\displaystyle (A\vee B)\wedge (\neg B\vee C\vee \neg D)\wedge (D\vee \neg E),} A ∧ B . {\displaystyle A\wedge B.}Формулы не в КНФ :
¬ (B ∨ C) , {\displaystyle \neg (B\vee C),} (A ∧ B) ∨ C , {\displaystyle (A\wedge B)\vee C,} A ∧ (B ∨ (D ∧ E)) . {\displaystyle A\wedge (B\vee (D\wedge E)).}Но эти 3 формулы не в КНФ эквивалентны следующим формулам в КНФ:
¬ B ∧ ¬ C , {\displaystyle \neg B\wedge \neg C,} (A ∨ C) ∧ (B ∨ C) , {\displaystyle (A\vee C)\wedge (B\vee C),} A ∧ (B ∨ D) ∧ (B ∨ E) . {\displaystyle A\wedge (B\vee D)\wedge (B\vee E).}Построение КНФ
Алгоритм построения КНФ
1) Избавиться от всех логических операций, содержащихся в формуле, заменив их основными: конъюнкцией, дизъюнкцией, отрицанием. Это можно сделать, используя равносильные формулы:
A → B = ¬ A ∨ B , {\displaystyle A\rightarrow B=\neg A\vee B,} A ↔ B = (¬ A ∨ B) ∧ (A ∨ ¬ B) . {\displaystyle A\leftrightarrow B=(\neg A\vee B)\wedge (A\vee \neg B).}2) Заменить знак отрицания, относящийся ко всему выражению, знаками отрицания, относящимися к отдельным переменным высказываниям на основании формул:
¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B , {\displaystyle \neg (A\vee B)=\neg A\wedge \neg B,} ¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B . {\displaystyle \neg (A\wedge B)=\neg A\vee \neg B.}3) Избавиться от знаков двойного отрицания.
4) Применить, если нужно, к операциям конъюнкции и дизъюнкции свойства дистрибутивности и формулы поглощения.
Пример построения КНФ
Приведем к КНФ формулу
F = (X → Y) ∧ ((¬ Y → Z) → ¬ X) . {\displaystyle F=(X\rightarrow Y)\wedge ((\neg Y\rightarrow Z)\rightarrow \neg X).}Преобразуем формулу F {\displaystyle F} к формуле, не содержащей → {\displaystyle \rightarrow } :
F = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ Y → Z) ∨ ¬ X) = (¬ X ∨ Y) ∧ (¬ (¬ ¬ Y ∨ Z) ∨ ¬ X) . {\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\wedge (\neg (\neg Y\rightarrow Z)\vee \neg X)=(\neg X\vee Y)\wedge (\neg (\neg \neg Y\vee Z)\vee \neg X).}В полученной формуле перенесем отрицание к переменным и сократим двойные отрицания:
F = (¬ X ∨ Y) ∧ ((¬ Y ∧ ¬ Z) ∨ ¬ X) . {\displaystyle F=(\neg X\vee Y)\wedge ((\neg Y\wedge \neg Z)\vee \neg X).}Например, следующая формула записана в 2-КНФ:
(A ∨ B) ∧ (¬ B ∨ C) ∧ (B ∨ ¬ C) . {\displaystyle (A\lor B)\land (\neg B\lor C)\land (B\lor \neg C).}
Загрузка...
