Максимумом следует называть самое большое число или самый большой предел, которого можно достигнуть. Минимум – это, как все мы прекрасно знаем, прямая противоположность максимуму, т.е. это самое маленькое число и самый маленький предел. Слова минимум и максимум, а также их производные встречаются в таких выражениях и фразах как:
Получать максимум от общения.
Чтобы выучить стихотворение его нужно прочесть как минимум 3-4 раза.
Максимум на что он способен, это…..
У них есть как минимум два общих друга.
Он получил максимальный бал.
Используй возможности по-максимуму!
Это тот минимум, который нужно знать.
Прожиточный минимум.
Минимальное атмосферное давление.
Минимальные/максимальные холода за ….. лет.
Вам потребуется минимум несколько часов для выполнения этой работы.
Такие понятия как максимум и минимум можно встретить и в специальных научных терминах. Например, в математике есть такое понятие как максимум и минимум функции.
Таким образом, максимумом в математике называется наибольшее значение функции. При этом максимальное значение функции больше всех соседних с ней значений. Максимум функции – это такое ее значение, когда сначала значение увеличивается, а затем сразу же начинает убывать, при этом она имеет максимум в том месте, где увеличение и уменьшение функции переходят от одного к другому. Минимум функции – это, соответственно, наименьшее значение функции.
Первую производную функции можно считать положительной, если она поднимается вверх, когда мы увеличиваем переменную, тогда функцию можно считать положительной. Если же первая переменная при увеличении производного, убывает, то функцию следует считать отрицательной.
Производная – это основное значение, которое используют при дифференциальных вычислениях (изучение производной и дифференциала, которые помогают исследовать математические функции), она может пониматься как скорость изменения функции в конкретной точке. Чем скорость больше, тем сильнее меняется функция, чем меньше, тем медленнее (это, однако, правда, только если функция положительная). Таким образом, именно скорость изменения функции в заданной точке и определяет ее наклоны и выпуклости. А переменная – это величина, которая способна менять свое значение. Ее обозначают как x или time.
Переменной можно считать атрибут системы (как физической, так и абстрактной), который способен изменить свое значение. В более глобальном смысле переменной можно назвать и время, и температуру и, вообще, всю жизнь (они могут меняться). Переменная имеет множество значений, которые она способна принимать. Можно считать, что это множество и является переменной.
Что касается непосредственно функции, то она должна пройти от положительного к отрицательному значению через ноль. Таким образом, при том значении переменного, которому соответствует максимум функции, ее производная будет равна нулю. Именно это свойство функции позволяет определять значения x, при которых функция достигает максимума. Однако, если мы увеличим переменную и, при этом, функция сначала увеличивается, а затем уменьшается, то функция, при изменении с отрицательного значения на положительное (пройдя через ноль), достигнет не максимального, а, наоборот, минимального значения. Хотя по логике вещей это можно было бы принять именно за максимальное значение (он находится в верхней точке функции).
Точки максимума и минимума функции еще называют точками экстремума.
Таким образом, как в обычной жизни, так и в математике максимум и минимум – это две крайние противоположности, которые обозначают что-то самое большое и что-то самое маленькое.
1°. Определение экстремума функции.
Понятие максимума, минимума, экстремума функции двух переменных аналогичны соответствующим понятиям функции одной независимой переменной.
Пусть функция z = f (x ; у) определена в некоторой области D , точка N (x 0 ; y 0) D .
Точка (x 0 ; y 0) называетсяточкой максимума функции z = f (x ; y ), если существует такая -окрестность точки (x 0 ; y 0), что для каждой точки (х;у), отличной от (x 0 ; y 0) из этой окрестности выполняется неравенство f (x ; y ) < f (x 0 ; y 0). На рисунке 12: N 1 - точка максимума, a N 2 - точка минимума функции z = f (x ; y ).
Аналогично определяетсяточкаминимума функции: для всех точек (x 0 ; y 0), отличных от (x 0 ; y 0), из d -окрестности точки (x 0 ; y 0) выполняется неравенство: f (x 0 ; y 0) > f (x 0 ; y 0).
Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
Значение функции в точке максимума (минимума) называется максимумом {минимумом) функции.
Максимум и минимум функции называют ее экстремумами.
Отметим, что, в силу определения, точка экстремума функции лежит внутри области определения функции; максимум и минимум имеют локальный (местный) характер: значение функции в точке (x 0 ; y 0) сравнивается с ее значениями в точках, достаточно близких к (x 0 ; y 0). В области D функция может иметь несколько экстремумов или не иметь ни одного.
2°. Необходимые условия экстремума.
Рассмотрим условия существования экстремума функции.
Геометрически равенства f " y (x 0 ; y 0) = 0 и f " y (x 0 ; y 0) = 0 означают, что в точке экстремума функции z = f (x ; у) касательная плоскость к поверхности, изображающей функцию f (x ; у), параллельна плоскости О ху, т. к. уравнение касательной плоскости есть z = z 0 .
Замечание.
Функция может иметь экстремум в точках,
где хотя бы одна из частных производных не существует. Например, функция 
имеет
максимум в точке О
(0;0), но не имеет в этой точке частных производных.
Точка, в которой частные производные первого порядка функции z = f (x ; y ) равны нулю, т. е. f " x = 0, f " y = 0, называется стационарной точкой функции z.
Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна частная производная не существует, называются критическими точками.
В критических точках функция может иметь экстремум, а может и не иметь. Равенство нулю частных производных является необходимым, но не достаточным условием существования экстремума. Рассмотрим, например, функцию z = ху. Для нее точка 0(0; 0) является критической (в ней и обращаются в ноль). Однако экстремума в ней функция z = ху не имеет, т. к. в достаточно малой окрестности точки О(0;0) найдутся точки для которых z > 0 (точки I и III четвертей) и z < 0 (точки II и IV четвертей).
Таким образом, для нахождения экстремумов функции в данной области необходимо каждую критическую точку функции подвергнуть дополнительному исследованию.
Стационарные точки находятся путем решения системы уравнений
|
fх (х, у) = 0, f"у(х,у) = 0 |
(необходимые условия экстремума ).
Система (1) эквивалентна одному уравнению df(х, у)=0. В общем случае в точке экстремума Р(а, b) функции f(x, у) или df(x, y)=0 , или df(а, b ) не существует.
3°. Достаточные условия экстремума . Пусть Р(а; b) - стационарная точка функции f (х,у), т. е. df(а, b) = 0 . Тогда:
а) если d2f (а, b) < 0 при , то f (а, b ) есть максимум функции f (х, у );
б) если d2f (а, b) > 0 при , то f (а, b )есть минимум функции f (х,у );
в) если d2f (а, b) меняет знак, то f (а, b ) не является экстремумом функции f (х, у).
Приведенные условия эквивалентны следующим: пусть 
и . Составим дискриминант
Δ=AC -
B².
1) если Δ > 0, то функция имеет экстремум в точке Р (а; b) а именно максимум, если A<0 (или С<0 ), и минимум, если A>0 (или С>0 );
2) если Δ < 0, то экстремума в точке Р(а; b) нет;
3) если Δ =0, то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р(а; b) остается открытым (требуется дальнейшее исследование).
4°. Случай функции многих переменных . Для функции трех и большего числа переменных необходимые условия существования экстремума аналогичны условиям (1), а достаточные условия аналогичны условиям а), б), в) 3°.
Пример . Исследовать на экстремум функцию z=x³+3xy²-15x-12y .
Решение. Найдем частные производные и составим систему уравнений (1):
Решая систему, получим четыре стационарные точки:
Найдем производные 2-го порядка
и составим дискриминант Δ=AC - B² для каждой стационарной точки.
1) Для точки : 
, Δ=AC-B²=36
-144<0
.
Значит в точке экстремума
нет.
2) Для точки P2: А=12, B=6, С=12; Δ=144-36>0, A>0 . В точке Р2 функция имеет минимум. Минимум этот равен значению функции при х=2, у=1: zmin=8+6-30-12=-28 .
3) Для точки : A= -6, B=-12, С= -6; Δ = 36-144 <0 . Экстремума нет.
4) Для точки Р 4: A=-12, B=-6, С=-12; Δ=144-36>0 . B точке Р4 функция имеет максимум, равный Zmах=-8-6+30+12=28 .
5°. Условный экстремум . В простейшем случае условным экстремумом функции f (х,y ) называется максимум или минимум этой функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением φ(х,у)=0 (уравнение связи ). Чтобы найти условный экстремум функции f (х, у ) при наличии соотношения φ(х,у) = 0 , составляют так называемую функцию Лагранжа
F (x , y )= f (x , y )+ λφ (x , y ),
где λ - неопределенный постоянный множитель, и ищут обычный экстремум этой вспомогательной функции. Необходимые условия экстремума сводятся к системе трех уравнений
|
|
с тремя неизвестными х, у, λ , из которой можно, вообще говоря, определить эти неизвестные.
Вопрос о существовании и характере условного экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала функции Лагранжа
для испытуемой системы значений х, у, λ , полученной из (2) при условии, что dх и dу связаны уравнением
.
Именно, функция f (х,y ) имеет условный максимум, если d²F< 0, и условный минимум, если d²F>0 . В частности, если дискриминант Δ для функции F(х,у} в стационарной точке положителен, то в этой точке имеется условный максимум функции f (х, у ), если A< 0 (или С< 0), и условный минимум, если А > О (или С>0 ).
Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должно быть меньше числа переменных). Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных множителей, сколько имеется уравнений связи.
Пример. Найти экстремум функции z =6-4 x -3 y при условии, что переменные х и у удовлетворяют уравнению x²+y²=1 .
Решение. Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений аппликаты z плоскости z=6 - 4х - Зу для точек пересечения ее с цилиндром х2+у2=1.
Составляем функцию Лагранжа F(x,y)=6 -4x -3y+λ(x2+y2 -1 ).
Имеем 
. Необходимые условия дают систему
уравнений
решая которую найдем:
.
,
d ² F =2 λ (dx ²+ dy ²).
Если и , то d
²
F
>0
, и, следовательно, в этой точке функция имеет
условный минимум. Если 
и , то d
²
F
<0,
и, следовательно, в этой точке функция имеет
условный максимум.
Таким образом,
6°. Наибольшее и наименьшее значения функции.
Пусть функция z = f (x ; у) определена и непрерывна в ограниченной замкнутой области . Тогда она достигает в некоторых точках своего наибольшего М и наименьшего т значений (т. н. глобальный экстремум). Эти значения достигаются функцией в точках, расположенных внутри области , или в точках, лежащих на границе области.
Точка экстремума функции - это точка области определения функции , в которой значение функции принимает минимальное или максимальное значение. Значения функции в этих точках называются экстремумами (минимумом и максимумом) функции .
Определение . Точка x 1 области определения функции f (x ) называется точкой максимума функции , если значение функции в этой точке больше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) > f (x 0 + Δx ) x 1 максимум.
Определение . Точка x 2 области определения функции f (x ) называется точкой минимума функции , если значение функции в этой точке меньше значений функции в достаточно близких к ней точках, расположенных справа и слева от неё (то есть выполняется неравенство f (x 0 ) < f (x 0 + Δx ) ). В этом случае говорят, что функция имеет в точке x 2 минимум.
Допустим, точка x 1 - точка максимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 1 функция возрастает , поэтому производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ), а в интервале после x 1 функция убывает, следовательно, и производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ). Тогда в точке x 1
Допустим также, что точка x 2 - точка минимума функции f (x ) . Тогда в интервале до x 2 функция убывает, а производная функции меньше нуля (f "(x ) < 0 ), а в интервале после x 2 функция возрастает, а производная функции больше нуля (f "(x ) > 0 ). В этом случае также в точке x 2 производная функции равна нулю или не существует.
Теорема Ферма (необходимый признак существования экстремума функции) . Если точка x 0 - точка экстремума функции f (x ) , то в этой точке производная функции равна нулю (f "(x ) = 0 ) или не существует.
Определение . Точки, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими точками .
Пример 1. Рассмотрим функцию .
В точке x = 0 производная функции равна нулю, следовательно, точка x = 0 является критической точкой. Однако, как видно на графике функции, она возрастает во всей области определения, поэтому точка x = 0 не является точкой экстремума этой функции.
Таким образом, условия о том, что производная функции в точке равна нулю или не существует, являются необходимыми условиями экстремума, но не достаточными, поскольку можно привести и другие примеры функций, для которых эти условия выполняются, но экстремума в соответствующей точке функция не имеет. Поэтому нужно располагать достаточными признаками , позволяющими судить, имеется ли в конкретной критической точке экстремум и какой именно - максимум или минимум.
Теорема (первый достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 f (x ) , если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
Если же вблизи точки x 0 , слева и справа от неё, производная сохраняет знак, то это означает, что функция либо только убывает, либо только возрастает в некоторой окрестности точки x 0 . В этом случае в точке x 0 экстремума нет.
Итак, чтобы определить точки экстремума функции, требуется выполнить следующее :
- Найти производную функции.
- Приравнять производную нулю и определить критические точки.
- Мысленно или на бумаге отметить критические точки на числовой оси и определить знаки производной функции в полученных интервалах. Если знак производной меняется с "плюса" на "минус", то критическая точка является точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума.
- Вычислить значение функции в точках экстремума.
Пример 2.
Найти экстремумы функции 
.
Решение. Найдём производную функции:
Приравняем производную нулю, чтобы найти критические точки:
.
Так как для любых значений "икса" знаменатель не равен нулю, то приравняем нулю числитель:
Получили одну критическую точку x = 3 . Определим знак производной в интервалах, разграниченных этой точкой:
в интервале от минус бесконечности до 3 - знак минус, то есть функция убывает,
в интервале от 3 до плюс бесконечности - знак плюс, то есть функция возрастает.
То есть, точка x = 3 является точкой минимума.
Найдём значение функции в точке минимума:
Таким образом, точка экстремума функции найдена: (3; 0) , причём она является точкой минимума.
Теорема (второй достаточный признак существования экстремума функции). Критическая точка x 0 является точкой экстремума функции f (x ) , если вторая производная функции в этой точке не равна нулю (f ""(x ) ≠ 0 ), причём, если вторая производная больше нуля (f ""(x ) > 0 ), то точкой максимума, а если вторая производная меньше нуля (f ""(x ) < 0 ), то точкой минимума.
Замечание 1. Если в точке x 0 обращаются в нуль и первая, и вторая производные, то в этой точке нельзя судить о наличии экстремума на основании второго достаточного признака. В этом случае нужно воспользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Замечание 2. Второй достаточный признак экстремума функции неприменим и тогда, когда в стационарной точке первая производная не существует (тогда не существует и вторая производная). В этом случае также нужно вопользоваться первым достаточным признаком экстремума функции.
Локальный характер экстремумов функции
Из приведённых определений следует, что экстремум функции имеет локальный характер - это наибольшее и наименьшее значение функции по сравнению с близлежайшими значениями.
Предположим, вы рассматриваете свои заработки в отрезке времени протяжённостью в один год. Если в мае вы заработали 45 000 рублей, а в апреле 42 000 рублей и в июне 39 000 рублей, то майский заработок - максимум функции заработка по сравнению с близлежайшими значениями. Но в октябре вы заработали 71 000 рублей, в сентябре 75 000 рублей, а в ноябре 74 000 рублей, поэтому октябрьский заработок - минимум функции заработка по сравнению с близлежашими значениями. И вы легко видите, что максимум среди значений апреля-мая-июня меньше минимума сентября-октября-ноября.
Говоря обобщённо, на промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причём может оказаться, что какой-либо минимум функции больше какого-либо максимума. Так, для функции изображённой на рисунке выше, .
То есть не следует думать, что максимум и минимум функции являются, соответственно, её наибольшим и наименьшим значениями на всём рассматриваемом отрезке. В точке максимума функция имеет наибольшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке максимума, а в точке минимума - наименьшее значение лишь по сравнению с теми значениями, которые она имеет во всех точках, достаточно близких к точке минимума.
Поэтому можно уточнить приведённое выше понятие точек экстремума функции и называть точки минимума точками локального минимума, а точки максимума - точками локального максимума.
Ищем экстремумы функции вместе
Пример 3.
Решение.Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой.
Её производная 
существует также на всей числовой прямой. Поэтому в данном случае критическими точками
служат лишь те, в которых ,
т.е. ,
откуда и
.
Критическими точками и
разбивают всю область определения функции на три интервала монотонности:
.
Выберем в каждой из них по одной контрольной точке и найдём знак производной в этой
точке.
Для интервала контрольной точкой может служить : находим . Взяв в интервале точку , получим , а взяв в интервале точку , имеем . Итак, в интервалах и , а в интервале . Согласно первому достаточному признаку экстремума, в точке экстремума нет (так как производная сохраняет знак в интервале ), а в точке функция имеет минимум (поскольку производная при переходе через эту точку меняет знак с минуса на плюс). Найдём соответствующие значения функции: , а . В интервале функция убывает, так как в этом интервале , а в интервале возрастает, так как в этом интервале .
Чтобы уточнить построение графика, найдём точки пересечения его с осями координат. При получим уравнение , корни которого и , т. е. найдены две точки (0; 0) и (4; 0) графика функции. Используя все полученные сведения, строим график (см. в начале примера).
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Пример 4. Найти экстремумы функции и построить её график.
Областью определения функции является вся числовая прямая, кроме точки , т.е. .
Для сокращения исследования можно воспользоваться тем, что данная
функция чётная, так как 
.
Поэтому её график симметричен относительно оси Oy
и исследование можно
выполнить только для интервала .
Находим производную 
и критические точки функции:
1) 
;
2) 
,
но функция терпит разрыв в этой точке, поэтому она не может быть точкой экстремума.
Таким образом, заданная функция имеет две критические точки:
и
.
Учитывая чётность функции, проверим по второму достаточному признаку экстремума только
точку .
Для этого найдём вторую производную 
и определим её знак при :
получим .
Так как и
, то
является точкой минимума функции, при этом 
.
Чтобы составить более полное представление о графике функции, выясним её поведение на границах области определения:
(здесь символом обозначено стремление x к нулю справа, причём x остаётся положительным; аналогично означает стремление x к нулю слева, причём x остаётся отрицательным). Таким образом, если , то . Далее, находим
,
т.е. если , то .
Точек пересечения с осями график функции не имеет. Рисунок - в начале примера.
Для самопроверки при расчётах можно воспользоваться онлайн калькулятором производных .
Продолжаем искать экстремумы функции вместе
Пример 8. Найти экстремумы функции .
Решение. Найдём область определения функции. Так как должно выполняться неравенство , то из получаем .
Найдём первую производную функции.
Теорема. (необходимое условие существования экстремума) Если функция f(x) дифференцируема в точке х = х 1 и точка х 1 является точкой экстремума, то производная функции обращается в нуль в этой точке.
Доказательство. Предположим, что функция f(x) имеет в точке х = х 1 максимум.
Тогда при достаточно малых положительных Dх>0 верно неравенство:
По определению:
Т.е. если Dх®0, но Dх<0, то f¢(x 1) ³ 0, а если Dх®0, но Dх>0, то f¢(x 1) £ 0.
А возможно это только в том случае, если при Dх®0 f¢(x 1) = 0.
Для случая, если функция f(x) имеет в точке х 2 минимум теорема доказывается аналогично.
Теорема доказана.
Следствие. Обратное утверждение неверно. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум. Красноречивый пример этого – функция у = х 3 , производная которой в точке х = 0 равна нулю, однако в этой точке функция имеет только перегиб, а не максимум или минимум.
Определение. Критическими точками функции называются точки, в которых производная функции не существует или равна нулю.
Рассмотренная выше теорема дает нам необходимые условия существования экстремума, но этого недостаточно.
Пример: f(x) = ôxô Пример: f(x) =
y y
В точке х = 0 функция имеет минимум, но В точке х = 0 функция не имеет ни
не имеет производной. максимума, ни минимума, ни произ-
Вообще говоря, функция f(x) может иметь экстремум в точках, где производная не существует или равна нулю.
Теорема. (Достаточные условия существования экстремума)
Пусть функция f(x) непрерывна в интервале (a, b), который содержит критическую точку х 1 , и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, может быть, самой точки х 1).
Если при переходе через точку х 1 слева направо производная функции f¢(x) меняет знак с “+” на “-“, то в точке х = х 1 функция f(x) имеет максимум, а если производная меняет знак с “-“ на “+”- то функция имеет минимум.
Доказательство.
Пусть 
По теореме Лагранжа: f(x) – f(x 1) = f¢(e)(x – x 1), где x < e < x 1 .
Тогда: 1) Если х < x 1 , то e < x 1 ; f¢(e)>0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно
f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).
2) Если х > x 1 , то e > x 1 f¢(e)<0; f¢(e)(x – x 1)<0, следовательно
f(x) – f(x 1)<0 или f(x) < f(x 1).
Т. к. ответы совпадают, то можно сказать, что f(x) < f(x 1) в любых точках вблизи х 1 , т.е. х 1 – точка максимума.
Доказательство теоремы для точки минимума производится аналогично.
Теорема доказана.
На основе вышесказанного можно выработать единый порядок действий при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке:
1) Найти критические точки функции.
2) Найти значения функции в критических точках.
3) Найти значения функции на концах отрезка.
4) Выбрать среди полученных значений наибольшее и наименьшее.
Исследование функции на экстремум с помощью
производных высших порядков.
Пусть в точке х = х 1 f¢(x 1) = 0 и f¢¢(x 1) существует и непрерывна в некоторой окрестности точки х 1 .
Теорема. Если f¢(x 1) = 0, то функция f(x) в точке х = х 1 имеет максимум, если f¢¢(x 1)<0 и минимум, если f¢¢(x 1)>0.
Доказательство.
Пусть f¢(x 1) = 0 и f¢¢(x 1)<0. Т.к. функция f(x) непрерывна, то f¢¢(x 1) будет отрицательной и в некоторой малой окрестности точки х 1 .
Т.к. f¢¢(x) = (f¢(x))¢ < 0, то f¢(x) убывает на отрезке, содержащем точку х 1 , но f¢(x 1)=0, т.е. f¢(x) > 0 при х
Для случая минимума функции теорема доказывается аналогично.
Если f¢¢(x) = 0, то характер критической точки неизвестен. Для его определения требуется дальнейшее исследование.
Выпуклость и вогнутость кривой.
Точки перегиба.
Определение. Кривая обращена выпуклостью вверх на интервале (а, b), если все ее точки лежат ниже любой ее касательной на этом интервале. Кривая, обращенная выпуклостью вверх, называется выпуклой , а кривая, обращенная выпуклостью вниз – называется вогнутой .
у
На рисунке показана иллюстрация приведенного выше определения.
Теорема 1. Если во всех точках интервала (a, b) вторая производная функции f(x) отрицательна, то кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх (выпукла).
Доказательство. Пусть х 0 Î (a, b). Проведем касательную к кривой в этой точке.
Уравнение кривой: y = f(x);
Уравнение касательной:
Следует доказать, что .
По теореме Лагранжа для f(x) – f(x 0): , x 0 < c < x.
По теореме Лагранжа для 
Пусть х > x 0 тогда x 0 < c 1 < c < x. Т.к. x – x 0 > 0 и c – x 0 > 0, и кроме того по условию
Следовательно, .
Пусть x < x 0 тогда x < c < c 1 < x 0 и x – x 0 < 0, c – x 0 < 0, т.к. по условию то
Аналогично доказывается, что если f¢¢(x) > 0 на интервале (a, b), то кривая y=f(x) вогнута на интервале (a, b).
Теорема доказана.
Определение. Точка, отделяющая выпуклую часть кривой от вогнутой, называется точкой перегиба .
Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает кривую.
Теорема 2. Пусть кривая определяется уравнением y = f(x). Если вторая производная f¢¢(a) = 0 или f¢¢(a) не существует и при переходе через точку х = а f¢¢(x) меняет знак, то точка кривой с абсциссой х = а является точкой перегиба.
Доказательство. 1) Пусть f¢¢(x) < 0 при х < a и f¢¢(x) > 0 при x > a. Тогда при
x < a кривая выпукла, а при x > a кривая вогнута, т.е. точка х = а – точка перегиба.
2) Пусть f¢¢(x) > 0 при x < b и f¢¢(x) < 0 при x < b. Тогда при x < b кривая обращена выпуклостью вниз, а при x > b – выпуклостью вверх. Тогда x = b – точка перегиба.
Теорема доказана.
Асимптоты.
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Определение. Прямая называется асимптотой кривой, если расстояние от переменной точки кривой до этой прямой при удалении точки в бесконечность стремится к нулю.
Следует отметить, что не любая кривая имеет асимптоту. Асимптоты могут быть прямые и наклонные. Исследование функций на наличие асимптот имеет большое значение и позволяет более точно определить характер функции и поведение графика кривой.
Вообще говоря, кривая, неограниченно приближаясь к своей асимптоте, может и пересекать ее, причем не в одной точке, как показано на приведенном ниже графике функции 
. Ее наклонная асимптота у = х.
Рассмотрим подробнее методы нахождения асимптот кривых.
Вертикальные асимптоты.
Из определения асимптоты следует, что если или или , то прямая х = а – асимптота кривой y = f(x).
Например, для функции прямая х = 5 является вертикальной асимптотой.
Наклонные асимптоты.
Предположим, что кривая y = f(x) имеет наклонную асимптоту y = kx + b.
 |
Обозначим точку пересечения кривой и перпендикуляра к асимптоте – М, Р – точка пересечения этого перпендикуляра с асимптотой. Угол между асимптотой и осью Ох обозначим j. Перпендикуляр МQ к оси Ох пересекает асимптоту в точке N.
Тогда MQ = y – ордината точки кривой, NQ = - ордината точки N на асимптоте.
По условию: , ÐNMP = j, .
Угол j - постоянный и не равный 90 0 , тогда
Тогда 
.
Итак, прямая y = kx + b – асимптота кривой. Для точного определения этой прямой необходимо найти способ вычисления коэффициентов k и b.
В полученном выражении выносим за скобки х:
Т.к. х®¥, то 
, т.к. b = const, то 
.
Тогда 
, следовательно,
.
Т.к. 
, то 
, следовательно,
Отметим, что горизонтальные асимптоты являются частным случаем наклонных асимптот при k =0.
Пример.
.
1) Вертикальные асимптоты: y®+¥ x®0-0: y®-¥ x®0+0, следовательно, х = 0- вертикальная асимптота.
2) Наклонные асимптоты:
Таким образом, прямая у = х + 2 является наклонной асимптотой.
Построим график функции:
Пример. Найти асимптоты и построить график функции .
Прямые х = 3 и х = -3 являются вертикальными асимптотами кривой.
Найдем наклонные асимптоты: 
y = 0 – горизонтальная асимптота.
Пример.
Найти асимптоты и построить график функции 
.
Прямая х = -2 является вертикальной асимптотой кривой.
Найдем наклонные асимптоты.
Итого, прямая у = х – 4 является наклонной асимптотой.
Схема исследования функций
Процесс исследования функции состоит из нескольких этапов. Для наиболее полного представления о поведении функции и характере ее графика необходимо отыскать:
1) Область существования функции.
Это понятие включает в себя и область значений и область определения функции.
2) Точки разрыва. (Если они имеются).
3) Интервалы возрастания и убывания.
4) Точки максимума и минимума.
5) Максимальное и минимальное значение функции на ее области определения.
6) Области выпуклости и вогнутости.
7) Точки перегиба.(Если они имеются).
8) Асимптоты.(Если они имеются).
9) Построение графика.
Применение этой схемы рассмотрим на примере.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Находим область существования функции. Очевидно, что областью определения функции является область (-¥; -1) È (-1; 1) È (1; ¥).
В свою очередь, видно, что прямые х = 1, х = -1 являются вертикальными асимптотами кривой.
Областью значений данной функции является интервал (-¥; ¥).
Точками разрыва функции являются точки х = 1, х = -1.
Находим критические точки .
Найдем производную функции
Критические точки: x = 0; x = - ; x = ; x = -1; x = 1.
Найдем вторую производную функции
Определим выпуклость и вогнутость кривой на промежутках.
-¥ < x < - , y¢¢ < 0, кривая выпуклая
- < x < -1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < 0, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
0 < x < 1, y¢¢ < 0, кривая выпуклая
1 < x < , y¢¢ > 0, кривая вогнутая
< x < ¥, y¢¢ > 0, кривая вогнутая
Находим промежутки возрастания и убывания функции. Для этого определяем знаки производной функции на промежутках.
-¥ < x < - , y¢ > 0, функция возрастает
- < x < -1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < 0, y¢ < 0, функция убывает
0 < x < 1, y¢ < 0, функция убывает
1 < x < , y¢ < 0, функция убывает
< x < ¥, y¢¢ > 0, функция возрастает
Видно, что точка х = - является точкой максимума , а точка х = является точкой минимума . Значения функции в этих точках равны соответственно -3 /2 и 3 /2.
Про вертикальные асимптоты было уже сказано выше. Теперь найдем наклонные асимптоты .
Итого, уравнение наклонной асимптоты – y = x.
Построим график функции:
Функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.
Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.
Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной , а если более одного, то – многозначной .
Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.
Определение:
Окрестностью точки
М 0 (х 0 , у 0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию 
.
Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М 0 (х 0 , у 0), если для каждого числа e > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие
также верно и условие 
.
Записывают: 
Определение: Пусть точка М 0 (х 0 , у 0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М 0 (х 0 , у 0), если
(1)
причем точка М(х, у) стремится к точке М 0 (х 0 , у 0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:
1) Функция z = f(x, y) не определена в точке М 0 (х 0 , у 0).
2) Не существует предел .
3) Этот предел существует, но он не равен f(x 0 , y 0).
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и
ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка
N(x 0 , y 0 , …), такая, что для остальных точек верно неравенство
f(x 0 , y 0 , …) ³ f(x, y, …)
а также точка N 1 (x 01 , y 01 , …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство
f(x 01 , y 01 , …) £ f(x, y, …)
тогда f(x 0 , y 0 , …) = M – наибольшее значение функции, а f(x 01 , y 01 , …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.
Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки m Î существует точка
N 0 (x 0 , y 0 , …) такая, что f(x 0 , y 0 , …) = m.
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.
Свойство.
Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена
в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство 
.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа e существует такое число D > 0, что для любых двух точек (х 1 , y 1) и (х 2 , у 2) области, находящихся на расстоянии, меньшем D, выполнено неравенство
Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.
Производные и дифференциалы функций
нескольких переменных.
Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение Dх к переменной х. Тогда величина D x z = f(x + Dx, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать
.
Тогда называется частной производной функции z = f(x, y) по х.
Обозначение: 
Аналогично определяется частная производная функции по у.
Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N 0 (x 0 , y 0 , z 0) к сечению поверхности плоскостью у = у 0 .
Полное приращение и полный дифференциал.
касательная плоскость
Пусть N и N 0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN 0 . Плоскость, которая проходит через точку N 0 , называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN 0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN 0 .
Определение. Нормалью к поверхности в точке N 0 называется прямая, проходящая через точку N 0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М 0 (х 0 , у 0), касательная плоскость в точке N 0 (x 0 ,y 0, (x 0 ,y 0)) существует и имеет уравнение:
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:
Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х 0 , у 0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х 0 , у 0) к точке (х 0 +Dх, у 0 +Dу).
Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
в точке М(1, 1, 1).
Уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали:
Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Полный дифференциал функции u равен:
Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
Частные производные высших порядков.
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.
Будем называть эти производные частными производными первого порядка.
Производные этих функций будут частными производными второго порядка.
Продолжая дифференцировать полученные равенства, получим частные производные более высоких порядков.
Простой алгоритм нахождения экстремумов..
- Находим производную функции
- Приравниваем эту производную к нулю
- Находим значения переменной получившегося выражения (значения переменной, при которых производная преобразуется в ноль)
- Разбиваем этими значениями координатную прямую на промежутки (при этом не нужно забывать о точках разрыва, которые также надо наносить на прямую), все эти точки называются точками «подозрительными» на экстремум
- Вычисляем, на каких из этих промежутков производная будет положительной, а на каких – отрицательной. Для этого нужно подставить значение из промежутка в производную.
Из точек, подозрительных на экстремум, надо найти именно . Для этого смотрим на наши промежутки на координатной прямой. Если при прохождении через какую-то точку знак производной меняется с плюса на минус, то эта точка будет максимумом , а если с минуса на плюс, то минимумом .
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, нужно вычислить значение функции на концах отрезка и в точках экстремума. Затем выбрать наибольшее и наименьшее значение.
Рассмотрим пример
Находим производную и приравниваем её к нулю:
Полученные значения переменных наносим на
координатную прямую и высчитываем знак производной на каждом из промежутков. Ну
например, для первого возьмём
-2
,
тогда производная будет равна
-0,24
,
для второго возьмём
0
, тогда
производная будет
2
, а для третьего возьмём
2
, тогда производная будет
-0,24. Проставляем соответствующие знаки.
Видим, что при прохождении через точку -1 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет точка минимума, а при прохождении через 1 – с плюса на минус, соответственно это точка максимума.
Загрузка...
