Метод главных компонент пример. Понятие главных компонент. Сингулярное разложение тензоров и тензорный метод главных компонент

Определение и свойства

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое texvc можно представить в показательной форме:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): z=r \cdot e^{i (\varphi + 2 \pi k)}\;\;, где Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k - произвольное целое число

Тогда Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln}\,z находится по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln}\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Здесь Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\,r= \ln\,|z| - вещественный логарифм. Отсюда вытекает:

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма . Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\,z . Иногда через Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln\, z также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): z - вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Re}(\ln(x+iy)) = \frac{1}{2} \ln(x^2+y^2)

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): -\infty.

Логарифм отрицательного числа находится по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln} (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1, \pm 2 \dots)

Примеры значений комплексного логарифма

Приведём главное значение логарифма (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln ) и общее его выражение (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \mathrm{Ln} ) для некоторых аргументов:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (1) = 0;\; \mathrm{Ln} (1) = 2k\pi i Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm{Ln} (-1) = (2k+1)i \pi Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (i) = i \frac{\pi} {2};\; \mathrm{Ln} (i) = i \frac{4k+1}{2} \pi

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2) = -i\pi - явная ошибка.

Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа - значение из нижележащей ветви (Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): k=-1 ). Причина ошибки - неосторожное использование свойства Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \log_a{(b^p)} = p~\log_a b , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc .

Аналитическое продолжение

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость . Пусть кривая Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): w кривой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma можно определить по формуле :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln z = \int\limits_\Gamma {du \over u}

Если Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma - простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости , кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 2\pi . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): (-\pi, \pi] . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \Gamma пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \frac{d}{dz} \ln z = {1\over z}

Для любой окружности Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): S , охватывающей точку Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): 0 :

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \oint\limits_S {dz \over z} = 2\pi i

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов .

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью рядов, известных для вещественного случая:

Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями

Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcsin} z = -i \operatorname{Ln} (i z + \sqrt{1-z^2}) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arccos} z = -i \operatorname{Ln} (z + i\sqrt{1-z^2}) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{1+z i}{1-z i} + k \pi \; (z \ne \pm i) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcctg} z = -\frac{i}{2} \ln \frac{z i-1}{z i+1} + k \pi \; (z \ne \pm i) Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arsh}z = \operatorname{Ln}(z+\sqrt{z^2+1}) - обратный гиперболический синус Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arch}z=\operatorname{Ln} \left(z+\sqrt{z^{2}-1} \right) - обратный гиперболический косинус Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) - обратный гиперболический тангенс Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \operatorname{Arcth}z=\frac{1}{2}\operatorname{Ln}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) - обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII-XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли , однако создать целостную теорию им не удалось - в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма . Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века - между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить Невозможно разобрать выражение (Выполняемый файл texvc не найден; См. math/README - справку по настройке.): \log(-x) = \log(x) , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число . Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747-1751 годах и по существу ничем не отличается от современной . Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

Напишите отзыв о статье "Комплексный логарифм"

Литература

Теория логарифмов

Корн Г., Корн Т. . - М .: Наука, 1973. - 720 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. - М .: Наука, 1967. - 304 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. - изд. 6-е. - М .: Наука, 1966. - 680 с.

История логарифмов

Математика XVIII столетия // / Под редакцией А. П. Юшкевича , в трёх томах. - М .: Наука, 1972. - Т. III.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. - М .: Наука, 1981. - Т. II.

Примечания

Логарифмическая функция. // . - М .: Советская Энциклопедия , 1982. - Т. 3.
, Том II, стр. 520-522..
, с. 623..
, с. 92-94..
, с. 45-46, 99-100..
Болтянский В. Г. , Ефремович В. А. . - М .: Наука, 1982. - С. 112. - (Библиотечка Квант, выпуск 21).
, Том II, стр. 522-526..
, с. 624..
, с. 325-328..
Рыбников К. А. История математики. В двух томах. - М .: Изд. МГУ, 1963. - Т. II. - С. 27, 230-231..
, с. 122-123..
Клейн Ф. . - М .: Наука, 1987. - Т. II. Геометрия. - С. 159-161. - 416 с.

Отрывок, характеризующий Комплексный логарифм

От охватившего нас дикого ужаса мы пулями неслись по широкой долине, даже не подумав о том, что могли бы быстренько уйти на другой «этаж»... У нас просто не было времени об этом подумать – мы слишком сильно перепугались.
Тварь летела прямо над нами, громко щёлкая своим разинутым зубастым клювом, а мы мчались, насколько хватало сил, разбрызгивая в стороны мерзкие слизистые брызги, и мысленно моля, чтобы что-то другое вдруг заинтересовало эту жуткую «чудо-птицу»... Чувствовалось, что она намного быстрее и оторваться от неё у нас просто не было никаких шансов. Как на зло, поблизости не росло ни одно дерево, не было ни кустов, ни даже камней, за которыми можно было бы скрыться, только в дали виднелась зловещая чёрная скала.
– Туда! – показывая пальчиком на ту же скалу, закричала Стелла.
Но вдруг, неожиданно, прямо перед нами откуда-то появилось существо, от вида которого у нас буквально застыла в жилах кровь... Оно возникло как бы «прямо из воздуха» и было по-настоящему ужасающим... Огромную чёрную тушу сплошь покрывали длинные жёсткие волосы, делая его похожим на пузатого медведя, только этот «медведь» был ростом с трёхэтажный дом... Бугристая голова чудовища «венчалась» двумя огромными изогнутыми рогами, а жуткую пасть украшала пара невероятно длинных, острых как ножи клыков, только посмотрев на которые, с перепугу подкашивались ноги... И тут, несказанно нас удивив, монстр легко подпрыгнул вверх и....подцепил летящую «гадость» на один из своих огромных клыков... Мы ошарашено застыли.
– Бежим!!! – завизжала Стелла. – Бежим, пока он «занят»!..
И мы уже готовы были снова нестись без оглядки, как вдруг за нашими спинами прозвучал тоненький голосок:
– Девочки, постойте!!! Не надо убегать!.. Дин спас вас, он не враг!
Мы резко обернулись – сзади стояла крохотная, очень красивая черноглазая девочка... и спокойно гладила подошедшее к ней чудовище!.. У нас от удивления глаза полезли на лоб... Это было невероятно! Уж точно – это был день сюрпризов!.. Девочка, глядя на нас, приветливо улыбалась, совершенно не боясь рядом стоящего мохнатого чудища.
– Пожалуйста, не бойтесь его. Он очень добрый. Мы увидели, что за вами гналась Овара и решили помочь. Дин молодчина, успел вовремя. Правда, мой хороший?
«Хороший» заурчал, что прозвучало как лёгкое землетрясение и, нагнув голову, лизнул девочку в лицо.
– А кто такая Овара, и почему она на нас напала? – спросила я.
– Она нападает на всех, она – хищник. И очень опасна, – спокойно ответила девчушка. – А можно спросить, что вы здесь делаете? Вы ведь не отсюда, девочки?
– Нет, не отсюда. Мы просто гуляли. Но такой же вопрос к тебе – а, что ты здесь делаешь?
Я к маме хожу... – погрустнела малышка. – Мы умерли вместе, но почему-то она попала сюда. И вот теперь я живу здесь, но я ей этого не говорю, потому что она никогда с этим не согласится. Она думает, что я только прихожу...
– А не лучше ли и вправду только приходить? Здесь ведь так ужасно!.. – передёрнула плечиками Стелла.
– Я не могу её оставить здесь одну, я за ней смотрю, чтобы с ней ничего не случилось. И вот Дин со мной... Он мне помогает.
Я просто не могла этому поверить... Эта малюсенькая храбрая девчушка добровольно ушла со своего красивого и доброго «этажа», чтобы жить в этом холодном, ужасном и чужом мире, защищая свою, чем-то сильно «провинившуюся», мать! Не много, думаю, нашлось бы столь храбрых и самоотверженных (даже взрослых!) людей, которые решились бы на подобный подвиг... И я тут же подумала – может, она просто не понимала, на что собиралась себя обречь?!
– А как давно ты здесь, девочка, если не секрет?
– Недавно... – грустно ответила, теребя пальчиками чёрный локон своих кудрявых волос, черноглазая малышка. – Я попала в такой красивый мир, когда умерла!.. Он был таким добрым и светлым!.. А потом я увидела, что мамы со мной нет и кинулась её искать. Сначала было так страшно! Её почему-то нигде не было... И вот тогда я провалилась в этот ужасный мир... И тут её нашла. Мне было так жутко здесь... Так одиноко... Мама велела мне уходить, даже ругала. Но я не могу её оставить... Теперь у меня появился друг, мой добрый Дин, и я уже могу здесь как-то существовать.
Её «добрый друг» опять зарычал, от чего у нас со Стеллой поползли огромные «нижнеастральные» мурашки... Собравшись, я попыталась немного успокоиться, и начала присматриваться к этому мохнатому чуду... А он, сразу же почувствовав, что на него обратили внимание, жутко оскалил свою клыкастую пасть... Я отскочила.
– Ой, не бойтесь пожалуйста! Это он вам улыбается, – «успокоила» девчушка.
Да уж... От такой улыбки быстро бегать научишься... – про себя подумала я.
– А как же случилось, что ты с ним подружилась? – спросила Стелла.
– Когда я только сюда пришла, мне было очень страшно, особенно, когда нападали такие чудища, как на вас сегодня. И вот однажды, когда я уже чуть не погибла, Дин спас меня от целой кучи жутких летающих «птиц». Я его тоже испугалась вначале, но потом поняла, какое у него золотое сердце... Он самый лучший друг! У меня таких никогда не было, даже когда я жила на Земле.
– А как же ты к нему так быстро привыкла? У него внешность ведь не совсем, скажем так, привычная...
– А я поняла здесь одну очень простую истину, которую на Земле почему-то и не замечала – внешность не имеет значения, если у человека или существа доброе сердце... Моя мама была очень красивой, но временами и очень злой тоже. И тогда вся её красота куда-то пропадала... А Дин, хоть и страшный, но зато, всегда очень добрый, и всегда меня защищает, я чувствую его добро и не боюсь ничего. А к внешности можно привыкнуть...
– А ты знаешь, что ты будешь здесь очень долго, намного дольше, чем люди живут на Земле? Неужели ты хочешь здесь остаться?..
– Здесь моя мама, значит, я должна ей помочь. А когда она «уйдёт», чтобы снова жить на Земле – я тоже уйду... Туда, где добра побольше. В этом страшном мире и люди очень странные – как будто они и не живут вообще. Почему так? Вы что-то об этом знаете?
– А кто тебе сказал, что твоя мама уйдёт, чтобы снова жить? – заинтересовалась Стелла.
– Дин, конечно. Он многое знает, он ведь очень долго здесь живёт. А ещё он сказал, что когда мы (я и мама) снова будем жить, у нас семьи будут уже другие. И тогда у меня уже не будет этой мамы... Вот потому я и хочу с ней сейчас побыть.
– А как ты с ним говоришь, со своим Дином? – спросила Стелла. – И почему ты не желаешь нам сказать своё имя?
А ведь и правда – мы до сих пор не знали, как её зовут! И откуда она – тоже не знали...
– Меня звали Мария... Но разве здесь это имеет значение?
– Ну, конечно же! – рассмеялась Стелла. – А как же с тобой общаться? Вот когда уйдёшь – там тебе новое имя нарекут, а пока ты здесь, придётся жить со старым. А ты здесь с кем-то ещё говорила, девочка Мария? – по привычке перескакивая с темы на тему, спросила Стелла.
– Да, общалась... – неуверенно произнесла малышка. – Но они здесь такие странные. И такие несчастные... Почему они такие несчастные?
– А разве то, что ты здесь видишь, располагает к счастью? – удивилась её вопросу я. – Даже сама здешняя «реальность», заранее убивает любые надежды!.. Как же здесь можно быть счастливым?
– Не знаю. Когда я с мамой, мне кажется, я и здесь могла бы быть счастливой... Правда, здесь очень страшно, и ей здесь очень не нравится... Когда я сказала, что согласна с ней остаться, она на меня сильно накричала и сказала, что я её «безмозглое несчастье»... Но я не обижаюсь... Я знаю, что ей просто страшно. Так же, как и мне...
– Возможно, она просто хотела тебя уберечь от твоего «экстремального» решения, и хотела, только лишь, чтобы ты пошла обратно на свой «этаж»? – осторожно, чтобы не обидеть, спросила Стелла.
– Нет, конечно же... Но спасибо вам за хорошие слова. Мама часто называла меня не совсем хорошими именами, даже на Земле... Но я знаю, что это не со злости. Она просто была несчастной оттого, что я родилась, и часто мне говорила, что я разрушила ей жизнь. Но это ведь не была моя вина, правда же? Я всегда старалась сделать её счастливой, но почему-то мне это не очень-то удавалось... А папы у меня никогда не было. – Мария была очень печальной, и голосок у неё дрожал, как будто она вот-вот заплачет.
Мы со Стеллой переглянулись, и я была почти уверенна, что её посетили схожие мысли... Мне уже сейчас очень не нравилась эта избалованная, эгоистичная «мама», которая вместо того, чтобы самой беспокоиться о своём ребёнке, его же героическую жертву совершенно не понимала и, в придачу, ещё больно обижала.
– А вот Дин говорит, что я хорошая, и что я делаю его очень счастливым! – уже веселее пролепетала малышка. – И он хочет со мной дружить. А другие, кого я здесь встречала, очень холодные и безразличные, а иногда даже и злые... Особенно те, у кого монстры прицеплены...
– Монстры – что?.. – не поняли мы.
– Ну, у них страшенные чудища на спинах сидят, и говорят им, что они должны делать. А если те не слушают – чудища над ними страшно издеваются... Я попробовала поговорить с ними, но эти монстры не разрешают.
Мы абсолютно ничего из этого «объяснения» не поняли, но сам факт, что какие-то астральные существа истязают людей, не мог остаться нами не «исследованным», поэтому, мы тут же её спросили, как мы можем это удивительное явление увидеть.
– О, да везде! Особенно у «чёрной горы». Во-он там, за деревьями. Хотите, мы тоже с вами пойдём?
– Конечно, мы только рады будем! – сразу же ответила обрадованная Стелла.
Мне тоже, если честно, не очень-то улыбалась перспектива встречаться с кем-то ещё, «жутким и непонятным», особенно в одиночку. Но интерес перебарывал страх, и мы, конечно же, пошли бы, несмотря на то, что немного побаивались... Но когда с нами шёл такой защитник как Дин – сразу же становилось веселее...
И вот, через короткое мгновение, перед нашими широко распахнутыми от изумления глазами развернулся настоящий Ад... Видение напоминало картины Боша (или Боска, в зависимости от того, на каком языке переводить), «сумасшедшего» художника, который потряс однажды своим искусством весь мир... Сумасшедшим он, конечно же, не был, а являлся просто видящим, который почему-то мог видеть только нижний Астрал. Но надо отдать ему должное – изображал он его великолепно... Я видела его картины в книге, которая была в библиотеке моего папы, и до сих пор помнила то жуткое ощущение, которое несли в себе большинство из его картин...
– Ужас какой!.. – прошептала потрясённая Стелла.
Можно, наверное, было бы сказать, что мы видели здесь, на «этажах», уже многое... Но такого даже мы не в состоянии были вообразить в самом жутком нашем кошмаре!.. За «чёрной скалой» открылось что-то совершенно немыслимое... Это было похоже на огромный, выбитый в скале, плоский «котёл», на дне которого пузырилась багровая «лава»... Раскалённый воздух «лопался» повсюду странными вспыхивающими красноватыми пузырями, из которых вырывался обжигающий пар и крупными каплями падал на землю, или на попавших в тот момент под него людей... Раздавались душераздирающие крики, но тут же смолкали, так как на спинах тех же людей восседали омерзительнейшие твари, которые с довольным видом «управляли» своими жертвами, не обращая ни малейшего внимания на их страдания... Под обнажёнными ступнями людей краснели раскалённые камни, пузырилась и «плавилась» пышущая жаром багровая земля... Сквозь огромные трещины прорывались выплески горячего пара и, обжигая ступни рыдающим от боли людским сущностям, уносились в высь, испаряясь лёгким дымком... А по самой середине «котлована» протекала ярко красная, широкая огненная река, в которую, время от времени, те же омерзительные монстры неожиданно швыряли ту или иную измученную сущность, которая, падая, вызывала лишь короткий всплеск оранжевых искр, и тут же, превратившись на мгновение в пушистое белое облачко, исчезала... уже навсегда... Это был настоящий Ад, и нам со Стеллой захотелось как можно скорее оттуда «исчезнуть»...
– Что будем делать?.. – в тихом ужасе прошептала Стелла. – Ты хочешь туда спускаться? Разве мы чем-то можем им помочь? Посмотри, как их много!..
Мы стояли на чёрно-буром, высушенном жаром обрыве, наблюдая простиравшееся внизу, залитое ужасом «месиво» боли, безысходности, и насилия, и чувствовали себя настолько по-детски бессильными, что даже моя воинственная Стелла на этот раз безапелляционно сложила свои взъерошенные «крылышки» и готова была по первому же зову умчаться на свой, такой родной и надёжный, верхний «этаж»...

Вещественный логарифм

Логарифм вещественного числа log a b имеет смысл при style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов.

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию , например: . Эта функция определена в правой части числовой прямой: x > 0 , непрерывна и дифференцируема там (см. рис. 1).

Свойства

Натуральные логарифмы

При справедливо равенство

(1)

В частности,

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа.

Связь с десятичным логарифмом: .

Десятичные логарифмы

Рис. 2. Логарифмическая шкала

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg a ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Неравномерная шкала десятичных логарифмов обычно наносится и на логарифмические линейки . Подобная шкала широко используется в различных областях науки, например:

Химия - активность водородных ионов ().
Теория музыки - нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков.

Логарифмическая шкала также широко применяется для выявления показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Комплексный логарифм

Многозначная функция

Риманова поверхность

Комплексная логарифмическая функция - пример римановой поверхности ; её мнимая часть (рис. 3) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных наподобие спирали. Эта поверхность односвязна ; её единственный нуль (первого порядка) получается при z = 1 , особые точки: z = 0 и (точки разветвления бесконечного порядка).

Риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей для комплексной плоскости без точки 0 .

Исторический очерк

Вещественный логарифм

Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание. Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra » Михаэль Штифель , который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для реализации своей идеи.

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку , до появления карманных калькуляторов - незаменимый инструмент инженера.

Близкое к современному понимание логарифмирования - как операции, обратной возведению в степень - впервые появилось у Валлиса и Иоганна Бернулли , а окончательно было узаконено Эйлером в XVIII веке. В книге «Введение в анализ бесконечных» () Эйлер дал современные определения как показательной , так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма.

Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Комплексный логарифм

Хотя спор продолжался (Даламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), однако точка зрения Эйлера быстро получила всеобщее признание.

Логарифмические таблицы

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам выполнить потенцирование , то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов «продлило жизнь астрономов», многократно ускорив процесс вычислений.

При переносе десятичной запятой в числе на n разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на n . Например, lg8314,63 = lg8,31463 + 3 . Отсюда следует, что достаточно составить таблицу десятичных логарифмов для чисел в диапазоне от 1 до 10.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Иост Бюрги, друг Кеплера (). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже - с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Вега () появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремивера).

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого . В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов.

Брадис В. М. Четырехзначные математические таблицы. 44-е издание, М., 1973.

Исходной для анализа является матрица данных

размерности
, i-я строка которой характеризует i-е наблюдение (объект) по всем k показателям
. Исходные данные нормируются, для чего вычисляются средние значения показателей
, а также значения стандартных отклонений
. Тогда матрица нормированных значений

с элементами

Рассчитывается матрица парных коэффициентов корреляции:

На главной диагонали матрицы расположены единичные элементы
.

Модель компонентного анализа строится путем представления исходных нормированных данных в виде линейной комбинации главных компонент:

где - «вес», т.е. факторная нагрузка-й главной компоненты на-ю переменную;

-значение -й главной компоненты для-го наблюдения (объекта), где
.

В матричной форме модель имеет вид

здесь
- матрица главных компонент размерности
,

- матрица факторных нагрузок той же размерности.

Матрица
описываетнаблюдений в пространствеглавных компонент. При этом элементы матрицы
нормированы, a главные компоненты не коррелированы между собой. Из этого следует, что
, где– единичная матрица размерности
.

Элемент матрицыхарактеризует тесноту линейной связи между исходной переменнойи главной компонентой, следовательно, принимает значения
.

Корреляционная матрица может быть выражена через матрицу факторных нагрузок.

По главной диагонали корреляционной матрицы располагаются единицы и по аналогии с ковариационной матрицей они представляют собой дисперсии используемых -признаков, но в отличие от последней, вследствие нормировки, эти дисперсии равны 1. Суммарная дисперсия всей системы-признаков в выборочной совокупности объема
равна сумме этих единиц, т.е. равна следу корреляционной матрицы
.

Корреляционная матриц может быть преобразована в диагональную, то есть матрицу, все значения которой, кроме диагональных, равны нулю:

где
- диагональная матрица, на главной диагонали которой находятся собственные числакорреляционной матрицы,- матрица, столбцы которой – собственные вектора корреляционной матрицы. Так как матрица R положительно определена, т.е. ее главные миноры положительны, то все собственные значения
для любых
.

Собственные значения находятся как корни характеристического уравнения

Собственный вектор , соответствующий собственному значениюкорреляционной матрицы, определяется как отличное от нуля решение уравнения

Нормированный собственный вектор равен

Превращение в нуль недиагональных членов означает, что признаки становятся независимыми друг от друга (
при
).

Суммарная дисперсия всей системы переменных в выборочной совокупности остается прежней. Однако её значения перераспределяется. Процедура нахождения значений этих дисперсий представляет собой нахождение собственных значенийкорреляционной матрицы для каждого из-признаков. Сумма этих собственных значений
равна следу корреляционной матрицы, т.е.
, то есть количеству переменных. Эти собственные значения и есть величины дисперсии признаков
в условиях, если бы признаки были бы независимыми друг от друга.

В методе главных компонент сначала по исходным данным рассчитывается корреляционная матрица. Затем производят её ортогональное преобразование и посредством этого находят факторные нагрузки для всехпеременных и
факторов (матрицу факторных нагрузок), собственные значенияи определяют веса факторов.

Матрицу факторных нагрузок А можно определить как
, а-й столбец матрицы А - как
.

Вес факторов
или
отражает долю в общей дисперсии, вносимую данным фактором.

Факторные нагрузки изменяются от –1 до +1 и являются аналогом коэффициентов корреляции. В матрице факторных нагрузок необходимо выделить значимые и незначимые нагрузки с помощью критерия Стьюдента
.

Сумма квадратов нагрузок -го фактора во всех-признаках равна собственному значению данного фактора
. Тогда
-вклад i-ой переменной в % в формировании j-го фактора.

Сумма квадратов всех факторных нагрузок по строке равна единице, полной дисперсии одной переменной, а всех факторов по всем переменным равна суммарной дисперсии (т.е. следу или порядку корреляционной матрицы, или сумме её собственных значений)
.

В общем виде факторная структура i–го признака представляется в форме
, в которую включаются лишь значимые нагрузки. Используя матрицу факторных нагрузок можно вычислить значения всех факторов для каждого наблюдения исходной выборочной совокупности по формуле:

где – значение j-ого фактора у t-ого наблюдения,-стандартизированное значение i–ого признака у t-ого наблюдения исходной выборки;–факторная нагрузка,–собственное значение, отвечающее фактору j. Эти вычисленные значенияшироко используются для графического представления результатов факторного анализа.

По матрице факторных нагрузок может быть восстановлена корреляционная матрица:
.

Часть дисперсии переменной, объясняемая главными компонентами, называется общностью

где - номер переменной, а-номер главной компоненты. Восстановленные только по главным компонентам коэффициенты корреляции будут меньше исходных по абсолютной величине, а на диагонали будут не 1, а величины общностей.

Удельный вклад -й главной компоненты определяется по формуле

Суммарный вклад учитываемых
главных компонент определяется из выражения

Обычно для анализа используют
первых главных компонент, вклад которых в суммарную дисперсию превышает 60-70%.

Матрица факторных нагрузок А используется для интерпретации главных компонент, при этом обычно рассматриваются те значения, которые превышают 0,5.

Значения главных компонент задаются матрицей

Метод главных компонент (PCA - Principal component analysis) - один из основных способов уменьшить размерность данных при наименьшей потере сведений. Изобретенный в 1901 г. Карлом Пирсоном он широко применяется во многих областях. Например, для сжатия данных, «компьютерного зрения», распознавания видимых образов и т.д. Вычисление главных компонент сводится к вычислению собственных векторов и собственных значений ковариационной матрицы исходных данных. Метод главных компонент часто называют преобразованием Кархунена-Лёве (Karhunen-Loeve transform) или преобразованием Хотеллинга (Hotelling transform). Также над этим вопросом работали математики Косамби (1943 г.), Пугачёв (1953 г.) и Обухова (1954 г.).

Задача анализа главных компонент имеет своей целью аппроксимировать (приблизить) данные линейными многообразиями меньшей размерности; найти подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые разброс данных (то есть среднеквадратичное отклонение от среднего значения) максимален; найти подпространства меньшей размерности, в ортогональной проекции на которые среднеквадратичное расстояние между точками максимально. В этом случае оперируют конечными множествами данных. Они эквивалентны и не используют никакой гипотезы о статистическом порождении данных.

Кроме того задачей анализа главных компонент может быть цель построить для данной многомерной случайной величины такое ортогональное преобразование координат, что в результате корреляции между отдельными координатами обратятся в ноль. Эта версия оперирует случайными величинами.

Рис.3

На приведённом выше рисунке даны точки P i на плоскости, p i - расстояние от P i до прямой AB. Ищется прямая AB, минимизирующая сумму

Метод главных компонент начинался с задачи наилучшей аппроксимации (приближения) конечного множества точек прямыми и плоскостями. Например, дано конечное множество векторов. Для каждого k = 0,1,...,n ? 1 среди всех k-мерных линейных многообразий в найти такое, что сумма квадратов уклонений x i от L k минимальна:

где? евклидово расстояние от точки до линейного многообразия.

Всякое k-мерное линейное многообразие в может быть задано как множество линейных комбинаций, где параметры в i пробегают вещественную прямую, а? ортонормированный набор векторов

где евклидова норма, ? евклидово скалярное произведение, или в координатной форме:

Решение задачи аппроксимации для k = 0,1,...,n ? 1 даётся набором вложенных линейных многообразий

Эти линейные многообразия определяются ортонормированным набором векторов (векторами главных компонент) и вектором a 0 . Вектор a 0 ищется, как решение задачи минимизации для L 0:

В итоге получается выборочное среднее:

Французский математик Морис Фреше Фреше Морис Рене (Frйchet Maurice Renй) (02.09.1878 г. - 04.06.1973 г.) - выдающийся французский математик. Трудился в области топологии и функционального анализа, теории вероятностей. Автор современных понятий о метрическом пространстве, компактности и полноте. Авт. в 1948 году обратил внимание, что вариационное определение среднего, как точки, минимизирующей сумму квадратов расстояний до точек данных, очень удобно для построения статистики в произвольном метрическом пространстве, и построил обобщение классической статистики для общих пространств, получившее название обобщённого метода наименьших квадратов.

Векторы главных компонент могут быть найдены как решения однотипных задач оптимизации:

1) централизуем данные (вычитаем среднее):

2) находим первую главную компоненту как решение задачи;

3) Вычитаем из данных проекцию на первую главную компоненту:

4) находим вторую главную компоненту как решение задачи

Если решение не единственно, то выбираем одно из них.

2k-1) Вычитаем проекцию на (k ? 1)-ю главную компоненту (напомним, что проекции на предшествующие (k ? 2) главные компоненты уже вычтены):

2k) находим k-ю главную компоненту как решение задачи:

Если решение не единственно, то выбираем одно из них.

Рис. 4

Первая главная компонента максимизирует выборочную дисперсию проекции данных.

Например, пусть нам дан центрированный набор векторов данных, где среднее арифметическое значение x i равно нулю. Задача? найти такое отртогональное преобразование в новую систему координат, для которого были бы верны следующие условия:

1. Выборочная дисперсия данных вдоль первой координаты (главной компоненты) максимальна;

2. Выборочная дисперсия данных вдоль второй координаты (вторая главная компоненты) максимальна при условии ортогональности первой координате;

3. Выборочная дисперсия данных вдоль значений k-ой координаты максимальна при условии ортогональности первым k ? 1 координатам;

Выборочная дисперсия данных вдоль направления, заданного нормированным вектором a k , это

(поскольку данные центрированы, выборочная дисперсия здесь совпадает со средним квадратом уклонения от нуля).

Решение задачи о наилучшей аппроксимации даёт то же множество главных компонент, что и поиск ортогональных проекций с наибольшим рассеянием, по очень простой причине:

и первое слагаемое не зависит от a k .

Матрица преобразования данных к главным компонентам строится из векторов «A» главных компонент:

Здесь a i -- ортонормированные векторы-столбцы главных компонент, расположенные в порядке убывания собственных значений, верхний индекс T означает транспонирование. Матрица A является ортогональной: AA T = 1.

После преобразования большая часть вариации данных будет сосредоточена в первых координатах, что даёт возможность отбросить оставшиеся и рассмотреть пространство уменьшенной размерности.

Самым старым методом отбора главных компонент является правило Кайзера , Кайзер Иоганн Генрих Густав (Kaiser Johann Henrich Gustav, 16.03.1853 г., г.Брезно, Пруссия - 14.10.1940 г., Германия) - выдающийся немецкий математик, физик, исследователь в области спектрального анализа. Авт. по которому значимы те главные компоненты, для которых

то есть л i превосходит среднее значение л (среднюю выборочную дисперсию координат вектора данных). Правило Кайзера хорошо работает в простых случаях, когда есть несколько главных компонент с л i , намного превосходящими среднее значение, а остальные собственные числа меньше него. В более сложных случаях оно может давать слишком много значимых главных компонент. Если данные нормированы на единичную выборочную дисперсию по осям, то правило Кайзера приобретает особо простой вид: значимы только те главные компоненты, для которых л i > 1.

Одним из наиболее популярных эвристических подходов к оценке числа необходимых главных компонент является правило сломанной трости , когда набор нормированных на единичную сумму собственных чисел (, i = 1,...n) сравнивается с распределением длин обломков трости единичной длины, сломанной в n ? 1-й случайно выбранной точке (точки разлома выбираются независимо и равнораспределены по длине трости). Если L i (i = 1,...n) - длины полученных кусков трости, занумерованные в порядке убывания длины: , тогда математическое ожидание L i:

Разберём пример, заключающийся в оценке числа главных компонент по правилу сломанной трости в размерности 5.

Рис. 5.

По правилу сломанной трости k-й собственный вектор (в порядке убывания собственных чисел л i) сохраняется в списке главных компонент, если

На рисунке выше приведён пример для 5-мерного случая:

l 1 =(1+1/2+1/3+1/4+1/5)/5; l 2 =(1/2+1/3+1/4+1/5)/5; l 3 =(1/3+1/4+1/5)/5;

l 4 =(1/4+1/5)/5; l 5 =(1/5)/5.

Для примера выбрано

0.5; =0.3; =0.1; =0.06; =0.04.

По правилу сломанной трости в этом примере следует оставлять 2 главных компоненты:

Следует только иметь в ввиду, что правило сломанной трости имеет тенденцию занижать количество значимых главных компонент.

После проецирования на первые k главных компонент с удобно произвести нормировку на единичную (выборочную) дисперсию по осям. Дисперсия вдоль iй главной компоненты равна), поэтому для нормировки надо разделить соответствующую координату на. Это преобразование не является ортогональным и не сохраняет скалярного произведения. Ковариационная матрица проекции данных после нормировки становится единичной, проекции на любые два ортогональных направления становятся независимыми величинами, а любой ортонормированный базис становится базисом главных компонент (напомним, что нормировка меняет отношение ортогональности векторов). Отображение из пространства исходных данных на первые k главных компонент вместе с нормировкой задается матрицей

Именно это преобразование чаще всего называется преобразованием Кархунена-Лоэва, то есть собственно методом главных компонент. Здесь a i -- векторы-столбцы, а верхний индекс T означает транспонирование.

В статистике при использовании метода главных компонент используют несколько специальных терминов.

Матрица данных , где каждая строка - вектор предобработанных данных (центрированных и правильно нормированных), число строк - m (количество векторов данных), число столбцов - n (размерность пространства данных);

Матрица нагрузок (Loadings) , где каждый столбец - вектор главных компонент, число строк -- n (размерность пространства данных), число столбцов - k (количество векторов главных компонент, выбранных для проецирования);

Матрица счетов (Scores)

где каждая строка - проекция вектора данных на k главных компонент; число строк - m (количество векторов данных), число столбцов - k (количество векторов главных компонент, выбранных для проецирования);

Матрица Z-счетов (Z-scores)

где каждая строка-- проекция вектора данных на k главных компонент, нормированная на единичную выборочную дисперсию; число строк - m (количество векторов данных), число столбцов - k (количество векторов главных компонент, выбранных для проецирования);

Матрица ошибок (остатков ) (Errors or residuals)

Основная формула:

Таким образом, Метод главных компонент, один из основных методов математической статистики. Основным предназначением его является разграничение между необходимостью исследования массивов данных при минимуме их использования.