Решение.
Вероятность того, что не выпало ни одного герба: P(0) = 0,5*0,5*0,5= 0,125
P(1) = 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 + 0,5*0,5*0,5 = 3*0,125=0,375
P(2) = 0,5 *0,5 *0,5 + 0,5 *0,5*0,5 + 0,5*0,5 *0,5 = 3*0,125=0,375
Вероятность того, что выпало три герба: P(3) = 0,5*0,5*0,5 = 0,125
Закон распределения случайной величины X:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 0,125 | 0,375 | 0,375 | 0,125 |
Пример №2
. Вероятность попадания в мишень одного стрелка при одном выстреле для первого стрелка равна 0.8, для второго стрелка – 0.85. Стрелки произвели по одному выстрелу в мишень. Считая попадание в цель для отдельных стрелков событиями независимыми, найти вероятность события А – ровно одно попадание в цель.
Решение.
Рассмотрим событие A - одно попадание в цель. Возможные варианты наступления этого события следующие:
- Попал первый стрелок, второй стрелок промахнулся: P(A/H1)=p 1 *(1-p 2)=0.8*(1-0.85)=0.12
- Первый стрелок промахнулся, второй стрелок попал в мишень: P(A/H2)=(1-p 1)*p 2 =(1-0.8)*0.85=0.17
- Первый и второй стрелки независимо друг от друга попали в мишень: P(A/H1H2)=p 1 *p 2 =0.8*0.85=0.68
ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Случайные величины, их классификация и способы описания.
Случайной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, но какое именно заранее не известно. Для случайной величины, таким образом, можно указать только значения, одно из которых она обязательно примет в результате опыта. Эти значения в дальнейшем будем называть возможными значениями случайной величины. Так как случайная величина количественно характеризует случайный результат опыта, она может рассматриваться как количественная характеристика случайного события.
Случайные величины обычно обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, например, X..Y..Z, а их возможные значения- соответствующими малыми буквами.
Различают три типа случайных величин:
Дискретные; Непрерывные; Смешанные.
Дискретной называется такая случайная величина, число возможных значений которой образует счетное множество. В свою очередь, счетным называется множество, элементы которого можно пронумеровать. Слово «дискретный» происходит от латинского discretus , что означает «прерывистый, состоящий из отдельных частей» .
Пример 1. Дискретной случайной величиной является число бракованных деталей Х в партии из nтук. Действительно, возможными значениями этой случайной величины является ряд целых чисел от 0 до n.
Пример 2. Дискретной случайной величиной является число выстрелов до первого попадания в цель. Здесь, как и в примере 1, возможные значения можно пронумеровать, хотя в предельном случае возможное значение является бесконечно большим числом.
Непрерывной называется случайная величина, возможные значения которой непрерывно заполняют некоторый интервал числовой оси, называемый иногда интервалом существования этой случайной величины. Таким образом, на любом конечном интервале существования число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно велико.
Пример 3. Непрерывной случайной величиной является расход электроэнергии на предприятии за месяц.
Пример 4. Непрерывной случайной величиной является ошибка измерения высоты с помощью высотомера. Пусть из принципа работы высотомера известно, что ошибка лежит в пределах от 0 до 2 м. Поэтому интервалом существования данной случайной величины является интервал от 0 до 2 м.
Закон распределения случайных величин.
Случайная величина считается полностью заданной, если на числовой оси указаны ее возможные значения и установлен закон распределения.
Законом распределения случайной величины называется соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.
Про случайную величину говорят, что она распределена по данному закону, или подчинена данному закону распределения. В качестве законов распределения используются ряд вероятностей, функция распределения, плотность вероятности, характеристическая функция.
Закон распределения дает полное вероятное описание случайной величины. По закону распределения можно судить до опыта о том какие возможные значения случайной величины будут появляться чаще, а какие – реже.
Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.
Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.
Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины. 1
События Х 1 , Х 2 ,..., Х n , состоящие в том, что в результате испытания случайная величина X примет соответственно значения х 1 , x 2 ,...х n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Таким образом, для любой дискретной случайной величины
(Эта единица как-то распределена между значениями случайной величины, отсюда и термин «распределение»).
Ряд распределения может быть изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей (рис. 1).
Пример В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимостью 200 ден. ед. Всего продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.
Решение . Возможные значения случайной величины X - чистого выигрыша на один билет - равны 0-7 = -7 ден. ед. (если билет не выиграл), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 ден. ед. (если на билет выпал выигрыш соответственно видеомагнитофона, телевизора или автомобиля). Учитывая, что из 1000 билетов число невыигравших составляет 990, а указанных выигрышей соответственно 5, 4 и 1, и используя классическое определение вероятности, получим.
Примеры решения задач на тему «Случайные величины».
Задача 1 . В лотерее выпущено 100 билетов. Разыгрывался один выигрыш в 50 у.е. и десять выигрышей по 10 у.е. Найти закон распределения величины X – стоимости возможного выигрыша.
Решение. Возможные значения величины X: x 1 = 0; x 2 = 10 и x 3 = 50. Так как «пустых» билетов – 89, то p 1 = 0,89, вероятность выигрыша 10 у.е. (10 билетов) – p 2 = 0,10 и для выигрыша 50 у.е. – p 3 = 0,01. Таким образом:
|
0,89 |
0,10 |
0,01 |
Легко проконтролировать: .
Задача 2. Вероятность того, что покупатель ознакомился заранее с рекламой товара равна 0,6 (р=0,6 ). Осуществляется выборочный контроль качества рекламы путем опроса покупателей до первого, изучившего рекламу заранее. Составить ряд распределения количества опрошенных покупателей.
Решение. Согласно условию задачи р = 0,6. Откуда: q=1 -p = 0,4. Подставив данные значения, получим: и построим ряд распределения:
|
p i |
0,24 |
Задача 3. Компьютер состоит из трех независимо работающих элементов: системного блока, монитора и клавиатуры. При однократном резком повышении напряжения вероятность отказа каждого элемента равна 0,1. Исходя из распределения Бернулли составить закон распределения числа отказавших элементов при скачке напряжения в сети.
Решение. Рассмотрим распределение Бернулли
(или биномиальное): вероятность того, что в
n
испытаниях событие А
появится ровно
k
раз: 
, или:
|
qn |
pn |
В ернёмся к задаче.
Возможные значения величины X (число отказов):
x 0 =0 – ни один из элементов не отказал;
x 1 =1 – отказ одного элемента;
x 2 =2 – отказ двух элементов;
x 3 =3 – отказ всех элементов.
Так как, по условию, p = 0,1, то q = 1 – p = 0,9. Используя формулу Бернулли, получим
, ,
, .
Контроль: .
Следовательно, искомый закон распределения:
|
0,729 |
0,243 |
0,027 |
0,001 |
Задача 4
. Произведено 5000 патронов.
Вероятность того, что один патрон бракованный 
. Какова вероятность того, что во всей партии будет ровно 3
бракованных патрона?
Решение. Применим распределение Пуассона : это распределение используется для определения вероятности того, что при очень большом
количестве испытаний (массовые испытания),
в каждом из которых вероятность события A очень мала, событие A наступитk раз: 
, где .
Здесь
n = 5000, p = 0,0002, k = 3. Находим , тогда искомая вероятность: 
.
Задача 5 . При стрельбе до первого попадания с вероятностью попадания p = 0,6 при выстреле надо найти вероятность того, что попадание произойдет при третьем выстреле.
Решение. Применим геометрическое распределение: пусть производятся независимые испытания, в каждом из которых событие A имеет вероятность появления p (и непоявления q = 1 – p). Испытания заканчиваются, как только произойдет событие A.
При таких условиях вероятность того, что событие A произойдет на k-ом испытании, определяется по формуле: . Здесь p = 0,6; q = 1 – 0,6 = 0,4;k = 3. Следовательно, .
Задача 6 . Пусть задан закон распределения случайной величины X:
Найти математическое ожидание.
Решение. .
Заметим, что вероятностный смысл математического ожидания – это среднее значение случайной величины.
Задача 7 . Найти дисперсию случайной величины X со следующим законом распределения:
Решение. Здесь .
Закон распределения квадрата величины X 2 :
|
X2 |
|||
Искомая дисперсия: .
Дисперсия характеризует меру отклонения (рассеяния) случайной величины от её математического ожидания.
Задача 8 . Пусть случайная величина задается распределением:
|
10м |
|||
Найти её числовые характеристики.
Решение: м, м 2 ,
М 2 , м.
Про случайную величину X можно сказать либо – ее математическое ожидание 6,4 м с дисперсией 13,04 м 2 , либо – ее математическое ожидание 6,4 м с отклонением м. Вторая формулировка, очевидно, нагляднее.
Задача 9.
Случайная величина
X
задана функцией
распределения: 
.
Найти вероятность того, что в результате
испытания величина X примет значение, заключенное в интервале 
.
Решение. Вероятность того, что X примет значение из заданного интервала, равно приращению интегральной функции в этом интервале, т.е. . В нашем случае и , поэтому
.
Задача 10. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
Найти функцию распределения F (x ) и построить ее график.
Решение. Так как функция распределения,
для 
, то
при ;
при ;
при ;
при ;
Соответствующий график:
Задача 11.
Непрерывная случайная
величина
X
задана дифференциальной функцией
распределения: 
.
Найти вероятность попадания X в интервал
Решение. Заметим, что это частный случай показательного закона распределения.
Воспользуемся
формулой: 
.
Задача 12. Найти числовые характеристики дискретной случайной величины X, заданной законом распределения:
|
–5 |
|||||||||
|
X 2 :
|
– функция Лапласа.
Определение. Дисперсией (рассеиванием) дискретной случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
Пример . Для рассмотренного выше примера находим.
Математическое ожидание случайной величины равно:
Возможные значения квадрата отклонения:
; 
;
Дисперсия равна:
Однако, на практике подобный способ вычисления дисперсии неудобен, т.к. приводит при большом количестве значений случайной величины к громоздким вычислениям. Поэтому применяется другой способ.
Вычисление дисперсии
Теорема. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания :
Доказательство. С учетом того, что математическое ожидание и квадрат математического ожидания – величины постоянные, можно записать:
Применим эту формулу для рассмотренного выше примера:
| X | ||||||
| X 2 | ||||||
| p | 0,0778 | 0,2592 | 0,3456 | 0,2304 | 0,0768 | 0,0102 |
Свойства дисперсии
1) Дисперсия постоянной величины равна нулю:
2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
.
3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
Справедливость этого равенства вытекает из свойства 2.
Теорема. Дисперсия числа появления события А в п независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и вероятность непоявления события в каждом испытании :
Пример. Завод выпускает 96% изделий первого сорта и 4% изделий второго сорта. Наугад выбирают 1000 изделий. Пусть Х – число изделий первого сорта в данной выборке. Найти закон распределения, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
Таким образом, закон распределения может считаться биноминальным.
Пример. Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в двух независимых испытаниях, если вероятности появления этого события в каждом испытании равны и известно, что
Т.к. случайная величина Х распределена по биноминальному закону, то
Пример. Производятся независимые испытания с одинаковой вероятностью появления события А в каждом испытании. Найти вероятность появления события А , если дисперсия числа появлений события в трех независимых испытаниях равна 0,63.
По формуле дисперсии биноминального закона получаем:
;
Пример. Испытывается устройство, состоящее из четырех независимо работающих приборов. Вероятности отказа каждого из приборов равны соответственно ; ; . Найти математическое ожидание и дисперсию числа отказавших приборов.
Принимая за случайную величину число отказавших приборов, видим что эта случайная величина может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4.
Для составления закона распределения этой случайной величины необходимо определить соответствующие вероятности. Примем .
1) Не отказал ни один прибор:
2) Отказал один из приборов.
Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.
Законом распределения дискретной случайной величины называется функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями. Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.
1 . Закон распределения может быть задан таблицей:
где λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в) с помощью функции распределения F(x) , определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).
Свойства функции F(x)
3 . Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения (смотри задачу 3).
Отметим, что для решения некоторых задач не обязательно знать закон распределения. В некоторых случаях достаточно знать одно или несколько чисел, отражающих наиболее важные особенности закона распределения. Это может быть число, имеющее смысл «среднего значения» случайной величины, или же число, показывающее средний размер отклонения случайной величины от своего среднего значения. Числа такого рода называют числовыми характеристиками случайной величины.
Основные числовые характеристики дискретной случайной величины :
- Mатематическое ожидание
(среднее значение) дискретной случайной величины M(X)=Σ x i p i
.
Для биномиального распределения M(X)=np, для распределения Пуассона M(X)=λ - Дисперсия
дискретной случайной величины D(X)= M 2
или
D(X) = M(X 2)− 2
. Разность X–M(X) называют отклонением случайной величины от ее математического ожидания.
Для биномиального распределения D(X)=npq, для распределения Пуассона D(X)=λ - Среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) σ(X)=√D(X) .
Примеры решения задач по теме «Закон распределения дискретной случайной величины»
Задача 1.
Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.
Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.
Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915, тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01, P(X=500) = 5/1000=0,005. Полученный закон представим в виде таблицы:
Найдем математическое ожидание величины Х: М(Х) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5
Задача 3.
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте, построить многоугольник распределения. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины.
Решение. 1. Дискретная случайная величина X={число отказавших элементов в одном опыте} имеет следующие возможные значения: х 1 =0 (ни один из элементов устройства не отказал), х 2 =1 (отказал один элемент), х 3 =2 (отказало два элемента) и х 4 =3 (отказали три элемента).
Отказы элементов независимы друг от друга, вероятности отказа каждого элемента равны между собой,
поэтому применима формула
Бернулли
. Учитывая, что, по условию, n=3, р=0,1, q=1-р=0,9, определим
вероятности значений:
P 3 (0) = С 3 0 p 0 q 3-0 = q 3 = 0,9 3 = 0,729;
P 3 (1) = С 3 1 p 1 q 3-1 = 3*0,1*0,9 2 = 0,243;
P 3 (2) = С 3 2 p 2 q 3-2 = 3*0,1 2 *0,9 = 0,027;
P 3 (3) = С 3 3 p 3 q 3-3 = р 3 =0,1 3 = 0,001;
Проверка: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.
Таким образом, искомый биномиальный закон распределения Х имеет вид:
По оси абсцисс откладываем возможные значения х i , а по оси ординат – соответствующие им вероятности р i . Построим точки М 1 (0; 0,729), М 2 (1; 0,243), М 3 (2; 0,027), М 4 (3; 0,001). Соединив эти точки отрезками прямых, получаем искомый многоугольник распределения.
3. Найдем функцию распределения F(x) = Р(Х
Для x ≤ 0 имеем F(x) = Р(Х<0) = 0;для 0 < x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
для 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
для 2 < x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
для х > 3 будет F(x) = 1, т.к. событие достоверно.
 |
График функции F(x)
4.
Для биномиального распределения Х:
- математическое ожидание М(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- дисперсия D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- среднее квадратическое отклонение σ(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.
Загрузка...
