Ранее мы уже говорили о том, что такое степень числа. Она имеет определенные свойства, полезные в решении задач: именно их и все возможные показатели степени мы разберем в этой статье. Также мы наглядно покажем на примерах, как их можно доказать и правильно применить на практике.
Вспомним уже сформулированное нами ранее понятие степени с натуральным показателем: это произведение n -ного количества множителей, каждый из которых равен а. Также нам понадобится вспомнить, как правильно умножать действительные числа. Все это поможет нам сформулировать для степени с натуральным показателем следующие свойства:
Определение 1
1. Главное свойство степени: a m · a n = a m + n
Можно обобщить до: a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
2. Свойство частного для степеней, имеющих одинаковые основания: a m: a n = a m − n
3. Свойство степени произведения: (a · b) n = a n · b n
Равенство можно расширить до: (a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
4. Свойство частного в натуральной степени: (a: b) n = a n: b n
5. Возводим степень в степень: (a m) n = a m · n ,
Можно обобщить до: (((a n 1) n 2) …) n k = a n 1 · n 2 · … · n k
6. Сравниваем степень с нулем:
- если a > 0 , то при любом натуральном n, a n будет больше нуля;
- при a , равном 0 , a n также будет равна нулю;
- при a < 0 и таком показателе степени, который будет четным числом 2 · m , a 2 · m будет больше нуля;
- при a < 0 и таком показателе степени, который будет нечетным числом 2 · m − 1 , a 2 · m − 1 будет меньше нуля.
7. Равенство a n < b n будет справедливо для любого натурального n при условии, что a и b больше нуля и не равны друг другу.
8. Неравенство a m > a n будет верным при условии, что m и n – натуральные числа, m больше n и а больше нуля и не меньше единицы.
В итоге мы получили несколько равенств; если соблюсти все условия, указанные выше, то они будут тождественными. Для каждого из равенств, например, для основного свойства, можно поменять местами правую и левую часть: a m · a n = a m + n - то же самое, что и a m + n = a m · a n . В таком виде оно часто используется при упрощении выражений.
1. Начнем с основного свойства степени: равенство a m · a n = a m + n будет верным при любых натуральных m и n и действительном a . Как доказать это утверждение?
Основное определение степеней с натуральными показателями позволит нам преобразовать равенство в произведение множителей. Мы получим запись такого вида:
Это можно сократить до 
(вспомним основные свойства умножения). В итоге мы получили степень числа a с натуральным показателем m + n . Таким образом, a m + n , значит, основное свойство степени доказано.
Разберем конкретный пример, подтверждающий это.
Пример 1
Итак, у нас есть две степени с основанием 2 . Их натуральные показатели - 2 и 3 соответственно. У нас получилось равенство: 2 2 · 2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 Вычислим значения, чтобы проверить верность этого равенства.
Выполним необходимые математические действия: 2 2 · 2 3 = (2 · 2) · (2 · 2 · 2) = 4 · 8 = 32 и 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
В итоге у нас вышло: 2 2 · 2 3 = 2 5 . Свойство доказано.
В силу свойств умножения мы можем выполнить обобщение свойства, сформулировав его в виде трех и большего числа степеней, у которых показатели являются натуральными числами, а основания одинаковы. Если обозначить количество натуральных чисел n 1 , n 2 и др. буквой k , мы получим верное равенство:
a n 1 · a n 2 · … · a n k = a n 1 + n 2 + … + n k .
Пример 2
2. Далее нам необходимо доказать следующее свойство, которое называется свойством частного и присуще степеням с одинаковыми основаниями: это равенство a m: a n = a m − n , которое справедливо при любых натуральным m и n (причем m больше n)) и любом отличном от нуля действительном a .
Для начала поясним, каков именно смысл условий, которые упомянуты в формулировке. Если мы возьмем a, равное нулю, то в итоге у нас получится деление на нуль, чего делать нельзя (ведь 0 n = 0). Условие, чтобы число m обязательно было больше n , нужно для того, чтобы мы могли удержаться в рамках натуральных показателей степени: вычтя n из m , мы получим натуральное число. Если условие не будет соблюдено, у нас получится отрицательное число или ноль, и опять же мы выйдем за пределы изучения степеней с натуральными показателями.
Теперь мы можем перейти к доказательству. Из ранее изученного вспомним основные свойства дробей и сформулируем равенство так:
a m − n · a n = a (m − n) + n = a m
Из него можно вывести: a m − n · a n = a m
Вспомним про связь деления и умножения. Из него следует, что a m − n – частное степеней a m и a n . Это и есть доказательство второго свойства степени.
Пример 3
Подставим конкретные числа для наглядности в показатели, а основание степени обозначим π : π 5: π 2 = π 5 − 3 = π 3
3. Следующим мы разберем свойство степени произведения: (a · b) n = a n · b n при любых действительных a и b и натуральном n .
Согласно базовому определению степени с натуральным показателем мы можем переформулировать равенство так:
Вспомнив свойства умножения, запишем: 
. Это значит то же самое, что и a n · b n .
Пример 4
2 3 · - 4 2 5 4 = 2 3 4 · - 4 2 5 4
Если множителей у нас три и больше, то это свойство также распространяется и на этот случай. Введем для числа множителей обозначение k и запишем:
(a 1 · a 2 · … · a k) n = a 1 n · a 2 n · … · a k n
Пример 5
С конкретными числами получим следующее верное равенство: (2 · (- 2 , 3) · a) 7 = 2 7 · (- 2 , 3) 7 · a
4. После этого мы попробуем доказать свойство частного: (a: b) n = a n: b n при любых действительных a и b , если b не равно 0 , а n – натуральное число.
Для доказательства можно использовать предыдущее свойство степени. Если (a: b) n · b n = ((a: b) · b) n = a n , а (a: b) n · b n = a n , то из этого выходит, что (a: b) n есть частное от деления a n на b n .
Пример 6
Подсчитаем пример: 3 1 2: - 0 . 5 3 = 3 1 2 3: (- 0 , 5) 3
Пример 7
Начнем сразу с примера: (5 2) 3 = 5 2 · 3 = 5 6
А теперь сформулируем цепочку равенств, которая докажет нам верность равенства: 
Если у нас в примере есть степени степеней, то это свойство справедливо для них также. Если у нас есть любые натуральные числа p , q , r , s , то верно будет:
a p q y s = a p · q · y · s
Пример 8
Добавим конкретики: (((5 , 2) 3) 2) 5 = (5 , 2) 3 · 2 · 5 = (5 , 2) 30
6. Еще одно свойство степеней с натуральным показателем, которое нам нужно доказать, – свойство сравнения.
Для начала сравним степень с нулем. Почему a n > 0 при условии, что а больше 0 ?
Если умножить одно положительное число на другое, то мы получим также положительное число. Зная этот факт, мы можем сказать, что от числа множителей это не зависит – результат умножения любого числа положительных чисел есть число положительное. А что же такое степень, как не результат умножения чисел? Тогда для любой степени a n с положительным основанием и натуральным показателем это будет верно.
Пример 9
3 5 > 0 , (0 , 00201) 2 > 0 и 34 9 13 51 > 0
Также очевидно, что степень с основанием, равным нулю, сама есть ноль. В какую бы степень мы не возводили ноль, он останется им.
Пример 10
0 3 = 0 и 0 762 = 0
Если основание степени – отрицательное число, тот тут доказательство немного сложнее, поскольку важным становится понятие четности/нечетности показателя. Возьмем для начала случай, когда показатель степени четный, и обозначим его 2 · m , где m – натуральное число.
Вспомним, как правильно умножать отрицательные числа: произведение a · a равно произведению модулей, а, следовательно, оно будет положительным числом. Тогда 
и степень a 2 · m также положительны.
Пример 11
Например, (− 6) 4 > 0 , (− 2 , 2) 12 > 0 и - 2 9 6 > 0
А если показатель степени с отрицательным основанием – нечетное число? Обозначим его 2 · m − 1 .
Тогда 
Все произведения a · a , согласно свойствам умножения, положительны, их произведение тоже. Но если мы его умножим на единственное оставшееся число a , то конечный результат будет отрицателен.
Тогда получим: (− 5) 3 < 0 , (− 0 , 003) 17 < 0 и - 1 1 102 9 < 0
Как это доказать?
a n < b n – неравенство, представляющее собой произведение левых и правых частей nверных неравенств a < b . Вспомним основные свойства неравенств справедливо и a n < b n .
Пример 12
Например, верны неравенства: 3 7 < (2 , 2) 7 и 3 5 11 124 > (0 , 75) 124
8. Нам осталось доказать последнее свойство: если у нас есть две степени, основания которых одинаковы и положительны, а показатели являются натуральными числами, то та из них больше, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше.
Докажем эти утверждения.
Для начала нам нужно убедиться, что a m < a n при условии, что m больше, чем n , и а больше 0 , но меньше 1 .Теперь сравним с нулем разность a m − a n
Вынесем a n за скобки, после чего наша разность примет вид a n · (a m − n − 1) . Ее результат будет отрицателен (поскольку отрицателен результат умножения положительного числа на отрицательное). Ведь согласно начальным условиям, m − n > 0 , тогда a m − n − 1 –отрицательно, а первый множитель положителен, как и любая натуральная степень с положительным основанием.
У нас вышло, что a m − a n < 0 и a m < a n . Свойство доказано.
Осталось привести доказательство второй части утверждения, сформулированного выше: a m > a справедливо при m > n и a > 1 . Укажем разность и вынесем a n за скобки: (a m − n − 1) .Степень a n при а, большем единицы, даст положительный результат; а сама разность также окажется положительна в силу изначальных условий, и при a > 1 степень a m − n больше единицы. Выходит, a m − a n > 0 и a m > a n , что нам и требовалось доказать.
Пример 13
Пример с конкретными числами: 3 7 > 3 2
Основные свойства степеней с целыми показателями
Для степеней с целыми положительными показателями свойства будут аналогичны, потому что целые положительные числа являются натуральными, а значит, все равенства, доказанные выше, справедливы и для них. Также они подходят и для случаев, когда показатели отрицательны или равны нулю (при условии, что само основание степени ненулевое).
Таким образом, свойства степеней такие же для любых оснований a и b (при условии, что эти числа действительны и не равны 0) и любых показателей m и n (при условии, что они являются целыми числами). Запишем их кратко в виде формул:
Определение 2
1. a m · a n = a m + n
2. a m: a n = a m − n
3. (a · b) n = a n · b n
4. (a: b) n = a n: b n
5. (a m) n = a m · n
6. a n < b n и a − n > b − n при условии целого положительного n , положительных a и b , a < b
7. a m < a n , при условии целых m и n , m > n и 0 < a < 1 , при a > 1 a m > a n .
Если основание степени равно нулю, то записи a m и a n имеют смысл только лишь в случае натуральных и положительных m и n . В итоге получим, что формулировки выше подходят и для случаев со степенью с нулевым основанием, если соблюдаются все остальные условия.
Доказательства этих свойств в данном случае несложные. Нам потребуется вспомнить, что такое степень с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами.
Разберем свойство степени в степени и докажем, что оно верно и для целых положительных, и для целых неположительных чисел. Начнем с доказательства равенств (a p) q = a p · q , (a − p) q = a (− p) · q , (a p) − q = a p · (− q) и (a − p) − q = a (− p) · (− q)
Условия: p = 0 или натуральное число; q – аналогично.
Если значения p и q больше 0 , то у нас получится (a p) q = a p · q . Схожее равенство мы уже доказывали раньше. Если p = 0 , то:
(a 0) q = 1 q = 1 a 0 · q = a 0 = 1
Следовательно, (a 0) q = a 0 · q
Для q = 0 все точно так же:
(a p) 0 = 1 a p · 0 = a 0 = 1
Итог: (a p) 0 = a p · 0 .
Если же оба показателя нулевые, то (a 0) 0 = 1 0 = 1 и a 0 · 0 = a 0 = 1 , значит, (a 0) 0 = a 0 · 0 .
Вспомним доказанное выше свойство частного в степени и запишем:
1 a p q = 1 q a p q
Если 1 p = 1 · 1 · … · 1 = 1 и a p q = a p · q , то 1 q a p q = 1 a p · q
Эту запись мы можем преобразовать в силу основных правил умножения в a (− p) · q .
Так же: a p - q = 1 (a p) q = 1 a p · q = a - (p · q) = a p · (- q) .
И (a - p) - q = 1 a p - q = (a p) q = a p · q = a (- p) · (- q)
Остальные свойства степени можно доказать аналогичным образом, преобразовав имеющиеся неравенства. Подробно останавливаться мы на этом не будем, укажем только сложные моменты.
Доказательство предпоследнего свойства: вспомним, a − n > b − n верно для любых целых отрицательных значений nи любых положительных a и b при условии, что a меньше b .
Тогда неравенство можно преобразовать следующим образом:
1 a n > 1 b n
Запишем правую и левую части в виде разности и выполним необходимые преобразования:
1 a n - 1 b n = b n - a n a n · b n
Вспомним, что в условии a меньше b , тогда, согласно определению степени с натуральным показателем: - a n < b n , в итоге: b n − a n > 0 .
a n · b n в итоге дает положительное число, поскольку его множители положительны. В итоге мы имеем дробь b n - a n a n · b n , которая в итоге также дает положительный результат. Отсюда 1 a n > 1 b n откуда a − n > b − n , что нам и нужно было доказать.
Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается аналогично свойству степеней с показателями натуральными.
Основные свойства степеней с рациональными показателями
В предыдущих статьях мы разбирали, что такое степень с рациональным (дробным) показателем. Их свойства такие же, что и у степеней с целыми показателями. Запишем:
Определение 3
1. a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 + m 2 n 2 при a > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (свойство произведения степеней с одинаковыми основаниями).
2. a m 1 n 1: b m 2 n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2 , если a > 0 (свойство частного).
3. a · b m n = a m n · b m n при a > 0 и b > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 и (или) b ≥ 0 (свойство произведения в дробной степени).
4. a: b m n = a m n: b m n при a > 0 и b > 0 , а если m n > 0 , то при a ≥ 0 и b > 0 (свойство частного в дробной степени).
5. a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 · m 2 n 2 при a > 0 , а если m 1 n 1 > 0 и m 2 n 2 > 0 , то при a ≥ 0 (свойство степени в степени).
6. a p < b p при условии любых положительных a и b , a < b и рациональном p при p > 0 ; если p < 0 - a p > b p (свойство сравнения степеней с равными рациональными показателями).
7. a p < a q при условии рациональных чисел p и q , p > q при 0 < a < 1 ; если a > 0 – a p > a q
Для доказательства указанных положений нам понадобится вспомнить, что такое степень с дробным показателем, каковы свойства арифметического корня n -ной степени и каковы свойства степени с целыми показателем. Разберем каждое свойство.
Согласно тому, что из себя представляет степень с дробным показателем, получим:
a m 1 n 1 = a m 1 n 1 и a m 2 n 2 = a m 2 n 2 , следовательно, a m 1 n 1 · a m 2 n 2 = a m 1 n 1 · a m 2 n 2
Свойства корня позволят нам вывести равенства:
a m 1 · m 2 n 1 · n 2 · a m 2 · m 1 n 2 · n 1 = a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2
Из этого получаем: a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Преобразуем:
a m 1 · n 2 · a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2
Показатель степени можно записать в виде:
m 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 · n 2 n 1 · n 2 + m 2 · n 1 n 1 · n 2 = m 1 n 1 + m 2 n 2
Это и есть доказательство. Второе свойство доказывается абсолютно так же. Запишем цепочку равенств:
a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 n 1: a m 2 n 2 = a m 1 · n 2: a m 2 · n 1 n 1 · n 2 = = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 · n 2 n 1 · n 2 - m 2 · n 1 n 1 · n 2 = a m 1 n 1 - m 2 n 2
Доказательства остальных равенств:
a · b m n = (a · b) m n = a m · b m n = a m n · b m n = a m n · b m n ; (a: b) m n = (a: b) m n = a m: b m n = = a m n: b m n = a m n: b m n ; a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = a m 1 n 1 m 2 n 2 = = a m 1 m 2 n 1 n 2 = a m 1 · m 2 n 1 n 2 = = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 · m 2 n 2 · n 1 = a m 1 n 1 · m 2 n 2
Следующее свойство: докажем, что для любых значений a и b больше 0 , если а меньше b , будет выполняться a p < b p , а для p больше 0 - a p > b p
Представим рациональное число p как m n . При этом m –целое число, n –натуральное. Тогда условия p < 0 и p > 0 будут распространяться на m < 0 и m > 0 . При m > 0 и a < b имеем (согласно свойству степени с целым положительным показателем), что должно выполняться неравенство a m < b m .
Используем свойство корней и выведем: a m n < b m n
Учитывая положительность значений a и b , перепишем неравенство как a m n < b m n . Оно эквивалентно a p < b p .
Таким же образом при m < 0 имеем a a m > b m , получаем a m n > b m n значит, a m n > b m n и a p > b p .
Нам осталось привести доказательство последнего свойства. Докажем, что для рациональных чисел p и q , p > q при 0 < a < 1 a p < a q , а при a > 0 будет верно a p > a q .
Рациональные числа p и q можно привести к общему знаменателю и получить дроби m 1 n и m 2 n
Здесь m 1 и m 2 – целые числа, а n – натуральное. Если p > q , то m 1 > m 2 (учитывая правило сравнения дробей). Тогда при 0 < a < 1 будет верно a m 1 < a m 2 , а при a > 1 – неравенство a 1 m > a 2 m .
Их можно переписать в следующем виде:
a m 1 n < a m 2 n a m 1 n > a m 2 n
Тогда можно сделать преобразования и получить в итоге:
a m 1 n < a m 2 n a m 1 n > a m 2 n
Подводим итог: при p > q и 0 < a < 1 верно a p < a q , а при a > 0 – a p > a q .
Основные свойства степеней с иррациональными показателями
На такую степень можно распространить все описанные выше свойства, которыми обладает степень с рациональными показателями. Это следует из самого ее определения, которое мы давали в одной из предыдущих статей. Сформулируем кратко эти свойства (условия: a > 0 , b > 0 , показатели p и q – иррациональные числа):
Определение 4
1. a p · a q = a p + q
2. a p: a q = a p − q
3. (a · b) p = a p · b p
4. (a: b) p = a p: b p
5. (a p) q = a p · q
6. a p < b p верно при любых положительных a и b , если a < b и p – иррациональное число больше 0 ; если p меньше 0 , то a p > b p
7. a p < a q верно, если p и q – иррациональные числа, p < q , 0 < a < 1 ; если a > 0 , то a p > a q .
Таким образом, все степени, показатели которых p и q являются действительными числами, при условии a > 0 обладают теми же свойствами.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
После того как определена степень числа , логично поговорить про свойства степени . В этой статье мы дадим основные свойства степени числа, при этом затронем все возможные показатели степени. Здесь же мы приведем доказательства всех свойств степени, а также покажем, как применяются эти свойства при решении примеров.
Навигация по странице.
Свойства степеней с натуральными показателями
По определению степени с натуральным показателем степень a n представляет собой произведение n множителей, каждый из которых равен a . Отталкиваясь от этого определения, а также используя свойства умножения действительных чисел , можно получить и обосновать следующие свойства степени с натуральным показателем :
- основное свойство степени a m ·a n =a m+n , его обобщение ;
- свойство частного степеней с одинаковыми основаниями a m:a n =a m−n ;
- свойство степени произведения (a·b) n =a n ·b n , его расширение ;
- свойство частного в натуральной степени (a:b) n =a n:b n ;
- возведение степени в степень (a m) n =a m·n , его обобщение (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k ;
- сравнение степени с нулем:
- если a>0 , то a n >0 для любого натурального n ;
- если a=0 , то a n =0 ;
- если a<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 , если a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- если a
и b
– положительные числа и a
- если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0
- если m и n такие натуральные числа, что m>n , то при 0
Сразу заметим, что все записанные равенства являются тождественными при соблюдении указанных условий, и их правые и левые части можно поменять местами. Например, основное свойство дроби a m ·a n =a m+n при упрощении выражений часто применяется в виде a m+n =a m ·a n .
Теперь рассмотрим каждое из них подробно.
Начнем со свойства произведения двух степеней с одинаковыми основаниями, которое называют основным свойством степени : для любого действительного числа a и любых натуральных чисел m и n справедливо равенство a m ·a n =a m+n .
Докажем основное свойство степени. По определению степени с натуральным показателем произведение степеней с одинаковыми основаниями вида a m ·a n
можно записать как произведение . В силу свойств умножения полученное выражение можно записать как 
, а это произведение есть степень числа a
с натуральным показателем m+n
, то есть, a m+n
. На этом доказательство завершено.
Приведем пример, подтверждающий основное свойство степени. Возьмем степени с одинаковыми основаниями 2 и натуральными степенями 2 и 3 , по основному свойству степени можно записать равенство 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Проверим его справедливость, для чего вычислим значения выражений 2 2 ·2 3 и 2 5 . Выполняя возведение в степень , имеем 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 и 2 5 =2·2·2·2·2=32 , так как получаются равные значения, то равенство 2 2 ·2 3 =2 5 - верное, и оно подтверждает основное свойство степени.
Основное свойство степени на базе свойств умножения можно обобщить на произведение трех и большего числа степеней с одинаковыми основаниями и натуральными показателями. Так для любого количества k натуральных чисел n 1 , n 2 , …, n k справедливо равенство a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k .
Например, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Можно переходить к следующему свойству степеней с натуральным показателем – свойству частного степеней с одинаковыми основаниями : для любого отличного от нуля действительного числа a и произвольных натуральных чисел m и n , удовлетворяющих условию m>n , справедливо равенство a m:a n =a m−n .
Прежде чем привести доказательство этого свойства, обговорим смысл дополнительных условий в формулировке. Условие a≠0
необходимо для того, чтобы избежать деления на нуль, так как 0 n =0
, а при знакомстве с делением мы условились, что на нуль делить нельзя. Условие m>n
вводится для того, чтобы мы не выходили за рамки натуральных показателей степени. Действительно, при m>n
показатель степени a m−n
является натуральным числом, в противном случае он будет либо нулем (что происходит при m−n
), либо отрицательным числом (что происходит при m Доказательство. Основное свойство дроби позволяет записать равенство a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m
. Из полученного равенства a m−n ·a n =a m
и из следует, что a m−n
является частным степеней a m
и a n
. Этим доказано свойство частного степеней с одинаковыми основаниями. Приведем пример. Возьмем две степени с одинаковыми основаниями π
и натуральными показателями 5
и 2
, рассмотренному свойству степени отвечает равенство π 5:π 2 =π 5−3 =π 3
. Теперь рассмотрим свойство степени произведения
: натуральная степень n
произведения двух любых действительных чисел a
и b
равна произведению степеней a n
и b n
, то есть, (a·b) n =a n ·b n
. Действительно, по определению степени с натуральным показателем имеем Приведем пример: Данное свойство распространяется на степень произведения трех и большего количества множителей. То есть, свойство натуральной степени n
произведения k
множителей записывается как (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n
. Для наглядности покажем это свойство на примере. Для произведения трех множителей в степени 7
имеем . Следующее свойство представляет собой свойство частного в натуральной степени
: частное действительных чисел a
и b
, b≠0
в натуральной степени n
равно частному степеней a n
и b n
, то есть, (a:b) n =a n:b n
. Доказательство можно провести, используя предыдущее свойство. Так (a:b) n ·b n =((a:b)·b) n =a n
, а из равенства (a:b) n ·b n =a n
следует, что (a:b) n
является частным от деления a n
на b n
. Запишем это свойство на примере конкретных чисел: Теперь озвучим свойство возведения степени в степень
: для любого действительного числа a
и любых натуральных чисел m
и n
степень a m
в степени n
равна степени числа a
с показателем m·n
, то есть, (a m) n =a m·n
. Например, (5 2) 3 =5 2·3 =5 6
. Доказательством свойства степени в степени является следующая цепочка равенств: Рассмотренное свойство можно распространить на степень в степени в степени и т.д. Например, для любых натуральных чисел p
, q
, r
и s
справедливо равенство Осталось остановиться на свойствах сравнения степеней с натуральным показателем. Начнем с доказательства свойства сравнения нуля и степени с натуральным показателем. Для начала обоснуем, что a n >0
при любом a>0
. Произведение двух положительных чисел является положительным числом, что следует из определения умножения. Этот факт и свойства умножения позволяют утверждать, что результат умножения любого числа положительных чисел также будет положительным числом. А степень числа a
с натуральным показателем n
по определению является произведением n
множителей, каждый из которых равен a
. Эти рассуждения позволяют утверждать, что для любого положительного основания a
степень a n
есть положительное число. В силу доказанного свойства 3 5 >0
, (0,00201) 2 >0
и Достаточно очевидно, что для любого натурального n
при a=0
степень a n
есть нуль. Действительно, 0 n =0·0·…·0=0
. К примеру, 0 3 =0
и 0 762 =0
. Переходим к отрицательным основаниям степени. Начнем со случая, когда показатель степени является четным числом, обозначим его как 2·m
, где m
- натуральное. Тогда Наконец, когда основание степени a
является отрицательным числом, а показатель степени есть нечетное число 2·m−1
, то Переходим к свойству сравнения степеней с одинаковыми натуральными показателями, которое имеет следующую формулировку: из двух степеней с одинаковыми натуральными показателями n
меньше та, основание которой меньше, а больше та, основание которой больше. Докажем его. Неравенство a n свойств неравенств
справедливо и доказываемое неравенство вида a n (2,2) 7
и Осталось доказать последнее из перечисленных свойств степеней с натуральными показателями. Сформулируем его. Из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми положительными основаниями, меньшими единицы, больше та степень, показатель которой меньше; а из двух степеней с натуральными показателями и одинаковыми основаниями, большими единицы, больше та степень, показатель которой больше. Переходим к доказательству этого свойства. Докажем, что при m>n
и 0 Осталось доказать вторую часть свойства. Докажем, что при m>n
и a>1
справедливо a m >a n
. Разность a m −a n
после вынесения a n
за скобки принимает вид a n ·(a m−n −1)
. Это произведение положительно, так как при a>1
степень a n
есть положительное число, и разность a m−n −1
есть положительное число, так как m−n>0
в силу начального условия, и при a>1
степень a m−n
больше единицы. Следовательно, a m −a n >0
и a m >a n
, что и требовалось доказать. Иллюстрацией этого свойства служит неравенство 3 7 >3 2
.
. Последнее произведение на основании свойств умножения можно переписать как 
, что равно a n ·b n
.
.
.
.
. Для большей ясности приведем пример с конкретными числами: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. По каждое из произведений вида a·a
равно произведению модулей чисел a
и a
, значит, является положительным числом. Следовательно, положительным будет и произведение 
и степень a 2·m
. Приведем примеры: (−6) 4 >0
, (−2,2) 12 >0
и .
. Все произведения a·a
являются положительными числами, произведение этих положительных чисел также положительно, а его умножение на оставшееся отрицательное число a
дает в итоге отрицательное число. В силу этого свойства (−5) 3 <0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Свойства степеней с целыми показателями
Так как целые положительные числа есть натуральные числа, то все свойства степеней с целыми положительными показателями в точности совпадают со свойствами степеней с натуральными показателями, перечисленными и доказанными в предыдущем пункте.
Степень с целым отрицательным показателем , а также степень с нулевым показателем мы определяли так, чтобы оставались справедливыми все свойства степеней с натуральными показателями, выражаемые равенствами. Поэтому, все эти свойства справедливы и для нулевых показателей степени, и для отрицательных показателей, при этом, конечно, основания степеней отличны от нуля.
Итак, для любых действительных и отличных от нуля чисел a и b , а также любых целых чисел m и n справедливы следующие свойства степеней с целыми показателями :
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- если n – целое положительное число, a и b – положительные числа, причем ab −n ;
- если m
и n
– целые числа, причем m>n
, то при 0
При a=0 степени a m и a n имеют смысл лишь когда и m , и n положительные целые числа, то есть, натуральные числа. Таким образом, только что записанные свойства также справедливы для случаев, когда a=0 , а числа m и n – целые положительные.
Доказать каждое из этих свойств не составляет труда, для этого достаточно использовать определения степени с натуральным и целым показателем, а также свойства действий с действительными числами. Для примера докажем, что свойство степени в степени выполняется как для целых положительных чисел, так и для целых неположительных чисел. Для этого нужно показать, что если p есть нуль или натуральное число и q есть нуль или натуральное число, то справедливы равенства (a p) q =a p·q , (a −p) q =a (−p)·q , (a p) −q =a p·(−q) и (a −p) −q =a (−p)·(−q) . Сделаем это.
Для положительных p и q равенство (a p) q =a p·q доказано в предыдущем пункте. Если p=0 , то имеем (a 0) q =1 q =1 и a 0·q =a 0 =1 , откуда (a 0) q =a 0·q . Аналогично, если q=0 , то (a p) 0 =1 и a p·0 =a 0 =1 , откуда (a p) 0 =a p·0 . Если же и p=0 и q=0 , то (a 0) 0 =1 0 =1 и a 0·0 =a 0 =1 , откуда (a 0) 0 =a 0·0 .
Теперь докажем, что (a −p) q =a (−p)·q
. По определению степени с целым отрицательным показателем , тогда 
. По свойству частного в степени имеем 
. Так как 1 p =1·1·…·1=1
и , то . Последнее выражение по определению является степенью вида a −(p·q)
, которую в силу правил умножения можно записать как a (−p)·q
.
Аналогично 
.
И 
.
По такому же принципу можно доказать все остальные свойства степени с целым показателем, записанные в виде равенств.
В предпоследнем из записанных свойств стоит остановиться на доказательстве неравенства a −n >b −n , которое справедливо для любого целого отрицательного −n и любых положительных a и b , для которых выполняется условие a. Так как по условию a0 . Произведение a n ·b n тоже положительно как произведение положительных чисел a n и b n . Тогда полученная дробь положительна как частное положительных чисел b n −a n и a n ·b n . Следовательно, откуда a −n >b −n , что и требовалось доказать.
Последнее свойство степеней с целыми показателями доказывается так же, как аналогичное свойство степеней с натуральными показателями.
Свойства степеней с рациональными показателями
Степень с дробным показателем мы определяли, распространяя на нее свойства степени с целым показателем. Иными словами, степени с дробными показателями обладают теми же свойствами, что и степени с целыми показателями. А именно:
Доказательство свойств степеней с дробными показателями базируется на определении степени с дробным показателем, на и на свойствах степени с целым показателем. Приведем доказательства.
По определению степени с дробным показателем и , тогда 
. Свойства арифметического корня позволяют нам записать следующие равенства . Дальше, используя свойство степени с целым показателем, получаем , откуда по определению степени с дробным показателем имеем 
, а показатель полученной степени можно преобразовать так: . На этом доказательство завершено.
Абсолютно аналогично доказывается второе свойство степеней с дробными показателями:
По схожим принципам доказываются и остальные равенства:
Переходим к доказательству следующего свойства. Докажем, что для любых положительных a и b , a b p . Запишем рациональное число p как m/n , где m – целое число, а n – натуральное. Условиям p<0 и p>0 в этом случае будут эквивалентны условия m<0 и m>0 соответственно. При m>0 и a
Аналогично, при m<0 имеем a m >b m , откуда , то есть, и a p >b p .
Осталось доказать последнее из перечисленных свойств. Докажем, что для рациональных чисел p
и q
, p>q при 0
и 
. А определение степени с рациональным показателем позволяет перейти к неравенствам и соответственно. Отсюда делаем окончательный вывод: при p>q
и 0
Свойства степеней с иррациональными показателями
Из того, как определяется степень с иррациональным показателем , можно заключить, что она обладает всеми свойствами степеней с рациональными показателями. Так для любых a>0 , b>0 и иррациональных чисел p и q справедливы следующие свойства степеней с иррациональными показателями :
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- для любых положительных чисел a и b , a0 справедливо неравенство a p b p ;
- для иррациональных чисел p
и q
, p>q
при 0
Отсюда можно сделать вывод, что степени с любыми действительными показателями p и q при a>0 обладают этими же свойствами.
Список литературы.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. МатематикаЖ учебник для 5 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 7 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 8 кл. общеобразовательных учреждений.
- Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б. Алгебра: учебник для 9 кл. общеобразовательных учреждений.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний
Вид урока: комбинированный
Формы работы: индивидуальная, фронтальная, работа в парах
Оборудование: компьютер, медиапродукт (презентация в программе Microsoft Office Power Point 2007); карточки с заданиями для самостоятельной работы
Цели урока:
Образовательные : отработка умений систематизировать, обобщать знания о степени с натуральным показателем, закрепить и усовершенствовать навыки простейших преобразований выражений, содержащих степени с натуральным показателем.
- развивающие: способствовать формированию умений применять приемы обобщения, сравнения, выделения главного, развития математического кругозора, мышления, речи, внимания и памяти.
- воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, формировать положительный мотив учения, развитие умений учебно-познавательной деятельности
Пояснительная записка.
Данный урок проводится в общеобразовательном классе со средним уровнем математической подготовки. Основная задача урока - отработка умений систематизировать, обобщать знания о степени с натуральным показателем реализуется в процессе выполнения различных упражнений.
Развивающий характер проявляется в подборе упражнений. Использование мультимедийного продукта позволяет сэкономить время, сделать материал наиболее наглядным, показать образцы оформления решений.На уроке используются различные виды работ, что снимает усталость детей.
Структура урока:
Организационный момент.
Сообщение темы, постановка целей урока.
Устная работа.
Систематизация опорных знаний.
Элементы здорорвьесберегающих технологий.
Выполнение тестового задания
Итоги урока.
Домашнее задание.
Ход урока:
I .Организационный момент
Учитель:Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать Вас сегодня на нашем уроке. Садитесь. Надеюсь, что сегодня на уроке нас ждет и успех, и радость. И мы, работая в коллективе, покажем свою одарённость.
Будьте внимательны в течение урока. Думайте, спрашивайте, предлагайте – так как дорогой к истине мы будем идти вместе .
Откройте тетради и запишите число, классная работа
II . Сообщение темы, постановка целей урока
1) Тема урока. Эпиграф урока. (Слайд 2,3)
«Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики
степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь» М.В. Ломоносов
2) Постановка целей урока.
Учитель: Итак, на уроке мы повторим, обобщим и приведем в систему изученный материал. Ваша задача показать свои знания свойств степени с натуральным показателем и умение применять их при выполнении различных заданий.
III . Повторение основных понятий темы, свойств степени с натуральным показателем
1) разгадать анаграмму : (слайд 4)
Ньспете (степень)
Ктореоз (отрезок)
Ованиосне (основание)
Казапотель (показатель)
Мноуниеже (умножение)
2) Что такое степень с натуральным показателем? (Слайд 5)
(Степенью числа a с натуральным показателем n , большим 1, называется выражение a n , равное произведению n множителей, каждый из которых равен a а-основание, n -показатель)
3) Прочитайте выражение, назовите основание и показатель степени: (Слайд 6)
4) Основные свойства степени(дописать правую часть равенства) (Слайд 7)
a n a m =
a n :a m =
(a n ) m =
(ab) n =
( a / b ) n =
a 0 =
a 1 =
IV У стная работа
1)устный счет (слайд8)
Учитель: А теперь проверим как вы умеете применять эти формулы при решении.
1)х 5 х 7 ; 2) а 4 а 0 ;
3) к 9 : к 7 ; 4) r n : r ;
5)5 5 2 ; 6) (- b )(- b ) 3 (- b );
7) с 4 : с; 8) 7 3 : 49;
9)у 4 у 6 у 10) 7 4 49 7 3 ;
11) 16: 4 2 ; 12) 64: 8 2 ;
13)ссс 3 ; 14) а 2 n a n ;
15) х 9 : х m ; 16) у n : у
2)игра « Исключи лишнее»((-1) 2 )(слайд9)
-1
Молодцы. Хорошо справились с заданием. Дальше решаем следующие примеры.
V Систематизация опорных знаний
1. Соедините линиями выражения, соответствующие друг другу: (слайд 10)
4 ⁶ 4 2 3 6 4 6
4 6 : 4 2 4 6 /5 6
(3 4) 6 4 ⁶ +2
(4 2 ) 6 4 6-2
(4/5) 6 4 12
2.Расставьте в порядке возрастания числа: (слайд 11)
3 2 (-0,5) 3 (½) 3 35 0 (-10) 3
3.Выполнение задания с последующей самопроверкой (слайд 12)
А1 представьте произведение в виде степени:
а) а) х 5 х 4 ; б) 3 7 3 9 ; в) (-4) 3 (-4) 8 .
А 2 упростите выражение:
а) х 3 х 7 х 8 ; б) 2 21 :2 19 2 3
А 3 выполните возведение в степень:
а) (а 5 ) 3 ; б) (-в 7 ) 2
VI Элементы здоровьесберегающих технологий(слайд13)
Физкультминутка: повторение степени чисел 2 и 3
VII
Тестовое задание (слайд14)
Ответы к тесту записаны на доске: 1 д 2 о 3б 4ы 5 ч 6а (добыча)
VIII Самостоятельная работа по карточкам
На каждой парте карточки с заданием по вариантам, после выполнения работы сдаются на проверку
Вариант 1
1) Упростите выражения:
а)
б)
в)
г)
а)
б)
в)
г)
Вариант 2
1) Упростите выражения:
а) б)
в)
г)
2) Найдите значение выражения:
а) б)
в)
г)
3) Покажите с помощью стрелки, чему равно значение выражения: нулю, положительному или отрицательному числу:
IX Итоги уроки
№ п/п
Вид работы
самооценка
Оценка учителя
1
Анаграмма
2
Прочитай выражение
3
Правила
4
Устный счет
5
Соедини линиями
6
Расставь в порядке возрастания
7
Задания с самопроверкой
8
Тест
9
Самостоятельная работа по карточкам
X Домашнее задание
Карточки с тестами
А1. Найдите значение выражения: .
Технологическая карта учебного занятия
7 класс Урок № 38
Тема: Степень с натуральным показателем
1. Обеспечить повторение, обобщение и систематизацию знаний по теме, закрепить и усовершенствовать навыки простейших преобразований выражений, содержащих степени с натуральным показателем, создать условия контроля усвоения знаний и умений;2. Способствовать формированию умений применять приёмы обобщения, сравнения, выделения главного, содействовать воспитанию интереса переноса знаний в новую ситуацию, развитие математического кругозора, речи, внимания и памяти, развитие учебно-познавательной деятельности;
3. Содействовать воспитанию интереса к математике, активности, организованности, воспитывать умения взаимо и самоконтроля своей деятельности, формирование положительной мотивации учения, культуры общения.
Основные понятия учебного занятия
Степень, основание степени, показатель степени, свойства степени, произведение степени, деление степеней, возведение степени в степень.
Планируемый результат
Научатся оперировать понятием Степень, понимать смысл записи числа в виде степени, выполнять несложные преобразования выражений, содержащих степени с натуральным показателем.
Получат возможность научиться выполнять преобразования целых выражений, содержащих степень с натуральным показателем
Предметные умения, УУД
Личностные УУД:
способность к самооценке на основе критерия успешности учебной деятельности.
Познавательные УУД:
умение ориентироваться в своей системе знаний и умений: отличать новое от уже известного с помощью учителя; находить ответы на вопросы, используя информацию, поученную на уроке.
Обобщение и систематизация учебного материала, оперировать символической записью степени, замен, воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения учебной задачи
Предметные УУД:
Применять свойства степени к преобразованию выражений, содержащих степени с натуральным показателем
Регулятивные УУД:
Умение определять и формулировать цель на уроке с помощью учителя; оценивать свою работу на уроке. Осуществлять взаимоконтроль и самоконтроль при выполнении заданий
КоммуникативныеУУД:
Уметь оформлять свои мысли в устной и письменной форме, слушать и понимать речь других
Метапредметные связи
Физика, астрономия, медицина, повседневная жизнь
Тип урока
Повторения, обобщения и применения знаний и умений.
Формы работы и методы работы
Фронтальная, парная, индивидуальная. Объяснительно – иллюстративный, словесный, проблемная ситуация, практикум, взаимопроверка, контроль
Ресурсное обеспечение
Компоненты УМК Макарычева Учебник, проектор, экран, компьютер, презентация, задания для учащихся, листы самооценки
Технологии, используемые на учебном занятии
Технология смыслового чтения, проблемного обучения, индивидуальный и дифференцированный подход, ИКТ
Настрой учащихся на работу, мобилизация вниманияДобрый день, ребята. Добрый день, уважаемые коллеги! Я приветствую всех собравшихся на сегодняшнем открытом уроке. Ребята, я хочу вам пожелать плодотворно поработать на уроке, внимательно обдумывать ответы на поставленные вопросы, не торопиться, не перебивать, уважать одноклассников и их ответы. А ещё пожелаю вам всем получить только хорошие оценки. Удачи вам!
Включаются в деловой ритм урока
Проверяют наличие всего необходимого для работы на уроке, аккуратность расположения Предметов. Умение организовать себя, настраиваются на работу.
2.Актуализация опорных знаний и вхождение в тему урока
3. Устная работа
Ребята, у каждого из вас на парте лежат оценочные листы.
На них вы будете оценивать свою работу на уроке.
Вам сегодня на уроке предоставляется возможность получить не одну, а две оценки: за работу на уроке и за самостоятельную работу.
Ваши верные, полные ответы тоже будут оцениваться «+», но в другой колонке и эту оценку буду ставить я.
На экране вы видите ребусы, в которых зашифрованы ключевые слова сегодняшнего урока. Разгадайте их. (Слайд 1)
степень
повторение
обобщение
Ребята, вы правильно отгадали ребусы. Эти слова: степень, повторение и обобщение. А теперь, используя отгаданные слова – подсказки, сформулируйте тему сегодняшнего урока.
Правильно. Откройте тетради и запишите число и тему урока «Повторение и обобщение по теме «Свойства степени с натуральным показателем» (Слайд 2)
Тему урока мы с вами определили, а как вы думаете, чем мы будем заниматься на уроке, какие цели поставим перед собой? (Слайд 3)
Повторить и обобщить наши знания по данной теме, ликвидировать имеющиеся пробелы, подготовиться к изучению следующей темы «Одночлены».
Ребята, свойства степени с натуральным показателем довольно часто применяются при нахождении значений выражений, при преобразованиях выражений. Быстрота вычислений и преобразований, связанных со свойствами степени с натуральным показателем продиктована и введением ЕГЭ.
Итак, сегодня мы повторим и обобщим ваши знания и умения по этой теме. Устно вы должны решить ряд задач и вспомнить словесную группировку свойств и определения степени с натуральным показателем.
Эпиграф к уроку слова великого русского учёного М.В.Ломоносова « Пусть кто–нибудь попробует вычеркнуть из математики степени, и он увидит, что без них далеко не уедешь»
(Слайд 4)
Как вы думаете, прав учёный?
Для чего нам нужны степени?
Где они нашли широкое применение? (в физике, астрономии, медицине)
Правильно, а теперь давайте повторим, что же такое степень?
Как называются а и n в записи степени?
Какие действия можно выполнять со степенями? (Слайды 5 -11)
А теперь подведём итог. У вас на парте листочки с заданиями .
1.Слева указаны начала определений справа окончания определений. Соедините линиями верные высказывания (Слайд 12)
Соедините линиями соответствующие части определения.а) При умножении степеней с одинаковыми основаниями …
1)основанием степени
б) При делении степеней с одинаковыми основаниями ….
2) Показатель степени
в) Число а называют
3) произведение n множителей, каждый из которых равен а.
г) При возведении степени в степень …
4)… основание остается прежним, а показатели складываются.
д)Степенью числа а с натуральным показателем n, большим 1, называется
5)… основание остается прежним, а показатели перемножаются.
е) Число n называют
6) Степенью
ж) Выражение а n называют
7)…основание остается прежним, а показатели вычитаются.
2.Теперь, поменяйтесь листочками с соседом по парте, оцените его работу и поставьте ему оценку. Эту оценку выставите в свой оценочный лист.
А теперь давайте проверим, правильно ли вы выполнили задание.
Отгадывают ребусы, определяют слова – подсказки.
Предпринимают попытки поставить тему урока.
Записывают в тетради число и тему урока.
Отвечают на вопросы
Работают парами. Читают задание, вспоминают.
Соединяют части определений
Обмениваются тетрадями.
Выполняют взаимопроверку результатов, выставляют оценки соседу по парте..
4.Физкультминутка
Руки подняли и покачали –
это деревья в лесу,
Руки согнули, кисти встряхнули –
Ветер срывает листву.
В стороны руки, плавно помашем –
Птицы на юг так летят,
Как они сядут, тихо покажем –
Руки сложили вот так!
Выполняют действия параллельно с учителем
5. Перенос приобретенных знаний, их первичное применение в новых или изменённых условиях, с целью формирования умений.
1. Предлагаю вам следующую работу: у вас на партах карточки. Вам нужно выполнить задания, т.е. записать ответ в виде степени с основанием с, и вы узнаете фамилию и имя великого французского математика, который ввёл общепринятое в настоящее время обозначение степеней.(Слайд 14)
5С 8 : С 6
(С 4 ) 3 С
(С 4 ) 3
С 4 С 5 С 0
С 5 С 3 : С 6
С 16 : С 8
С 14 С 8
10.
(С 3 ) 5
Ответ: Рене Декарт.
Рассказ о биографии Рене Декарта (Слайды 15 – 17)
Ребята, а сейчас давайте выполним следующее задание.
2. О пределите, какие ответы правильные, а какие ложные. (Слайд 18 – 19)
истинному ответу поставьте в соответствие 1, ложному – 0.
получив упорядоченный набор из единиц и нулей, вы узнаете верный ответ и определите имя и фамилию первой русской женщины - математика.
а ) x 2 x 3 =x 5
б ) s 3 s 5 s 8 = s 16
в ) x 7 : x 4 = x 28
г) ( c + d ) 8 : ( c + d ) 7 = c + d
д) ( x 5 ) 6 = x 30
Выберите ее имя из четырех имен известных женщин, каждому из которых соответствует набор из единиц и нулей:
Ада Августа Лавлейс – 11001
Софи Жермен - 10101
Екатерина Дашкова - 11101
Софья Ковалевская - 11011
Из биографии Софьи Ковалевской (Слайд 20)
Выполняют задание, определяют фамилия и имя французского математика
Слушают, рассматривают слайды
Отмечают верные и неверные ответы, записывают получившийся код, по которому определяют имя первой русской женщины – математика.
6. Контроль и оценка знаний Самостоятельное выполнение учащимися заданий под контролем учителя.
А сейчас вам предстоит выполнить проверочную работу. Перед вами лежат карточки с заданиями разного цвета. Цвет соответствует уровню сложности задания (на «3», на «4», на «5») Выберите сами, задание на какую оценку вы будете выполнять и приступайте к работе. (Слайд 21)
На «3»
1. Представьте в виде степени произведение:
а) ; б) ;
в) ; г) .
2. Выполните действия:
( m 3 ) 7 ; ( k 4 ) 5 ; (2 2 ) 3; (3 2 ) 5 ; ( m 3 ) 2 ; ( a x ) y
На «4»
1.Представьте в виде степени произведение.
а) х 5 х 8 ; б) у 2 у 9 ; в) 2 6 · 2 4 ; г) m 2 m 5 m 4 ;
д) x 6 ∙ x 3 ∙ x 7 ; е) (–7) 3 ∙ (–7) 2 ∙ (–7) 9 .
2 . Представьте в виде степени частное:
а) x 8 : x 4 ; б) (–0,5) 10 : (–0,5) 8 ;
в) х 5 : х 3 ; г) у 10 : у 10 ; д) 2 6 : 2 4 ; е) ;
на «5»
1.Выполните действия:
а) а 4 · а · а 3 а б) (7 х ) 2 в) р · р 2 · р 0
г) с · с 3 · с д) т · т 4 · ( т 2 ) 2 · т 0
е) (2 3 ) 7 : (2 5 ) 3 ж) – х 3 · (– х ) 4
з) ( р 2 ) 4 : р 5 и)(3 4 ) 2 · (3 2 ) 3 : 3 11
2. Упростите:
а) x 3 · (x 2 ) 5 в) (a 2 ) 3 · (a 4 ) 2
б) (a 3 ) 2 · a 5 г) (x 2 ) 5 · (x 5 )
Самостоятельная работа
Выполняют задания в тетрадях
7. Итоги урока
Обобщение полученных на уроке сведений. Проверка работы, выставление оценок. Выявление трудностей, с которыми столкнулись на уроке
8. Рефлексия
Что произошло с понятием степени в XVII веке, мы с вами можем предсказать сами. Для этого попробуйте ответить на вопрос: можно ли число возвести в отрицательную степень или дробную? Но это предмет нашего будущего изучения.
Оценки за урок
Ребята, наш урок хочу закончить следующей притчей.
Притча. Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: “ Что ты делал целый день”. И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: “А что ты делал целый день”, и тот ответил: “А я добросовестно выполнял свою работу”. А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: “А я принимал участие в строительстве храма!”
Ребята, ответьте, а что вы делали сегодня на уроке? Только сделайте это в листе самооценки. Обведите кружком в каждом столбике то утверждение, которое относится к вам.
В листе самооценки нужно подчеркнуть фразы, характеризующие работу ученика на уроке по трем направлениям.
Наш урок закончен. Спасибо всем за работу на уроке!
Отвечают на вопросы
Оценивают свою работу на уроке.
Отмечают в карточке фразы, характеризующие их работу на уроке.
алгебра 7 класс
учитель математики
филиала МБОУТСОШ№1
в с.Полетаево Зуева И.П.
Полетаево 2016
Тема: « Свойства степени с натуральным показателем »
ЦЕЛЬ
- Повторение, обобщение и систематизирование изученного материала по теме «Свойства степени с натуральным показателем».
- Проверка знаний учащихся по данной теме.
- Применение полученных знаний при выполнении различных заданий.
ЗАДАЧИ
предметные :
повторить, обобщить и систематизировать знания по теме; создать условия контроля (взаимоконтроля) усвоения знаний и умений; продолжить формирование мотивации обучающихся к изучению предмета;
метапредметные:
развивать операционный стиль мышления; способствовать приобретению учащимися навыков общения при совместной работе; активизировать их творческое мышление; п родолжить формирование определенных компетенций обучающихся, которые будут способствовать их эффективной социализации; навыков самообразования и самовоспитания.
личностные:
воспитывать культуру, способствовать формированию личностных качеств, направленных на доброжелательное, толерантное отношение друг к другу, людям, жизни; воспитывать инициативу и самостоятельность в деятельности; подвести к пониманию необходимости изучаемой темы для успешной подготовки к государственной итоговой аттестации.
ТИП УРОКА
урок обобщения и систематизации ЗУН.
Оборудование: компьютер, проектор, экран для проецирования, доска, раздаточный материал.
Программное обеспечение: ОС Windows 7: MS Office 2007 (обязательно приложение - PowerPoint ).
Подготовительный этап:
презентация «Свойства степени с натуральным показателем»;
раздаточный материал;
зачетный лист.
Структура
Организационный момент. Постановка целей и задач урока - 3 минуты.
Актуализация, систематизация опорных знаний - 8 минут.
Практическая часть -28 минут.
Обобщение, вывод -3 минута.
Домашнее задание - 1 минута.
Рефлексия - 2 минуты .
Идея урока
Проверка в интересной и эффективной форме ЗУН обучающихся по данной теме.
Организация урока Урок проводится в 7 классе. Ребята работают в парах, самостоятельно, учитель выступает в роли консультанта-наблюдателя.
Ход урока
Организационный момент:
Здравствуйте, ребята! Сегодня у нас необычный урок-игра. Каждому из вас предоставляется прекрасная возможность проявить себя, показать свои знания. Возможно, во время урока вы раскроете в себе скрытые способности, которые вам пригодятся в дальнейшем.
У вас у каждого на столе лежат зачетный лист и карточки для выполнения в них заданий. Возьмите в руки зачетный лист, он нужен вам для того, чтобы вы сами оценили свои знания в течение урока. Подпишите его.
Итак, приглашаю вас на урок!
Ребята, посмотрите на экран и послушайте стихотворение.
Слайд №1
Умножать и делить
Степень в степень возводить…
Свойства эти нам знакомы
И давно уже не новы.
Пять несложных правил этих
Каждый в классе уж ответил
Но если свойства позабыл,
Считай, пример ты не решил!
А чтобы в школе жить без бед
Дам дельный я тебе совет:
Не хочешь правило забыть?
Попробуй просто заучить!
Ответьте на вопрос:
1) Какие действия в нем упоминаются?
2) Как вы думаете, о чем мы сегодня будем говорить на уроке?
Таким образом, тема нашего урока:
«Свойства степени с натуральным показателем» (Слайд3).
Постановка целей и задач урока
На уроке мы повторим, обобщим и приведем в систему изученный материал по теме «Свойства степени с натуральным показателем»
Посмотрим, как вы научились умножать и делить степени с одинаковыми основаниями, а также возводить степень в степень
Актуализация опорных знаний. Систематизация теоретического материала.
1) Устная работа
Поработаем устно
1)Сформулируйте свойства степени с натуральным показателем.
2)Заполните пробелы: (Слайд 4)
1)5 12 : 5 5 =5 7 2) 5 7 ∙ 5 17 = 5 24 3) 5 24 : 125= 5 21 4)(5 0 ) 2 ∙5 24 =5 24
5)5 12 ∙ 5 12 = (5 8 ) 3 6)(3 12 ) 2 = 3 24 7) 13 0 ∙ 13 64 = 13 64
3)Чему равно значение выражения: (Слайд5-9)
а m ∙ а n; (а m+n ) а m : a n (а m-n ) ; (a m ) n ; а 1; а 0 .
2) Проверка теоретической части (Карточка№1)
А сейчас возьмите в руки карточку №1 и заполните пропуски
1)Если показатель четное число, то значение степени всегда_______________
2)Если показатель нечетное число, то значение степени совпадает со знаком ____.
3)Произведение степеней
a
n
·
a
k
=
a
n
+
k
При умножении степеней с одинаковыми основаниями, надо основание ____________, а показатели степеней________.
4)Частное степеней
a
n
:
a
k
=
a
n
-
k
При делении степеней с одинаковыми основаниями, надо основание _____, а из показателя делимого ____________________________.
5)Возведение степени в степень (a
n
)
к
=
a
nk
При возведении степени в степень надо основание _______, а показатели степеней______.
Проверка ответов. (Слайды 10-13)
Основная часть
3) А сейчас открываем тетради, записываем число 28.01 14г, классная работа
Игра «Хлопушка » (Слайд 14)
Выполните задания в тетрадях самостоятельно
Выполните действия: а) х 11 ∙х∙х 2 б) х 14 : х 5 в) (а 4 ) 3 г) (-За) 2 .
Сравнить значение выражения с нулем: а)(- 5) 7 , б)(-6) 18 ,
в)(- 4) 11 . ( -4) 8 г)( - 5) 18 ∙ (- 5) 6 , д)-(- 4) 8 .
Вычислить значение выражения:
а)-1∙ 3 2 , б)(-1 ∙ 3) 2 в)1∙(-3) 2 , г) - (2 ∙ 3) 2 , д)1 2 ∙ (-3) 2
Проверяем, если ответ не правильный делаем один хлопок в ладоши.
Подсчитайте количество баллов и занесите их в зачетный лист.
4) А сейчас проведем гимнастику для глаз, снимем напряжение, и будем работать дальше. Внимательно следим за перемещением предметов
Начинаем! (Слайд 15,16,17,18).
5) А теперь приступим к следующему виду нашей работы. (Карточка2)
Запишите ответ в виде степени с основанием С и вы узнаете фамилию и имя великого французского математика, который первым ввел понятие степени числа.
Угадай фамилию ученого математика.
| 1. | С 5 ∙С 3 | 6. | С 7 : С 5 |
| 2. | С 8 : С 6 | 7. | (С 4 ) 3 ∙С |
| 3, | (С 4 ) 3 | 8. | С 4 ∙ С 5 ∙ С 0 |
| 4. | С 5 ∙С 3 : С 6 | 9. | С 16 : С 8 |
| 5. | С 14 ∙ С 8 | 10. | (С 3 ) 5 |
О твет: РЕНЕ ДЕКАРТ
| Р | Ш | М | Ю | К | Н | А | Т | Е | Д |
|||||
| С 8 | С 5 | С 1 | С 40 | С 13 | С 12 | С 9 | С 15 | С 2 | С 22 |
А сейчас послушаем сообщение ученика о «Рене Декарт»
Рене Декарт родился 21 марта 1596 года в маленьком городке Ла - Гэ в Турени. Род Декартов принадлежал к незнатному чиновному дворянству. Детство Рене провел в Турени. В 1612 году Декарт закончил школу. Он провел в ней восемь с половиной лет. Декарт далеко не сразу нашел свое место в жизни. Дворянин по происхождению, окончив коллеж в Ла - Флеше, он с головой окунается в светскую жизнь Парижа, затем бросает все ради занятий наукой. Декарт отводил математике особое место в своей системе, он считал ее принципы установления истины образцом для других наук. Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, сохранившихся до наших дней: латинских букв х, у, z для неизвестных; а, в, с - для коэффициентов, для степеней. Интересы Декарта не ограничиваются математикой, а включают механику, оптику, биологию. В 1649 г. Декарт после долгих колебаний переезжает в Швецию. Это решение оказалось для его здоровья роковым. Через полгода Декарт умер от пневмонии.
6) Работа у доски:
1. Решите уравнение
А) х 4 ∙ (х 5 ) 2 / х 20 : х 8 =49
Б) (t 7 ∙ t 17 ) : (t 0 ∙ t 21 )= -125
2. Вычислите значение выражения:
(5-x) 2 -2x 3 +3x 2 -4x+x-x 0
а) при x=-1
б) при x=2 Самостоятельно
7) Возьмите в руки карточку №3 выполните тест
| Вариант 1 | Вариант 2. |
| 1. Выполни деление степеней 2 17 : 2 5 2 12 2 45 2. Запиши в виде степени (х+у)(х+у)= х 2 +у 2 (х+у) 2 2(х+у) 3. Замени * степенью, чтобы выполнялось равенство а 5 · * =а 15 a 10 а 3 (а 7 ) 5 ? a ) а 12 b ) а 5 c ) а 35 3 = 8 15 8 12 6.Найди значение дроби | 1. Выполни деление степеней 9 9 : 9 7 9 16 9 63 2. Запиши в виде степени (х-у)(х-у)=… х 2 -у 2 (х-у) 2 2(х-у) 3. Замени * степенью, чтобы выполнялось равенство b 9 · * = b 18 b 17 b 1 1 4. Чему равно значение выражения (с 6 ) 4 ? a) с 10 b ) с 6 c ) с 24 5. Из предложенных вариантов выбери тот, которым можно заменить * в равенстве (*) 3 = 5 24 5 21 6.Найди значение дроби |
Проверьте друг у друга работу и поставьте оценку своим товарищам в зачетный лист.
| 1 вариант | а | б | б | с | б | 3 |
| 2 вариант | а | б | с | с | а | 4 |
Дополнительные задания для сильных обучающихся
Каждое задание оценивается отдельно.
Найти значение выражения:
8) А сейчас посмотрим результативность нашего урока ( Слайд 19 )
Для этого, выполняя задание вычеркните буквы, соответствующие ответам.
АОВСТЛКРИЧГНМО
Упростите выражение:
| 1. | С 4 ∙С 3 | 5. | (С 2 ) 3 ∙ С 5 |
| 2. | (С 5 ) 3 | 6. | С 6 ∙ С 5 : С 10 |
| 3. | С 11 : С 6 | 7. | (С 4 ) 3 ∙С 2 |
| 4. | С 5 ∙С 5 : С |
Шифр: А - С 7 В- С 15 Г - С И - С 30 К - С 9 М - С 14 Н - С 13 О - С 12 Р - С 11 С - С 5 Т - С 8 Ч - С 3
Какое слово у вас получилось? ОТВЕТ: ОТЛИЧНО! (Слайд 20)
Подведение итогов, оценивание, выставление отметок (Слайд 21)
Подведем итог нашего урока, на сколько успешно мы повторили, обобщили и систематизировали знания по теме « Свойства степени с натуральным показателем»
Берем зачетные листы и подсчитываем общее количество баллов и записываем их в строку итоговой оценки
Встаньте кто набрал 29-32 баллов: оценка -отлично
25-28 баллов: оценка -хорошо
20-24 баллов: оценка - удовлетворительно
Я еще раз проверю правильность выполнения заданий по карточкам, сверю ваши результаты с выставленными баллами в зачетном листе. Оценки поставлю в журнал
А за активную работу на уроке оценки:
Ребята прошу вас оценить свою деятельность на уроке. Отметка в листе настроения.
| Зачетный лист |
||
| Фамилия Имя | Оценка |
|
| 1.Теоретическая часть | ||
| 2.Игра «Хлопушка» | ||
| 3. Тест | ||
| 4. «Шифр» | ||
| Дополнительная часть | ||
| Итоговая оценка: | ||
| Эмоциональная оценка | О себе | Об уроке |
| Удовлетворен | ||
| Неудовлетворен | ||
Домашнее задание (Слайд 22)
Составьте кроссворд с ключевым словом СТЕПЕНЬ. На следующем уроке мы рассмотрим самые интересные работы.
№ 567
Список использованных источников
- Учебник «Алгебра 7 класс».
- Стихотворение. http://yandex.ru/yandsearch
- Н.Е. Щуркова. Культура современного урока. М.: Российское педагогическое агентство, 1997.
- А.В. Петров. Методологические и методические основы личностно-развивающего компьютерного образования. Волгоград. «Перемена», 2001.
- А.С. Белкин. Ситуация успеха. Как ее создать. М.: «Просвещение»,1991.
- Информатика и образование №3. Операционный стиль мышления, 2003
Загрузка...
