Временным рядом (динамическим рядом ) называется набор значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда .
В общем виде при исследовании экономических процессов временного ряда выделяются несколько составляющих:
y t = u t + v t + c t + ε t (t= 1, 2, …, n),
где u t – тренд, v t – сезонная компонента, c t – циклическая компонента, ε t – случайная компонента.
Стационарные временные ряды.
Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряд y t (t= 1, 2, …, n ) называется строго стационарным , если совместное распределение вероятностей n наблюдений y 1 , y 2 ,…, y n такое же, как и n наблюдений y 1+τ , y 2+τ ,…, y n +τ при любых n, t, и τ . Таким образом, свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени t .
Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y 1 , y 2 , …, y n и y 1+τ , y 2+τ , …, y n +τ можно оценить с помощью выборочного коэффициента корреляции r(τ) :
Так как он оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции .
Функция r(τ) называется выборочной автокорреляционной функцией , а ее график - коррелограммой .
Кроме автокорреляционной функции при исследовании стационарных временных рядов рассматривают частную автокорреляционную функцию. Статистической оценкой частного коэффициента корреляции является выборочный частный коэффициент корреляции (или просто частный коэффициент корреляции ):
где r ij , r ik r jk – выборочные коэффициенты корреляции.
Так, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y t и y t +2 при устранении влияния y t +1 определяется по формуле:
где r(1), r(1,2), r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y t и y t +1 , y t +1 и y t +2 , и y t и y t +2 соответственно.
Наиболее распространенным приемом устранения автокорреляции во временных рядах является подбор соответствующей модели: авторегрессионной АР(p ), скользящей средней СС(q ) или авторегрегрессионной модели скользящей средней АРСС(p,q ) для остатков модели (в литературе можно встретить англоязычные названия моделей: авторегрессионной – АR(p ), скользящей средней – MA(q ) и авторегрегрессионной модели скользящей средней АRMA(p,q ).)
Идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной АРСС-модели, в которой остатки представляют собой белый шум, а все регрессоры значимы. Такое представление, как правило, не единственное, и один и тот же ряд может быть идентифицирован и с помощью АР-модели, и с помощью СС-модели.
y t = β 0 + β 1 y t -1 + β 2 y t -2 +…+ β p y t - p +ε t , (t= 1, 2, …, n),
где β 0 , β 1 ,… β p – некоторые константы.
Если исследуемый процесс y t в момент t определяется его значениями только в преды-дущий период t-1 , то получаем авторегрессионную модель 1-го порядка (или модель АР(1)).
y t = β 0 + β 1 y t -1 +ε t , (t= 1, 2, …, n),
Наряду с авторегрессионными моделями временных рядов в эконометрике рассматриваются также модели скользящей средней. В них моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка q (модель СС(q )) имеет вид:
y t = ε t – γ 1 ε t-1 – γ 2 ε t-2 –…– γ q ε t- q (t= 1, 2, …, n).
Нередко используются и комбинированные модели временных рядов АР и СС, которые имеют вид:
y t = β 0 + β 1 y t -1 + β 2 y t -2 +…+ β p y t - p + ε t – γ 1 ε t-1 – γ 2 ε t-2 –…– γ q ε t- q .
Если все значения выборочной частной автокорреляционной функции порядка выше p незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели, порядок авторегрессии которой не выше p .
Если все значения выборочной автокорреляционной функции порядка выше q незначимо отличаются от нуля, временной ряд следует идентифицировать с помощью модели скользящей средней, порядок которой не выше q .
Нестационарные временные ряды.
Пусть имеется временной ряд
y t = ρy t -1 + ξ t .
Предположим, что ошибки ξ t независимы и одинаково распределены, т.е. образуют белый шум. Перейдем к разностным величинам:
Δy t = λy t -1 + ξ t ,
где Δy t = y t – y t -1 , λ= ρ-1.
Если ряд Δy t является стационарным, то исходный нестационарный ряд y t называется интегрируемым (или однородным ).
Нестационарный ряд y t называется интегрируемым (однородным) k-го порядка , если после k -кратного перехода к приращениям
d k y t = d k-1 y t – d k-1 y t-1 ,
где d 1 y t = Δy t , получается стационарный ряд d k y t .
Если при этом стационарный ряд d k y t корректно идентифицируется как АРСС(p,q ), то нестационарный ряд y t обозначается как АРПСС(p,k,q ). Это означает модель авторегрессии – проинтегрированной скользящей средней (другое обозначение - ARIMA(p,k,q )) порядков p , k , q, которая известна как модель Бокса-Дженкинса. Процедура подбора такой модели реализована во многих эконометрических пакетах.
Модели с распределенными лагами.
При исследовании экономических процессов приходится моделировать ситуации, когда значение результативного признака в текущий момент времени t формируется под воздействием ряда факторов, действовавших в прошлые моменты времени. Величину l , характеризующую запаздывание в воздействии фактора на результат, называют лагом , а временные ряды самих факторных переменных, сдвинутые на один или более моментов времени, - лаговыми переменными . Модели, содержащие не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных, называют моделями с распределенными лагами :
В случае конечной величины максимального лага модель имеет вид:
y t = a + b 0 x t + b 1 x t-1 + … + b l x t-l +ε t .
Коэффициент b 0 характеризует среднее абсолютное изменение y t при изменении x t на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t , без учета воздействия лаговых значений фактора x . Этот коэффициент называется краткосрочным мультипликатором .
Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле:
b = b 0 + b 1 + … + b l .
Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t+l результата y под влиянием изменения на 1 ед. фактора x .
Величины β j =b j /b (j = 0,…,l ) называются относительными коэффициентами модели с распределенным лагом.
Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:
и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t . Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора. Высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени.
Медианный лаг (l Me) – представляет собой период времени, в течение которого будет реализована половина общего воздействия фактора на результат и определяется следующим соотношением:
Оценка модели с распределенными лагами зависит от того, конечное или бесконечное число лагов она содержит.
Метод Алмон.
Предполагается, что веса текущих и лаговых значений объясняющих переменных подчиняются полиномиальному закону распределения:
b j = c 0 + c 1 ·j + c 2 ·j 2 + … + c k ·j k . (5.1)
Уравнение регрессии примет вид:
y t = a + c 0 ·z 0 + c 1 ·z 1 + c 2 ·z 2 + … + c k ·z k + ε t , (5.2)
где , i = 1,…,k ; j =0,…,l . (5.3)
Схема расчета параметров модели:
1. устанавливается максимальная величина лага l ;
2. определяется степень полинома k , описывающего структуру лага;
3. по соотношениям (5.3) рассчитываются значения переменных z 0 , z 1 ,…, z k ;
4. обычным методом наименьших квадратов определяются
параметры уравнения линейной регрессии y t
от z i
(5.2);
5. рассчитываются параметры исходной модели по формулам (5.1).
Метод Койка.
Предполагается, что коэффициенты при лаговых значениях переменной убывают в геометрической прогрессии:
, j = 1, 2, … 0 < λ < 1. (5.4)
Уравнение регрессии преобразуется к виду:
y t = a + b 0 x t + b 0 ·λ x t-1 + b 0 ·λ 2 x t-2 +… +ε t .
После ряда преобразований получается уравнение авторегрессии первого порядка:
y t = a·(1 – λ) + b 0 ·x t + (1 – λ) y t-1 + u t ,
где u t = ε t – λ ε t-1 .
Определив параметры данной модели, находятся λ и оценки параметров a и b 0 исходной модели. Далее из соотношения (5.4) определяются параметры модели b 1 , b 2 ,… .
Величина среднего лага в модели Койка определяется формулой:
Пример 5. По данным о динамике товарооборота (Y , млрд. руб.) и доходах населения (X , млрд. руб.) была получена следующая модель с распределенными лагами:
Y t = 0,50∙X t + 0,25∙X t -1 + 0,13∙X t -2 + 0,13∙X t -3 + ε t .
(0,06) (0,04) (0,04) (0,06)
В скобках указаны значения стандартных ошибок для коэффициентов регрессии. Значение R 2 = 0,98.
Задание:
1. Проанализируйте полученные результаты регрессионного анализа.
2. Дайте интерпретацию параметров модели: определить краткосрочный и долгосрочный мультипликаторы.
3. Определите величину среднего лага и медианного лага.
Решение.
1. Проверка значимости отдельных коэффициентов модели дает следующие расчетные значения t-статистики для коэффициентов:
t b 0 = 0,50/0,06 = 8,33; t b 1 = 0,25/0,04 = 6,25;
t b 2 = 0,13/0,04 = 3,25; t b 3 = 0,13/0,06 = 2,17.
Таким образом, все коэффициенты оказываются значимыми, и выбор величины лага l =3 является оправданным. Об адекватности полученной модели свидетельствует и высокое значение коэффициента детерминации.
2. Краткосрочный мультипликатор в модели равен b 0 = 0,50. Он показывает, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. ведет в среднем к росту товарооборота на 0,5 млрд. руб. в том же периоде.
Долгосрочный мультипликатор для полученной модели составит:
b = b 0 + b 1 + b 2 + b 3 = 0,50 + 0,25 + 0,13 + 0,13 = 1,01.
Получаем, что увеличение доходов на 1 млрд. руб. в настоящий момент времени в долгосрочной перспективе (через 3 месяца) приведет к росту товарооборота на 1,01 млрд. руб.
Рассчитаем относительные коэффициенты модели:
β 0 = 0,50/1,01 = 0,495; β 1 = 0,25/1,01 = 0,248;
β 2 = 0,13/1,01 = 0,129; β 3 = 0,13/1,01 = 0,129.
Следовательно, 49,5% общего увеличения товарооборота, вызванного ростом доходов населения, происходит в текущий момент времени; 24,8% - в момент времени (t +1); 12,9% - в моменты времени (t +2) и (t +3).
3. Средний лаг в модели определяется следующим образом:
Величина среднего лага меньше месяца, что подтверждает, что эффект роста доходов населения на объем товарооборота проявляется сразу же.
Медианный лаг для данной модели составляет чуть более 1 месяца. ¨
Характерной чертой адаптивных методов прогнозирования является их способность непрерывно учитывать эволюцию динамических характеристик изучаемых процессов, «адаптироваться» к этой эволюции, придавая тем больший вес, тем более высокую информационную ценность имеющимся наблюдениям, чем ближе они к текущему моменту прогнозирования.
В основе процедуры адаптации лежит метод проб и ошибок. По модели делается прогноз на один интервал по времени. Через один шаг моделирования анализируется результат: насколько он далек от фактического значения. Затем в соответствии с моделью происходит корректировка. После этого процесс повторяется. Таким образом, адаптация осуществляется рекуррентно с получением каждой новой фактической точки ряда.
Методы экспоненциального сглаживания. Модель Брауна.
Пусть анализируемый временной ряд x(t) представлен в виде:
x(t) = a 0 + ε(t) ,
где a 0 – неизвестный параметр, не зависящий от времени, ε(t) - случайный остаток со средним значением, равным нулю, и конечной дисперсией.
В соответствии с методом Брауна прогноз x*(t+τ) для неизвестного значения x(t+τ) по известной до момента времени t траектории ряда x(t) строится по формуле:
x*(t; τ) = S(t),
где значение экспоненциально взвешенной скользящей средней S (t ) определяется по рекуррентной формуле:
S(t) = αx(t) + (1-α) S(t-1).
Коэффициент сглаживания α можно интерпретировать как коэффициент дисконтирования , характеризующий меру обесценивания информации за единицу времени. Из формулы следует, что экспоненциально взвешенная скользящая средняя является взвешенной суммой всех уровней ряда x(t) , причем веса уменьшаются экспоненциально по мере удаления в прошлое.
В качестве S (0) берется, как правило, среднее значение ряда динамики или среднее значение нескольких начальных уровней ряда.
Случай линейного тренда: x(t) = a 0 + a 1 t + ε(t) .
В этом случае прогноз x*(t; τ) будущего значения определяется соотношением:
x*(t; τ) = ,
а пересчет коэффициентов осуществляется по формулам:
Начальные значения коэффициентов берутся из оценки тренда линейной функцией.
Модель Хольта.
В модели Хольта введено два параметра сглаживания α 1 и α 2 (0< α 1 , α 2 <1). Прогноз x*(t;l) на l
x*(t; τ) = ,
а пересчет коэффициентов осуществляется по формулам:
Модель Хольта-Уинтерса.
Эта модель помимо линейного тренда учитывает и сезонную составляющую. Прогноз x*(t;τ) на τ шагов по времени определяется формулой:
x*(t;τ) = ,
где f(t) – коэффициент сезонности, а T – число временных тактов (фаз), содержащихся в полном сезонном цикле.
Видно, что в данной модели сезонность представлена мультипликативно . Формулы обновления коэффициентов имеют вид:
Модель Тейла-Вейджа.
Если исследуемый временной ряд имеет экспоненциальную тенденцию с мульти-пликативной сезонностью, то после логарифмирования обеих частей уравнения получается модель с линейной тенденцией и аддитивной сезонностью или модель Тейла-Вейджа.
Имеется модель:
x(t) = a 0 (t) + g(t) + δ(t),
a 0 (t) = a 0 (t-1) + a 1 (t).
Здесь a 0 (t) – уровень процесса после устранения сезонных колебаний, a 1 (t) – аддитивный коэффициент роста, ω(t) – аддитивный коэффициент сезонности и δ(t) – белый шум.
Прогноз x*(t;τ) на τ шагов по времени определяется формулой:
x*(t;τ) = .
Коэффициенты вычисляются рекуррентным способом по формулам:
Для определения оптимальных значений параметров адаптации перебирают различные наборы их значений и сравнивают получающиеся при этом среднеквадратические ошибки прогнозов.
Аннотация: Под временными рядами понимают экономические величины, зависящие от времени. При этом время предполагается дискретным, в противном случае говорят о случайных процессах, а не о временных рядах.
Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация
Пусть Рассмотрим временной ряд . Пусть сначала временной ряд принимает числовые значения. Это могут быть, например, цены на батон хлеба в соседнем магазине или курс обмена доллара на рубли в ближайшем обменном пункте. Обычно в поведении временного ряда выявляют две основные тенденции - тренд и периодические колебания.
При этом под трендом понимают зависимость от времени линейного, квадратичного или иного типа, которую выявляют тем или иным способом сглаживания (например, экспоненциального сглаживания) либо расчетным путем, в частности, с помощью метода наименьших квадратов . Другими словами, тренд - это очищенная от случайностей основная тенденция временного ряда.
Временной ряд обычно колеблется вокруг тренда , причем отклонения от тренда часто обнаруживают правильность. Часто это связано с естественной или назначенной периодичностью, например, сезонной или недельной, месячной или квартальной (например, в соответствии с графиками выплаты заплаты и уплаты налогов). Иногда наличие периодичности и тем более ее причины неясны, и задача эконометрика - выяснить, действительно ли имеется периодичность .
Элементарные методы оценки характеристик временных рядов обычно достаточно подробно рассматриваются в курсах "Общей теории статистики" (см., например, учебники ), поэтому нет необходимости подробно разбирать их здесь. (Впрочем, о некоторых современных методах оценивания длины периода и самой периодической составляющей речь пойдет ниже.)
Характеристики временных рядов . Для более подробного изучения временных рядов используются вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем) основными характеристиками являются математическое ожидание , т.е.
Дисперсия , т.е.
и автокорреляционная функция временного ряда
т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда и .
В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. Выделим сначала стационарные
модели. В них совместные функции распределения 
для любого числа моментов времени , а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем
. В частности, математическое ожидание и дисперсия
являются постоянными величинами, автокорреляционная функция
зависит только от разности . Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными
.
Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками . Как видно из сказанного выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. В отличие от простейших моделей регрессионного анализа , рассмотренных в , здесь естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными , а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.)
Замечание . Как уже отмечалось в "Многомерный статистический анализ" , простейшая модель метода наименьших квадратов допускает весьма далекие обобщения, особенно в области системам одновременных эконометрических уравнений для временных рядов. Для понимания соответствующей теории и алгоритмов необходимо профессиональное владение матричной алгеброй. Поэтому мы отсылаем тех, кому это интересно, к литературе по системам эконометрических уравнений и непосредственно по временным рядам , в которой особенно много интересуются спектральной теорией, т.е. выделением сигнала из шума и разложением его на гармоники. Подчеркнем в очередной раз, что за каждой главой настоящей книги стоит большая область научных и прикладных исследований, вполне достойная того, чтобы посвятить ей много усилий. Однако из-за ограниченности объема книги мы вынуждены изложение сделать конспективным.
Системы эконометрических уравнений
Пример модели авторегрессии . В качестве первоначального примера рассмотрим эконометрическую модель временного ряда, описывающего рост индекса потребительских цен (индекса инфляции). Пусть - рост цен в месяц (подробнее об этой проблематике см. "Эконометрический анализ инфляции"). Тогда по мнению некоторых экономистов естественно предположить, что
| (6.1) |
где - рост цен в предыдущий месяц (а - некоторый коэффициент затухания, предполагающий, что при отсутствии внешний воздействий рост цен прекратится), - константа (она соответствует линейному изменению величины со временем), - слагаемое, соответствующее влиянию эмиссии денег (т.е. увеличения объема денег в экономике страны, осуществленному Центральным Банком) в размере и пропорциональное эмиссии с коэффициентом , причем это влияние проявляется не сразу, а через 4 месяца; наконец, - это неизбежная погрешность .
Модель (1), несмотря на свою простоту, демонстрирует многие характерные черты гораздо более сложных эконометрических моделей. Во-первых, обратим внимание на то, что некоторые переменные определяются (рассчитываются) внутри модели, как . Их называют эндогенными (внутренними) . Другие задаются извне (это экзогенные переменные). Иногда, как в теории управления, среди экзогенных переменных , выделяют управляемые переменные - те, с помощью которых менеджер может привести систему в нужное ему состояние.
Во-вторых, в соотношении (1) появляются переменные новых типов - с лагами, т.е. аргументы в переменных относятся не к текущему моменту времени, а к некоторым прошлым моментам.
В-третьих, составление эконометрической модели типа (1) - это отнюдь не рутинная операция. Например, запаздывание именно на 4 месяца в связанном с эмиссией денег слагаемом - это результат достаточно изощренной предварительной статистической обработки. Далее, требует изучения вопрос зависимости или независимости величин и . От решения этого вопроса зависит, как выше уже отмечалось, конкретная реализация процедуры метода наименьших квадратов .
С другой стороны, в модели (1) всего 3 неизвестных параметра, и постановку метода наименьших квадратов выписать нетрудно:
Проблема идентифицируемости . Представим теперь модель тапа (6.1) с большим числом эндогенных и экзогенных переменных , с лагами и сложной внутренней структурой. Вообще говоря, ниоткуда не следует, что существует хотя бы одно решение у такой системы. Поэтому возникает не одна, а две проблемы. Есть ли хоть одно решение (проблема идентифицируемости)? Если да, то как найти наилучшее решение из возможных? (Это - проблема статистической оценки параметров.)
И первая, и вторая задача достаточно сложны. Для решения обоих задач разработано множество методов, обычно достаточно сложных, лишь часть из которых имеет научное обоснование. В частности, достаточно часто пользуются статистическими оценками, не являющимися состоятельными (строго говоря, их даже нельзя назвать оценками).
Коротко опишем некоторые распространенные приемы при работе с системами линейных эконометрических уравнений.
Система линейных одновременных эконометрических уравнений . Чисто формально можно все переменные выразить через переменные, зависящие только от текущего момента времени. Например, в случае уравнения (6.1) достаточно положить
Тогда уравнение пример вид
| (6.2) |
Отметим здесь же возможность использования регрессионных моделей с переменной структурой путем введения фиктивных переменных. Эти переменные при одних значениях времени (скажем, начальных) принимают заметные значения, а при других - сходят на нет (становятся фактически равными 0). В результате формально (математически) одна и та же модель описывает совсем разные зависимости.
Косвенный, двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов . Как уже отмечалось, разработана масса методов эвристического анализа систем эконометрических уравнений. Они предназначены для решения тех или иных проблем, возникающих при попытках найти численные решения систем уравнений.
Одна из проблем связана с наличием априорных ограничений на оцениваемые параметры. Например, доход домохозяйства может быть потрачен либо на потребление, либо на сбережение. Значит, сумма долей этих двух видов трат априори равна 1. А в системе эконометрических уравнений эти доли могут участвовать независимо. Возникает мысль оценить их методом наименьших квадратов , не обращая внимания на априорное ограничение, а потом подкорректировать. Такой подход называют косвенным методом наименьших квадратов .
Двухшаговый метод наименьших квадратов состоит в том, что оценивают параметры отдельного уравнения системы, а не рассматривают систему в целом. В то же время трехшаговый метод наименьших квадратов применяется для оценки параметров системы одновременных уравнений в целом. Сначала к каждому уравнению применяется двухшаговый метод с целью оценить коэффициенты и погрешности каждого уравнения, а затем построить оценку для ковариационной матрицы погрешностей, После этого для оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов .
Менеджеру и экономисту не следует становиться специалистом по составлению и решению систем эконометрических уравнений, даже с помощью тех или иных программных систем, но он должен быть осведомлен о возможностях этого направления эконометрики, чтобы в случае производственной необходимости квалифицированно сформулировать задание для специалистов-эконометриков.
От оценивания тренда (основной тенденции) перейдем ко второй основной задаче эконометрики временных рядов - оцениванию периода ( цикла ).
Алгоритм построения модели временного ряда на примере аддитивной и мультипликативной моделей
Алгоритм построения модели временного ряда, включающего циклические колебания, состоит из основных этапов, содержание которых несколько отличается для аддитивной и мультипликативной моделей.
Упростим модель, введя одно обозначение для циклической составляющей ряда, независимо от длительности цикла, или от ее сезонной или конъюнктурной природы. Обозначим ее s t . Тогда аддитивная модель примет вид y t = u t + s t + e t , а мультипликативная - y t = u t * s t * e t .
Итак, основные этапы построения модели:
1) Сглаживание исходного ряда на основе средних, которые рассчитываются за промежуток времени, соответствующий длительности цикла.
2) Определение значений циклической или сезонной компоненты (более подробно см. Елисеева И.И., Курышева С.В., Костеева Т.В. и др. Эконометрика: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2001. – С. 242-251). Для аддитивной модели сумма значений этой компоненты за все периоды одного цикла должна равняться нулю, а в мультипликативной модели – числу периодов в цикле. За счет этого обеспечивается взаимопогашаемость циклической компоненты.
3) Устранение из модели циклических компонент. В аддитивной модели оно осуществляется путем вычитания, после чего модель примет вид y t = u t + e t . В мультипликативной модели оно осуществляется путем деления, после чего модель примет вид y t = u t * e t .
4) Аналитическое выравнивание полученного ряда y t = u t + e t или y t = u t * e t на основе построения уравнения тренда y t = f(t).
5) К полученным уровням ряда прибавляют циклическую компоненту (в случае аддитивной модели) или умножают их на нее (в случае мультипликативной модели): y t = f(t) + s t или y t = f(t) * s t .
6) Сравнение расчетных значений уровней ряда, полученных с помощью построенной модели, с фактическими значениями. Оценка полученной модели, расчет ошибок.
Временные ряды имеют стохастическую природу и, соответственно, для них могут быть рассчитаны различные вероятностные характеристики.
Стационарный временной ряд – это временной ряд, для которого все вероятностные характеристики постоянны.
Это означает, что какой бы фрагмент временного ряда мы не взяли, вероятностные характеристики значений показателя будут такими же, как и для любого другого временного промежутка этого ряда. Трендовая компонента в стационарном ряду отсутствует.
Нестационарный временной ряд этим свойством не обладает.
Наглядно стационарный и нестационарный временные ряды представлены на рисунке 5.1.
Различают понятия слабой и строгой стационарности . Чтобы считать ряд слабо стационарным, или стационарным в широком смысле слова, достаточно, чтобы он имел постоянные математическое ожидание, дисперсию и коэффициенты автокорреляции. Для более строгого определения стационарности необходимо постоянство и других вероятностных характеристик (функция распределения должна быть одинаковой), которые подробно изучаются в курсе теории вероятностей.
Следует помнить, что любой строго стационарный ряд является и слабо стационарным, но не наоборот. Таким образом, пересечение (общая часть) множества слабо стационарных рядов и множества строго стационарных рядов представляет собой множество строго стационарных рядов. Объединение множества слабо стационарных рядов и множества строго стационарных рядов – множество слабо стационарных рядов (потому что строго стационарные ряды входят в слабо стационарные).
Примером стационарного временного ряда может быть «белый шум» в регрессионных моделях (т.е. упорядоченные во времени значения случайной компоненты, для которых математическое ожидание и дисперсия постоянны (в этом случае ожидаемое значение остатка равно нулю), и эти значения некоррелированы друг с другом).
Эргодические ряды. Важным свойством некоторых стационарных рядов является свойство эргодичности . Суть этого свойства заключается в том, что для эргодического ряда математическое ожидание его уровней в пространстве совпадает с математическим ожиданием его уровней во времени.
Пусть для слабо стационарного процесса в любой момент времени t математическое ожидание значения М(y t) = µ (это математическое ожидание в пространстве). Математическое ожидание во времени представляет собой среднее из n значений временного ряда при n ® ¥. Если , то такой ряд – эргодический.
Иными словами, для стационарного временного ряда среднее значение по множеству реализаций для заданных моментов времени равно среднему по времени, вычисленному по одной реализации.
Важное значение в анализе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Стационарные временные ряды применяются, в частности, при описании случайных составляющих анализируемых рядов.
Временной ряд y t (t= 1,2,…,n) называется строго стационарным (или стационарным в узком смысле), если совместное распределение вероятностей n наблюдений y 1 ,y 2 ,…..,y n такое же, как и n наблюдений y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t при любых n, t и t. Другими словами, свойства строго стационарных рядов y t не зависит от момента t, т.е. закон распределения и его числовые характеристики не зависят от t. Следовательно, математическое ожидание a y (t) = a, среднее квадратическое отклонение s у (t) = s могут быть оценены по наблюдениям y t (t= 1,2,…,n) по формулам:
(6.3)
Простейшим примером стационарного временного ряда , у которого математическое ожидание равно нулю, а ошибок e t некоррелированы , является «белый шум» . Следовательно, можно сказать, что возмущения (ошибки) e t в классической линейной регрессионной модели образуют белый шум , а в случае их нормального распределения – нормальный (гауссовский ) белый шум.
Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временного ряда y 1 ,y 2 ,…..,y n и y 1+ t ,y 2+ t ,....y n + t (сдвинутых относительно друг от друга на e единиц, или, как говорят, с лагом t) может быть определена с помощью коэффициента корреляции
(6.4)
ибо 
Так как коэффициент r(t) измеряет корреляцию между членами одного и того же ряда, его называют коэффициентом автокорреляции , а зависимость r(t) – автокорреляционной функцией . В силу стационарности временного ряда y t (t= 1,2,…,n) автокорреляционная функция r(t) зависит только от лага t, причем корреляционная функция r(- t) = r(t) , т.е. при изучение r(t) можно ограничиться рассмотрением только положительных значений t.
Статистической оценкой r(t) является выборочный коэффициент автокорреляции r(t), определяемый по формуле коэффициента корреляции (3.20), в которой x i = y t , y i = y t + t , a n заменяется на n - t:
Функцию r(t) называют выборочной автокорреляционной функцией , а ее график - коррелограммой .
При расчете r(t) следует помнить, что с увеличением t число n - t пар наблюдений y t ,y t + t уменьшается, поэтому лаг t должен быть таким, чтобы число n - t было достаточным для определения r(t). Обычно ориентируются на соотношение t £ n/4.
Для стационарного временного ряда с увеличением лага t взаимосвязь членов временного ряда y t и y t + t ослабевает и автокорреляционная функция r(t) должна убывать (по абсолютной величине). В тоже время для ее выборочного (эмпирического) аналога r(t), особенно при небольшом числе пар наблюдений n - t , свойство монотонного убывания, (по абсолютной величине) при возрастании t может нарушаться.
Наряду с автокорреляционной функцией при исследовании стационарных временных рядов рассматривается частная автокорреляционная функция r част (t), где r част (t) есть частный коэффициент корреляции между членами временного ряда y t и y t + t при устранении (элиминировании) влияния промежуточных (между y t и y t + t) членов.
Статистической оценкой r част (t) является выборочная частная автокорреляционная r част (t) где r част (t) – выборочный частный коэффициент корреляции, определяемый по формуле (5.21) или (5.22).Например, выборочный частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка между членами временного ряда y t и y t + t при устранении влияния y t +1 может быть вычислен по формулу (5.22):
Где r(1) , r (1,2) ,r(2) – выборочные коэффициенты автокорреляции между y t и y t +1 , y t +1 и y t +2 , y t и y t +2 , t = 1,….,n.
Пример 6.1. По данным табл. 6.1 для временного ряда y t найти среднее значение, среднее квадратическое отклонение, коэффициенты автокорреляции 1-го порядка.
Решение. Среднее значение временного ряда находим по формуле (6.2):
Дисперсию и среднее квадратическое отклонение можно вычислить по формуле (6.3), но в данном случае проще использовать соотношение
где 
Найдем коэффициент автокорреляции r(t) временного ряда (для лага t = 1), т.е. коэффициент корреляции между последовательностями семи пар наблюдений y t и y t + t (t = 1,2….,7).
Важное значение в анализе и прогнозировании на основе временных рядов имеют стационарные временные ряды, вероятностные свойства которых не изменяются во времени. Временной ряду { = (1,2,..., п) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей п наблюдений у { ,у 2 , ???,у п такое же, как у« наблюдений у 1+т, у 2+т, ???,У п+Т (при любых«, /их). Свойства строго стационарных рядов не зависят от момента времени Итак, для стационарного случайного процесса характерна неизменность во времени его основных вероятностных характеристик, таких, как математическое ожидание и дисперсия.
Под стационарными рядами понимаются однородные во времени случайные процессы, характеристики которых не меняются с течением времени /. Характеристики этих процессов и определяют особенности процессов и являются предметом исследования. Если эти характеристики (математическое ожидание, дисперсия и пр.) удалось с заданной степенью точности найти, то задача прогноза таких стационарных процессов становится чрезвычайно простой. В то же время стационарные процессы могут иметь самый различный характер динамики - изменение одной части из них не имеет ярко выраженных тенденций во времени, динамика другой части имеет явно выраженную тенденцию изменения во времени, которая может носить и очень сложный нелинейный характер. Таким образом, стационарная группа типов динамики временного ряда может быть, в свою очередь, разделена на две подгруппы: 1) простые стационарные; 2) сложные стационарные. Для первой группы факторов, простого стационарного типа, выполняется условие неизменности во времени их математического ожидания и других характеристик случайных процессов. Если же математическое ожидание и иные характеристики вероятностного процесса претерпевают изменение во времени, то такие ряды являются сложными стационарными.
Модели стационарных и нестационарных временных рядов
Простые стационарные процессы применительно к социально-экономическим объектам анализируются и прогнозируются с помощью простейших методов математической статистики (точечный и интервальный прогнозы динамики временного ряда). Чаще всего можно утверждать наличие закона нормального распределения, и поэтому основные усилия должны быть направлены на доказательство этого положения с помощью соответствующих статистических гипотез и методов их проверки, а после этого - на вычисление характеристик процесса. Если удалось подтвердить гипотезу о нормальном характере распределения изучаемого ряда, то лучшей оценкой его математического ожидания выступает средняя арифметическая, а лучшей оценкой дисперсии - выборочная дисперсия. Причем здесь уместен основной принцип выборочного метода - чем больше наблюдений, тем лучше оценки модели.
Сложные стационарные процессы свидетельствуют о наличии множества факторов, воздействующих на объект, показатели которого меняются во времени. Поэтому задачей прогнозиста является выявление главных из этих факторов и построение модели, описывающей влияние главных факторов на объект прогнозирования. Если этих факторов много, и выделить главные по каким-то соображениям невозможно, считают, что время выступает таким обобщающим фактором, и находят модель зависимости между прогнозным показателем и временем. Как правило, в этих случаях исследователю неизвестно большинство основных характеристик случайного динамического стационарного процесса. Он должен по данным наблюдений за процессом найти эти характеристики. Здесь исследователь вынужден прибегать к некоторым априорным предположениям - допускать наличие того или иного закона распределения вероятностей, свойств процесса и его взаимосвязей, характера динамики и т.п. В данном случае наиболее эффективно может использоваться тот раздел экономической науки, который получил название эконометрики.
Так как статистические свойства сложных стационарных рядов не
изменяются со временем, то эти их свойства можно накопить и выявить с помощью вычисления некоторых функций отданных. Функция, которую впервые использовали для этой цели, является автокорреляционной функцией (АКФ). Степень тесноты связи между последовательностями наблюдений временногорядау р у 2 , -,у иу 1+т, у 2+х, ’ Уп+х обычно определяют с помощью выборочного коэффициента корреляции г(т). Его формула приведена ниже:
/7-Т ( /7-Т Л ^
(л-т)2>, 2 - 5>,
Хп-"шАЪ.
- (6.5)
где т - число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции (лаг).
Этот коэффициент оценивает корреляцию между уровнями одного и того же ряда, поэтому иногда его называют коэффициентом автокорреляции. Формулу расчета коэффициента автокорреляции 1-го порядка (при т = 1) можно представить следующим образом:
- (6.6)
- 1=2 1=2
Коэффициент автокорреляции 2-го порядка определяется по формуле
- (6.8)
- - 2
- 1л 5> н
- (6.9)
С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается. Считается целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов автокорреляции использовать правило - максимальный лаг должен быть не больше п/6. Функция г(т) называется выборочной автокорреляционной функцией, а ее график - коррелограм-мой. Вид выборочной автокорреляционной функции тесно связан со
; у, = " 3
структурой ряда.
- 1. Автокорреляционная функция г(т) для «белого шума» при т > О также образует стационарный временной ряд со средним значением нуль.
- 2. Для стационарного ряда АКФ быстро убывает с ростом т. При наличии отчетливого тренда автокорреляционная функция приобретает характерный вид очень медленно спадающей кривой.
- 3. В случае выраженной сезонности в графике АКФ также присутствуют «выбросы» для запаздываний, кратных периоду сезонности, но эти «выбросы» могут быть завуалированы наличием тренда или большой дисперсией случайной компоненты.
Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка т, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в т моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположении относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит ярко выраженную нелинейную тенденцию, для выявления которой необходимо провести дополнительный анализ. Поэтому коэффициент автокорреляции и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде трендовой компоненты и циклической (сезонной) компоненты. Таким образом, при изучении сложных стационарных временных рядов основной задачей является выявление и устранение автокорреляции.
Нестационарные процессы в противоположность стационарным отличаются тем, что они меняют во времени все свои характеристики. Причем это изменение может быть столь существенным, что динамика одного показателя будет отражать развитие совершенно разных процессов. Все взаимосвязи и взаимозависимости объекта прогнозирования меняются во времени. Более того, меняется во времени и структура и направление взаимодействия элементов, составляющих объект прогнозирования. В зависимости от того, насколько меняются во времени приращения АУ(Т), нестационарные процессы также могут быть выделены в две подгруппы: 1) эволюционные процессы; 2) хаотические процессы.
Если приращения АУ(Т) постепенно увеличиваются с течением времени в результате количественных и качественных изменений, происходящих в системе, отражением которой реализацией является нестационарный ряд, то эти процессы могут быть названы эволюционными. При этом отношение Д К(7)/Т(? + 7), характеризующее нарастание неопределенности, имеет увеличивающуюся со временем Т динамику - от нуля до бесконечности. В случае, когда приращения АУ(Т) не имеют какой-либо достаточно выраженной тенденции во времени и их изменения хаотичны (например, при первом же наблюдении АУ(Т) может быть достаточно велико в сравнении с самим показателем У(Т)), то такие процессы могут быть отнесены к хаотическим. Хаотический характер динамики возникает в тех случаях, когда или сам процесс неинерционен и динамика его развития легко меняется под воздействием внешних или внутренних факторов, или же когда на инерционный процесс воздействуют внешние факторы такой силы, что под их воздействием «ломаются» и внутренняя структура процесса, и его взаимосвязи, и его динамика. Иначе говоря, эволюционная динамика характеризует процесс адаптации объекта к внешним и внутренним воздействиям, а хаотическая динамика - отсутствие способности объекта к адаптации.
Сложный характер нестационарной динамики предопределяет и сложность аппарата моделирования и прогнозирования этой динамики. Прогнозирование эволюционных составляющих экономической конъюнктуры до последнего времени не попадало в поле зрения специалистов по социально-экономическому прогнозированию - только в последние годы в учебники по прогнозированию стали включаться соответствующие разделы. На практике эволюционные процессы просто не выделяли в отдельную группу и для их анализа и прогнозирования использовали приемы классической эконометрики, не задумываясь над корректностью такого применения. Именно использование аппарата прогнозирования, методологически несовместимого со свойствами объекта прогнозирования, и приводит к серьезным ошибкам при выборе инструментария и существенной дисперсии прогноза в практике прогнозирования социально-экономической динамики. Для прогнозирования временных рядов социально-экономических показателей эволюционного типа методологически обоснованным является применение адаптивных методов прогнозирования. Вопросы прогнозирования хаотических рядов социально-экономической динамики в настоящее время решаются с использованием теории хаоса и теории катастроф.
Далее рассмотрим методы прогнозирования часто наблюдаемых в практике социально-экономических исследований сложных стационарных и эволюционных нестационарных динамических процессов. Для рядов выше упомянутых типов английскими статистиками Д. Боксом и В. Дженкинсом в середине 1990-х гг. разработан алгоритм прогнозирования. В иерархию алгоритмов Бокса - Дженкинса входит несколько алгоритмов, самым известным и используемым из них является алгоритм АЯ1МА. Он встроен практически в любой специализированный пакет для прогнозирования. В классическом варианте ЛЯ1МА не используются независимые переменные. Модели опираются только на информацию, содержащуюся в предыстории прогнозируемых рядов, что ограничивает возможности алгоритма. В настоящее время в научной литературе часто упоминаются варианты моделей АЯ1МА, позволяющие учитывать независимые переменные.
Модели АЯ1МА опираются в основном на автокорреляционную структуру данных. В методологии АЯ1МА не предусматривается какой-либо четкой модели для прогнозирования данного временного ряда. Задается лишь общий класс моделей, которые описывают временной ряд и позволяют как-то выражать текущее значение переменной через ее предыдущие значения. Потом алгоритм АЯ1МА, задавая параметры моделей, сам избирает наиболее приемлемую модель прогнозирования. Существует целая иерархия моделей Бокса - Дженкинса. Логично ее можно определить так:
АЯ(р) + МА(д) -> АЯМА(р, д) АЯМА(р, д)(Р , 0 ->
-? АЯ1МА(р, д, г)(Р, 0 Я) ... (6.10)
где АЯ(р) - авторегрессионная модель порядка р МА(д) - модель скользящей средней порядка д ; АЯМА(р, д) - комбинированная модель авторегрессии и скользящей средней; АЯМА(р , д) (Р, О) - модель экспоненциального сглаживания; АЯ1МА{р , д, г) (Р, 0 Я) - моделирование нестационарного эволюционного процесса с линейным трендом.
Первые три модели аппроксимируют динамику сложных стационарных временных рядов, последующие две - динамику эволюционных нестационарных временных рядов. Модель считается приемлемой, если остатки (в основном малые) распределены случайно и не содержат полезной информации. Если заданная модель неудовлетворительна, процесс повторяется, но уже с использованием новой улучшенной модели. Подобная итерационная процедура повторяется до тех пор, пока не будет найдена удовлетворительная модель. Из этого момента заданная модель может использоваться для целей прогнозирования.
В модели АШМА уровень динамического ряда у определяется как взвешенная сумма предыдущих его значений и значений остатков е г - текущих и предыдущих. Она объединяет модель авторегрессии порядкар и модель скользящей средней порядка ц. Тренд включается в ЛШМА с помощью оператора конечных разностей ряда у г Для фильтрации линейного тренда используют разницы 1-го порядка, для фильтрации параболического тренда - разницы 2-го порядка и т.д. Разница й должна быть стационарной. Вид модели АШМА, адекватность ее реальному процессу и прогнозные свойства зависят от порядка авторегрессии р и порядка скользящей средней
Ключевым моментом моделирования считается процедура идентификации - обоснования вида модели. В стандартной методике АШМА идентификация сводится к визуальному анализу авто-коррелограмм и основывается на принципе экономии, по которому {р + АШМА порядка (р , (1 , (Ря, А?, 05). Таким образом, идентификацией временного ряда называется построение для ряда остатков адекватной модели, в которой остатки представляют собой «белый шум», а все регрессоры значимы.
Рассмотрим некоторые модели АШМА подробнее. Авторегрессионная модель порядка р имеет вид
У, = Ро + Р1 У ,-1 + Р 2 Т/- 2 + + Р Р У,- Р + е, {* = I 2, ..., п), (6.11)
где Р 0 , р., ..., р - некоторые константы; г (- уровень «белого шума», который может быть опущен.
Если исследуемый процесс у в момент Г определяется его значениями только в предыдущий период 7-1, то получаем авторегрессионную модель первого порядка
У, =Р 0 +Р1Л-1 + е, (7 = 1,2,...,«), (6.12)
В моделях скользящей средней моделируемая величина задается линейной функцией от возмущений (остатков) в предыдущие моменты времени. Модель скользящей средней порядка д имеет вид
У,= е 1 -У 1 е,-1-У 2 е,- 2 - - -У,е,-, (7 = 1,2,...,«), (6.13)
где у р у., ..., у - некоторые константы; е - ошибки.
Нередко используется комбинированная модель авторегрессии и скользящей средней, которая имеет вид
У, = Ро + Р.Л-, + РзЯ-2+- + РрУ"-р +?1 - У&-1 - У 2^-2 -???- У&-Я (6.14)
Параметры р и
- 1) один параметр (р), если автокорреляционная функция (АКФ) экспоненциально убывает;
- 2) два параметра авторегрессии (р), если АКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает;
- 3) один параметр скользящего среднего (
- 4) два параметра скользящего среднего (д), если АКФ имеет резко выделяющиеся значения на лагах 1 и 2 и нет корреляции на других лагах.
Адаптивное прогнозирование
При изучении нестационарных эволюционных временных рядов применяется адаптивное прогнозирование. Адаптивные методы прогнозирования - это совокупность моделей дисконтирования данных, способные приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. При оценке параметров адаптивных моделей наблюдениям (уровням ряда) присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным признается их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность. Адаптивные методы прогнозирования представляют собой подбор и адаптацию моделей прогнозирования на основании вновь поступившей информации. К самым распространенным из них относится метод экспоненциального сглаживания и метод гармонических весов Хель-вига.
Метод экспоненциального сглаживания. Особенность его состоит в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используются только значения предыдущих уровней ряда динамики, взятых с определенным весом. Вес каждого наблюдения уменьшается по мере его удаления от момента, для которого определяется сглаженное значение. Сглаженное значение уровня ряда 5 на момент / определяется по формуле
5, = ау, + (1-а)5,_ 1 , (6.15)
где 5 - значение экспоненциальной средней в момент /; 5 / _ 1 - значение экспоненциальной средней в момент (/- 1); ? - значение экономического процесса в момент времени /; а - вес /-го значения ряда динамики (или параметр сглаживания, значения которого изменяются от нуля до единицы).
Последовательное применение формулы (6.15) позволяет вычислить экспоненциальную среднюю через значения всех уровней данного ряда динамики. Кроме того, на основе формулы (6.15) определяются экспоненциальные средние 1-го порядка, т.е. средние полученные непосредственно при сглаживании исходных данных ряда динамики. В тех случаях, когда тенденция после сглаживания исходного ряда определена недостаточно ясно, процедуру сглаживания повторяют, т.е. вычисляют экспоненциальные средние второго, третьего порядка и т.д., пользуясь выражениями (6.16-6.18):
|
^ 2] = ос?, [,] +(1-а)?, [ 3; |
|
|
^ ] = а5, !2] + (1-а)^]; |
|
|
5 1 , 1 * 1 = а^* -1] + (1 - а)5^, |
где 5^ - экспоненциальная средняя к-то порядка в точке I (к = 1,
2, 3,..., п ).
Для линейной модели у = а 0 + а и начальные условия следующие:
? - а - а 2 (1 ~ а) а ^О(у) “О “р (у) “О а "
Экспоненциальные средние первого и второго порядка для этой модели:
5,1" = ау, + (1 ?- а)5™5,1" = а5|" + (1 - а)5Й
Прогноз осуществляется по формуле у * = я 0 + я,/. Причем параметры а 0 и а { соответственно равны
- (6.19)
- (6.20)
Ошибка прогноза определяется по формуле
)/{Г-а)[* -4(1 -а) + 5(1 - а) 2 + 2а(4-3а)
/ + 2 а ч
где ъу - средняя квадратическая ошибка отклонения от линейного тренда.
Метод гармонических весов. Этот метод был разработан польским статистиком 3. Хельвигом. Он близок к методу простого экспоненциального сглаживания, использует тот же принцип. В его основе лежит взвешивание скользящего показателя, но вместо скользящей средней используется идея скользящего тренда. Экстраполяция про-
водится по скользящему тренду, отдельные точки ломаной линии взвешиваются с помощью гармонических весов, что позволяет более поздним наблюдениям придавать больший вес. Метод гармонических весов базируется на следующих предпосылках:
- период времени, за который изучается экономический процесс, должен быть достаточно длительным, чтобы можно было определить его закономерности;
- исходный ряд динамики не должен иметь скачкообразных изме-
- социально-экономическое явление должно обладать инерционностью, т.е. для наступления существенного изменения в характеристиках процесса необходимо, чтобы прошло значительное время;
- отклонения от скользящего тренда имеют случайный характер;
- автокорреляционная функция, рассчитанная на основе последовательных разностей, должна уменьшаться с ростом /, т.е. влияние более поздней информации должно сильнее отражаться на прогнозируемой величине, чем на исходной информации.
Для получения точного прогноза методом гармонических весов необходимо выполнение всех вышеуказанных предпосылок для исходного ряда динамики. Для использования данного метода исходный ряд разбивается на фазы к. Число фаз должно быть меньше числа членов ряда п , т.е. к Обычно фаза равна трем-пяти уровням. Для каждой фазы рассчитывается линейный тренд, т.е.
У т = а, + V 0" = 1, 2,п - к + 1).
При этом для /, равного единице, Г = 1, 2,..., к; для /, равного двум, Г = 2, 3,..., к + 1; для /, равного п - к + 1, г = я - к + ,п - к +2 ,..., п. Для оценки параметров а. { и Ь ш используется метод наименьших квадратов. С помощью полученных (п - к + 1) уравнений определяются значения скользящего тренда. С этой целью выделяются те значения у (цу для которых Г = /, их обозначают у.^. Пусть их будет Пу Затем находится среднее значение у т по формуле
После этого необходимо проверить гипотезу о том, что отклонения от скользящего тренда представляют собой стационарный процесс. С этой целью рассчитывается автокорреляционная функция. Если значения автокорреляционной функции уменьшаются от периода к периоду, то пятая предпосылка данного метода выполняется. Далее рассчитываются приросты по формуле
Средняя приростов вычисляется по формуле
где С" +| - гармонические коэффициенты, удовлетворяющие условиям С” +1 > 0 (/ = 1,2,п - 1) и ^С," (= 1.
Выражение (6.25) позволяет более поздней информации придавать большие веса, так как приросты обратно пропорциональны времени, которое отделяет исходную информацию от более поздней для момента Г = п. Если исходная информация имеет вес т 2 = /[п - 1), то
вес информации, относящейся к следующему моменту времени, равен
т,=т 2 - 1--- = --I---. (6.26)
3 2 п-2 п- 1 /7-2
В общем виде ряд гармонических весов определяют как
= т, л --
- (/ = 2, 3, , п 1),
- (6.27)
^ т, +1 =/7 -1. (6.29)
Чтобы получить гармонические коэффициенты С,", удовлетворяющие двум вышеуказанным условиям, гармонические веса т 1 +1 необходимо разделить на (п - 1), т.е.
У, = У/ + Ю (6.31)
при начальном условии У* = Уд,у Данный метод прогнозирования применяется, когда есть уверенность, что тенденция в будущем описывается плавной кривой, т.е. в ряду отсутствуют сезонные и циклические колебания. Таким образом, перед предвидением развития изучаемого объекта необходимо сделать вывод о стационарности или нестационарности временного ряда. Данное положение можно проверить с помощью теста Дики - Фуллера. Базовый порождающий данный процесс, который используется в тесте,- авторегрессионный процесс первого порядка:
у (= т 0 + т { / + г- у (_ { + е /? (6.32)
где т 0 , т { иг - постоянные коэффициенты, которые могут быть найдены с помощью МНК; ? - случайная ошибка, которая в расчет может не приниматься.
Если выполняется условие 0 г 1, то ряд является стационарным. При г 0 и г> 1, то изучаемый временной ряд не является стационарным.
Загрузка...
