Числовая последовательность.
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательность
x1, х2, …, хn = {xn}
Общий элемент последовательности является функцией от n.
Таким образом последовательность может рассматриваться как функция.
Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.
Пример. {xn} = {(-1)n} или {xn} = -1; 1; -1; 1; …
{xn} = {sinpn/2} или {xn} = 1; 0; 1; 0; …
Для последовательностей можно определить следующие операции :
1) Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т. е. mx1, mx2, …
2) Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}.
3) Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}.
4) Частное последовательностей: https://pandia.ru/text/78/342/images/image002_181.gif" width="59" height="27 src=">
т. е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).
Определение. ограниченной сверху
Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу , если для любого n существует такое число М, что
Пример. {xn} = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.
Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:
https://pandia.ru/text/78/342/images/image004_113.gif" width="67" height="44 src=">.
Пусть при n > N верно https://pandia.ru/text/78/342/images/image006_83.gif" width="41" height="41">. Это верно при , таким образом, если за N взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.
Пример.
Показать, что при n®¥ последовательность 3, 
имеет пределом число 2.
Итого: {xn}= 2 + 1/n; 1/n = xn – 2
Очевидно, что существует такое число n, что https://pandia.ru/text/78/342/images/image011_52.gif" width="76" height="85 src=">
Запишем выражение:
А т. к. e - любое число, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image014_41.gif" width="61" height="27">.
Доказательство. Из xn ® a следует, что . В то же время:
https://pandia.ru/text/78/342/images/image017_33.gif" width="83" height="29"> , т. е. . Теорема доказана.
Теорема. Если xn ® a , то последовательность { xn } ограничена.
Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т. е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.
Например, последовательность
не имеет предела, хотя
Монотонные последовательности.
Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая.
2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая.
3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая.
4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая
Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .
Пример. {xn} = 1/n – убывающая и ограниченная
{xn} = n – возрастающая и неограниченная.
Пример. Доказать, что последовательность {xn}=https://pandia.ru/text/78/342/images/image021_30.gif" width="127" height="41 src=">
Найдем знак разности: {xn}-{xn+1}= https://pandia.ru/text/78/342/images/image023_24.gif" width="143" height="44 src=">, т. к. nÎN, то знаменатель положительный при любом n.
Таким образом, xn+1 > xn. Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.
Пример. Выяснить является возрастающей или убывающей последовательность
Найдем . Найдем разность 
Т. к. nÎN, то 1 – 4n <0, т. е. хn+1 < xn. Последовательность монотонно убывает.
Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.
Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.
Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность
х1 £ х2 £ х3 £ … £ хn £ xn+1 £ …
Эта последовательность ограничена сверху: xn £ M, где М – некоторое число.
Т. к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого e>0 существует такое число N, что xN > a - e, где а – некоторая верхняя грань множества.
Т. к. {xn}- неубывающая последовательность, то при N > n а - e < xN £ xn,
Отсюда a - e < xn < a + e
E < xn – a < e или ôxn - aô< e, т. е. lim xn = a.
Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.
Теорема доказана.
Число е.
Рассмотрим последовательность {xn} = .
Если последовательность {xn} монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.
По формуле бинома Ньютона:
или, что то же самое
https://pandia.ru/text/78/342/images/image031_19.gif" width="633" height="93 src="> Каждое слагаемое в выражении xn+1 больше соответствующего значения xn, и, кроме того, у xn+1 добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность {xn} возрастающая.
Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: xn < 3.
https://pandia.ru/text/78/342/images/image033_17.gif" width="76" height="56">- монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т. е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е.
https://pandia.ru/text/78/342/images/image035_15.gif" width="83" height="49"> следует, что е £ 3. Отбрасывая в равенстве для {xn} все члены, начиная с четвертого, имеем:
https://pandia.ru/text/78/342/images/image037_13.gif" width="99" height="41 src=">
Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е.
Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828…
Аналогично можно показать, что 
, расширив требования к х до любого действительного числа:
Предположим:
https://pandia.ru/text/78/342/images/image041_12.gif" width="152" height="41 src=">
https://pandia.ru/text/78/342/images/image043_11.gif" width="484" height="49">
Число е является основанием натурального логарифма.
https://pandia.ru/text/78/342/images/image045_9.gif" width="202" height="188 src=">
https://pandia.ru/text/78/342/images/image047_9.gif" width="253 height=41" height="41">, где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.
Предел функции в точке.
y f(x)
0 a - D a a + D x
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки х = а (т. е. в самой точке х = а функция может быть и не определена)
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®а, если для любого e>0 существует такое число D>0, что для всех х таких, что
0 < ïx - aï < D
верно неравенство ïf(x) - Aï< e.
То же определение может быть записано в другом виде:
Если а - D < x < a + D, x ¹ a, то верно неравенство А - e < f(x) < A + e.
Запись предела функции в точке:
Определение. Если f(x) ® A1 при х ® а только при x < a, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image051_7.gif" width="101" height="29 src="> называется пределом функции f(x) в точке х = а справа .
у
Приведенное выше определение относится к случаю, когда функция f(x) не определена в самой точке х = а, но определена в некоторой сколь угодно малой окрестности этой точки.
Пределы А1 и А2 называются также односторонними пределами функции f(x) в точке х = а. Также говорят, что А – конечный предел функции f(x).
Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.
Определение. Число А называется пределом функции f(x) при х®¥, если для любого числа e>0 существует такое число М>0, что для всех х, ïхï>M выполняется неравенство
https://pandia.ru/text/78/342/images/image054_9.gif" width="89" height="29 src=">
Графически можно представить:
 |
y y
 |
Аналогично можно определить пределы https://pandia.ru/text/78/342/images/image065_7.gif" width="92" height="29"> для любого х Основные теоремы о пределах.
Теорема 1.
, где С = const. Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при х®а. Теорема 2.
Доказательство этой теоремы будет приведено ниже. Теорема 3.
Следствие.
https://pandia.ru/text/78/342/images/image070_5.gif" width="135" height="57"> при Теорема 5.
Если
f
(x
)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.
Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x) ³ 0, f(x) £ 0. Теорема 6.
Если
g
(x
)
£
f
(x
)
£
u
(x
) вблизи точки х = а и https://pandia.ru/text/78/342/images/image073_5.gif" width="53" height="29 src=">.
Определение.
Функция f(x) называется ограниченной
вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что ïf(x)ï Теорема 7.
Если функция
f
(x
) имеет конечный предел при х
®
а, то она ограничена вблизи точки х = а.
Доказательство.
Пусть , т. е. , тогда https://pandia.ru/text/78/342/images/image076_5.gif" width="96" height="27 src=">, т. е. https://pandia.ru/text/78/342/images/image078_6.gif" width="84" height="29">. Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Пример.
Функция f(x) = xn является бесконечно малой при х®0 и не является бесконечно малой при х®1, т. к. . Теорема.
Для того, чтобы функция
f
(x
) при х
®
а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие
f
(x
) =
A
+
a
(x
),
где
a
(х) – бесконечно малая при х
®
а (a
(х)
®
0 при х
®
а).
Свойства бесконечно малых функций:
1) Сумма фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 2) Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х®а тоже бесконечно малая функция при х®а. 3) Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х®а. 4) Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая. Используя понятие бесконечно малых функций, приведем доказательство некоторых теорем о пределах, приведенных выше. Доказательство теоремы 2.
Представим f(x) = A + a(x), g(x) = B + b(x), где f(x) ± g(x) = (A + B) + a(x) + b(x) A + B = const, a(х) + b(х) – бесконечно малая, значит https://pandia.ru/text/78/342/images/image080_5.gif" width="185" height="29">, тогда https://pandia.ru/text/78/342/images/image083_5.gif" width="369" height="29 src="> Теорема доказана. бесконечно малыми.
Определение.
Предел функции f(x) при х®а, где а - число, равен бесконечности
, если для любого числа М>0 существует такое число D>0, что неравенство выполняется при всех х, удовлетворяющих условию 0 < ïx - aï < D Записывается https://pandia.ru/text/78/342/images/image085_4.gif" width="100" height="29 src="> а если заменить на f(x) Определение.
Функция называется бесконечно большой
при х®а, где а – чосли или одна из величин ¥, +¥ или -¥, если https://pandia.ru/text/78/342/images/image088_5.gif" width="100" height="44 src="> Сравнение бесконечно малых функций.
Пусть a(х), b(х) и g(х) – бесконечно малые функции при х ® а. Будем обозначать эти функции a, b и g соответственно. Эти бесконечно малые функции можно сравнивать по быстроте их убывания, т. е. по быстроте их стремления к нулю. Например, функция f(x) = x10 стремится к нулю быстрее, чем функция f(x) = x. Определение.
Если , то функция a называется бесконечно малой более высокого порядка
, чем функция b. Определение.
Если Определение.
Если то функции a и b называются эквивалентными бесконечно малыми
. Записывают a ~ b. Пример.
Сравним бесконечно малые при х®0 функции f(x) = x10 и f(x) = x. https://pandia.ru/text/78/342/images/image093_5.gif" width="51" height="45 src="> конечен и отличен от нуля. Однако следует отметить, что не все бесконечно малые функции можно сравнивать между собой..gif" width="127" height="21">.gif" width="132" height="41">.gif" width="79" height="45 src="> 2) Если a ~ b и b ~ g, то a ~ g, 3) Если a ~ b, то b ~ a, 4) Если a ~ a1 и b ~ b1 и , то и или Следствие:
а) если a ~ a1 и https://pandia.ru/text/78/342/images/image105_5.gif" width="101" height="45 src="> б) если b ~ b1 и https://pandia.ru/text/78/342/images/image106_5.gif" width="101" height="45 src="> Свойство 4 особенно важно на практике, т. к. оно фактически означает, что предел отношения бесконечно малых не меняется при замене их на эквивалентные бесконечно малые. Этот факт дает возможность при нахождении пределов заменять бесконечно малые на эквивалентные им функции, что может сильно упростить вычисление пределов. Пример.
Найти предел Так как tg5x ~ 5x и sin7x ~ 7x при х ® 0, то, заменив функции эквивалентными бесконечно малыми, получим: https://pandia.ru/text/78/342/images/image109_5.gif" width="83" height="44 src=">. Так как 1 – cosx = Если a и b - бесконечно малые при х®а, причем b - бесконечно малая более высокого порядка, чем a, то g = a + b - бесконечно малая, эквивалентная a..gif" width="256" height="44 src=">. Некоторые замечательные пределы.
Первый замечательный предел.
, где P(x) = a0xn + a1xn-1 +…+an, Q(x) = b0xm + b1xm-1 +…+bm - многочлены. https://pandia.ru/text/78/342/images/image117_5.gif" width="173" height="83 src=">
3. Предел числовой последовательности
3.1. Понятие числовой последовательности и функции натурального аргумента
Определение 3.1.
Числовой последовательностью (в дальнейшем просто последовательностью) называется упорядоченное счетное множество чисел {x1, x2, x3,
... }. Обратите внимание на два момента. 1. В последовательности бесконечно много чисел. Если чисел конечное число – это не последовательность! 2. Все числа упорядочены, то есть расположены в определенном порядке. В дальнейшем для последовательности часто будем использовать сокращенное обозначение {xn
}. Над последовательностями можно производить определенные операции. Рассмотрим некоторые из них. 1. Умножение последовательности на число.
Последовательность c
×{xn
} – это последовательность с элементами {c
×
xn
}, то есть c
×{x1, x2, x3,
... }={c
×
x1, c
×
x2, c
×
x3
, ... }. 2. Сложение и вычитание последовательностей.
{xn
}±{yn
}={xn
±
yn
}, или, более подробно, {x1, x2, x3, ...
}±{y1, y2, y3, ...
}={x1
±
y1, x2
±
y2, x3
±
y3,
... }. 3. Умножение последовательностей.
{xn
}×{yn
}={xn
×
yn
}. 4. Деление последовательностей.
{xn
}/{yn
}={xn/yn
}. Естественно, предполагается, что в этом случае все yn
¹ 0. Определение 3.2.
Последовательность {xn
} называется ограниченной сверху, если https://pandia.ru/text/78/243/images/image004_49.gif" width="71 height=20" height="20">.gif" width="53" height="25 src=">.Последовательность {xn} называется ограниченной, если она одновременно ограничена и сверху и снизу. 3.2. Предел последовательности. Бесконечно большая последовательность
Определение 3.3.
Число a
называется пределом последовательности {xn
} при n
стремящимся к бесконечности, если https://pandia.ru/text/78/243/images/image007_38.gif" width="77" height="33 src=">.gif" width="93" height="33">, если . Говорят, что , если . Определение 3.4.
Последовательность {xn
} называется бесконечно большой, если (то есть, если 3.3.
Бесконечно малая последовательность.
Определение 3.5.
Последовательность {xn} называется бесконечно малой, если , то есть если . Бесконечно малые последовательности имеют следующие свойства. 1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей есть также бесконечно малая последовательность. 2. Бесконечно малая последовательность ограничена. 3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность. 4. Если {xn
} – бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого N
, определена последовательность {1/xn
}, и она есть бесконечно малая последовательность. Наоборот, если {xn
} – бесконечно малая последовательность и все xn
отличны от нуля, то {1/xn
} есть бесконечно большая последовательность. 3.4.
Сходящиеся последовательности.
Определение 3.6.
Если существует конечный предел https://pandia.ru/text/78/243/images/image017_29.gif" width="149" height="33">. 5. Если 3.5.
Предельный переход в неравенствах.
Теорема 3.1.
Если, начиная с некоторого N
, все xn
³ b
, то . Следствие.
Если, начиная с некоторого N
, все xn
³ yn
, то Замечание
. Заметьте, что если, начиная с некоторого N
, все xn
> b
, то , то есть при предельном переходе строгое неравенство может перейти в нестрогое. Теорема 3.2.
(«Теорема о двух милиционерах») Если, начиная с некоторого N
, выполнены следующие свойства 1..gif" width="163" height="33 src=">, то существует . 3.6. Предел монотонной последовательности.
Определение 3.7.
Последовательность {xn
} называется монотонно возрастающей, если для любого n
xn+1
³ xn
. Последовательность {xn
} называется строго монотонно возрастающей, если для любого n
xn+1
> xn
. xn
. Определение 3.8.
Последовательность {xn
} называется монотонно убывающей, если для любого n
xn+1
£ xn
. Последовательность {xn
} называется строго монотонно убывающей, если для любого n
xn+1
< xn
. Оба этих случая объединяют символом xn
¯. Теорема о существовании предела монотонной последовательности.
1. Если последовательность {xn
} монотонно возрастает (убывает) и ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел, равный sup{xn
} (inf{xn
}). 2 Если последовательность {xn
} монотонно возрастает (убывает), но сверху (снизу) не ограничена, то у нее существует предел, равный +¥ (-¥). На основании этой теоремы доказывается, что существует так называемый замечательный предел https://pandia.ru/text/78/243/images/image028_15.gif" width="176" height="28 src=">. Она называется подпоследовательностью последовательности {xn
}. Теорема 3.3.
Если последовательность {xn
} сходится и ее предел равен a
, то любая ее подпоследовательность также сходится и имеет тот же самый предел. Если {xn
} – бесконечно большая последовательность, то любая ее подпоследовательность есть также бесконечно большая. Лемма Больцано - Вейерштрасса.
1. Из любой ограниченной последовательности можно извлечь такую подпоследовательность, которая сходится к конечному пределу. 2. Из любой неограниченной последовательности можно извлечь бесконечно большую подпоследовательность. На основании этой леммы доказывается один из основных результатов теории пределов – Признак сходимости Больцано-Коши.
Для того, чтобы у последовательности {xn
} существовал конечный предел, необходимо и достаточно, чтобы Последовательность, удовлетворяющая этому свойству, называется фундаментальной последовательностью, или последовательностью, сходящейся в себе. Определение пределов последовательности и функции, свойства пределов, первый и второй замечательные пределы, примеры. Постоянное число а
называется пределом
последовательности
{x n}, если для любого сколь угодно малого положительного числа
ε > 0 существует номер N, что все значения x n
, у которых n>N, удовлетворяют неравенству Записывают это следующим образом: или x n →
a. Неравенство (6.1) равносильно двойному неравенству a - ε < x n < a + ε
которое означает, что точки x n
, начиная с некоторого номера n>N, лежат внутри интервала (a-ε
, a+ε), т.е. попадают в какую угодно малую
ε-окрестность точки а
. Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся
, в противном случае - расходящейся
. Понятие предел функции является обобщением понятия предел последовательности, так как предел последовательности можно рассматривать как предел функции x n = f(n) целочисленного аргумента n
. Пусть дана функция f(x) и пусть a
- предельная точка
области определения этой функции D(f), т.е. такая точка, любая окрестность которой содержит точки множества D(f), отличные от a
. Точка a
может принадлежать множеству D(f), а может и не принадлежать ему. Определение 1.
Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→ a, если для всякой последовательности {x n } значений аргумента, стремящейся к а
, соответствующие им последовательности {f(x n)} имеют один и тот же предел А. Это определение называют определением предела функции по Гейне,
или “на языке последовательностей
”. Определение 2
. Постоянное число А называется предел
функции
f(x) при
x→a, если, задав произвольное, как угодно малое положительное число ε, можно найти такое δ
>0 (зависящее от ε), что для всех x
, лежащих в ε-окрестности числа а
, т.е. для x
, удовлетворяющих неравенству Это определение называют определением предел функции по Коши,
или “на языке ε - δ
" Определения 1 и 2 равносильны. Если функция f(x) при x →
a имеет предел
, равный А, это записывается в виде В том случае, если последовательность {f(x n)} неограниченно возрастает (или убывает) при любом способе приближения x
к своему пределу а
, то будем говорить, что функция f(x) имеет бесконечный предел,
и записывать это в виде: Переменная величина (т.е. последовательность или функция), предел которой равен нулю, называется бесконечно малой величиной.
Переменная величина, предел которой равен бесконечности, называется бесконечно большой величиной
. Чтобы найти предел на практике пользуются следующими теоремами. Теорема 1
. Если существует каждый предел Замечание
. Выражения вида 0/0, ∞/∞, ∞-∞ 0*∞
являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и найти предел такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”. Теорема 2.
т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, Теорема 3.
где e
»
2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первый
замечательного предело и второй замечательный предел.
Используются на практике и следствия формулы (6.11): в частности предел, Eсли x → a и при этом x > a, то пишут x →a + 0. Если, в частности, a = 0, то вместо символа 0+0 пишут +0. Аналогично если x→a и при этом x Условие (6.15) можно переписать в виде: то есть возможен предельный переход под знаком функции, если она непрерывна в данной точке. Если равенство (6.15) нарушено, то говорят, что при
x = x o функция
f(x) имеет
разрыв.
Рассмотрим функцию y = 1/x. Областью определения этой функции является множество R
, кроме x = 0. Точка x = 0 является предельной точкой множества D(f), поскольку в любой ее окрестности, т.е. в любом открытом интервале, содержащем точку 0, есть точки из D(f), но она сама не принадлежит этому множеству. Значение f(x o)= f(0) не определено, поэтому в точке x o = 0 функция имеет разрыв. Функция f(x) называется непрерывной справа в точке
x o , если предел
и непрерывной слева в точке
x o, если предел Непрерывность функции в точке x o
равносильна ее непрерывности в этой точке одновременно и справа и слева. Для того, чтобы функция была непрерывна в точке x o
, например, справа, необходимо, во-первых, чтобы существовал конечный предел , а во-вторых, чтобы этот предел был равен f(x o). Следовательно, если хотя бы одно из этих двух условий не выполняется, то функция будет иметь разрыв. 1. Если предел существует и не равен f(x o), то говорят, что функция
f(x) в точке
x o имеет разрыв первого рода,
или скачок
. 2. Если предел равен
+∞ или -∞ или не существует, то говорят, что в точке
x o функция имеет разрыв
второго рода
. Например, функция y = ctg x при x → +0 имеет предел, равный +∞
, значит, в точке x=0 она имеет разрыв второго рода. Функция y = E(x) (целая часть от x
) в точках с целыми абсциссами имеет разрывы первого рода, или скачки. Функция, непрерывная в каждой точке промежутка , называется непрерывной
в . Непрерывная функция изображается сплошной кривой. Ко второму замечательному пределу приводят многие задачи, связанные с непрерывным ростом какой-либо величины. К таким задачам, например, относятся: рост вклада по закону сложных процентов, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий и т.п. Рассмотрим пример Я. И. Перельмана
, дающий интерпретацию числа e
в задаче о сложных процентах. Число e
есть предел 100×(1 +1/10) 10 ≈ 259 (ден. ед.), 100×(1+1/100) 100 ≈ 270 (ден. ед.), 100×(1+1/1000) 1000 ≈271 (ден. ед.). При безграничном сокращении сроков присоединения процентов наращенный капитал не растет беспредельно, а приближается к некоторому пределу, равному приблизительно 271. Более чем в 2,71 раз капитал, положенный под 100% годовых, увеличиться не может, даже если бы наросшие проценты присоединялись к капиталу каждую секунду, потому что предел Пример 3.1
.
Пользуясь определением предела числовой последовательности, доказать, что последовательность x n =(n-1)/n имеет предел, равный 1. Решение.
Нам надо доказать, что, какое бы ε > 0 мы ни взяли, для него найдется натуральное число N, такое, что для всех n > N имеет место неравенство |x n -1| < ε Возьмем любое ε > 0. Так как
x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, то для отыскания N достаточно решить неравенство 1/n<ε.
Отсюда n>1/ε и, следовательно, за N можно принять целую часть от 1/ε
N = E(1/ε). Мы тем самым доказали, что предел . Решение.
Применим теорему предел суммы и найдем предел каждого слагаемого. При n → ∞ числитель и знаменатель каждого слагаемого стремится к бесконечности, и мы не можем непосредственно применить теорему предел частного. Поэтому сначала преобразуем x n
, разделив числитель и знаменатель первого слагаемого на n 2
, а второго на n
. Затем, применяя теорему предел частного и предел суммы, найдем: Пример 3.3
. Здесь мы воспользовались теоремой о пределе степени: предел степени равен степени от предела основания. Пример 3.4
. Найти ( Решение. Применять теорему предел разности нельзя, поскольку имеем неопределенность вида ∞-∞. Преобразуем формулу общего члена: Пример 3.5
. Дана функция f(x)=2 1/x . Доказать, что предел не существует. Решение.
Воспользуемся определением 1 предела функции через последовательность. Возьмем последовательность { x n }, сходящуюся к 0, т.е. Покажем, что величина f(x n)= для разных последовательностей ведет себя по-разному. Пусть x n = 1/n. Очевидно, что , тогда предел Пример 3.6
. Доказать, что предел не существует. Решение.
Пусть x 1 , x 2 ,..., x n ,... - последовательность, для которой Если x n = p
n, то sin x n = sin (p
n) = 0 при всех n
и предел Если же Приводится определение числовой последовательности. Рассмотрены примеры неограниченно возрастающих, сходящихся и расходящихся последовательностей. Рассмотрена последовательность, содержащая все рациональные числа. См. также:
Последовательность обозначается в виде n
-го члена, заключенного в фигурные скобки: .
Также возможны следующие обозначения: .
В них явно указывается, что индекс n
принадлежит множеству натуральных чисел и сама последовательность имеет бесконечное число членов. Вот несколько примеров последовательностей: Другими словами числовая последовательность - это функция, областью определения которой является множество натуральных чисел. Число элементов последовательности бесконечно. Среди элементов могут встречаться и члены, имеющие одинаковые значения. Также последовательность можно рассматривать как нумерованное множество чисел, состоящее из бесконечного числа членов. Главным образом нас будет интересовать вопрос - как ведут себя последовательности, при n
стремящемся к бесконечности: .
Этот материал излагается в разделе Предел последовательности – основные теоремы и свойства . А здесь мы рассмотрим несколько примеров последовательностей. Рассмотрим последовательность .
Общий член этой последовательности .
Выпишем несколько первых членов: Теперь рассмотрим последовательность с общим членом .
Вот ее несколько первых членов: Рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Первые члены имеют следующий вид: Далее рассмотрим последовательность .
Ее общий член .
Вот несколько ее первых членов: Рассмотрим последовательность со следующим общим членом: Теперь рассмотрим более интересную последовательность. На числовой прямой возьмем отрезок . Поделим его пополам. Получим два отрезка. Пусть В результате получим последовательность, элементы которой распределены в открытом интервале (0; 1)
.
Какую бы мы ни взяли точку из закрытого интервала
,
мы всегда можем найти члены последовательности, которые окажутся сколь угодно близко к этой точке, или совпадают с ней. Тогда из исходной последовательности можно выделить такую подпоследовательность, которая будет сходиться к произвольной точке из интервала
.
То есть с ростом номера n
,
члены подпоследовательности будут все ближе подходить к наперед выбранной точке. Например, для точки a = 0
можно выбрать следующую подпоследовательность: Для точки a = 1
выберем такую подпоследовательность: Поскольку существуют подпоследовательности, сходящиеся к различным значениям, то сама исходная последовательность не сходится ни к какому числу. Теперь построим последовательность, которая содержит все рациональные числа. Причем каждое рациональное число будет входить в такую последовательность бесконечное число раз. Рациональное число r
можно представить в следующем виде: Для этого на плоскости проводим оси p
и q
.
Проводим линии сетки через целые значения p
и q
.
Тогда каждый узел этой сетки с будет соответствовать рациональному числу. Все множество рациональных чисел будет представлено множеством узлов. Нам нужно найти способ пронумеровать все узлы, чтобы не пропустить ни один узел. Это легко сделать, если нумеровать узлы по квадратам, центры которых расположены в точке (0; 0)
(см. рисунок). При этом нижние части квадратов с q < 1
нам не нужны. Поэтому они не отображены на рисунке. Итак, для верхней стороны первого квадрата имеем: Таким способом мы получаем последовательность, содержащую все рациональные числа. Можно заметить, что любое рациональное число входит в эту последовательность бесконечное число раз. Действительно, наряду с узлом ,
в эту последовательность также будут входить узлы ,
где - натуральное число. Но все эти узлы соответствуют одному и тому же рациональному числу .
Тогда из построенной нами последовательности, мы можем выделить подпоследовательность (имеющую бесконечное число элементов), все элементы которой равны наперед заданному рациональному числу. Поскольку построенная нами последовательность имеет подпоследовательности, сходящиеся к различным числам, то последовательность не сходится ни к какому числу. Здесь мы дали точное определение числовой последовательности. Также мы затронули вопрос о ее сходимости, основываясь на интуитивных представлениях. Точное определение сходимости рассматривается на странице Определение предела последовательности . Связанные с этим свойства и теоремы изложены на странице Предел последовательности – основные теоремы и свойства . Математика — наука, строящая мир. Как учёный, так и простой человек — никто не сможет обойтись без неё. Сначала маленьких детей учат считать, потом складывать, вычитать, умножать и делить, к средней школе в ход вступают буквенные обозначения, а в старшей без них уже не обойтись. Но сегодня речь пойдёт о том, на чём строится вся известная математика. О сообществе чисел под названием «пределы последовательностей». Значение слова «последовательность» трактовать нетрудно. Это такое построение вещей, где кто-то или что-то расположены в определённом порядке или очереди. Например, очередь за билетами в зоопарк — это последовательность. Причём она может быть только одна! Если, к примеру, посмотреть на очередь в магазин — это одна последовательность. А если один человек из этой очереди вдруг уйдёт, то это уже другая очередь, другой порядок. Слово «предел» также легко трактуется — это конец чего-либо. Однако в математике пределы последовательностей — это такие значения на числовой прямой, к которым стремится последовательность чисел. Почему стремится, а не заканчивается? Всё просто, у числовой прямой нет конца, а большинство последовательностей, как лучи, имеют только начало и выглядят следующим образом: х 1 , х 2 , х 3 , …х n … Отсюда определение последовательности — функция натурального аргумента. Более простыми словами — это ряд членов некоторого множества. Простейший пример числовой последовательности может выглядеть так: 1, 2, 3, 4, …n… В большинстве случаев для практических целей последовательности строятся из цифр, причём каждый следующий член ряда, обозначим его Х, имеет своё имя. Например: х 1 — первый член последовательности; х 2 — второй член последовательности; х 3 — третий член; х n — энный член. В практических методах последовательность задаётся общей формулой, в которой есть некоторая переменная. Например: Х n =3n, тогда сам ряд чисел будет выглядеть так: Стоит не забывать, что при общей записи последовательностей можно использовать любые латинские буквы, а не только Х. Например: y, z, k и т. д. Прежде чем искать пределы последовательностей, целесообразно поглубже окунуться в само понятие подобного числового ряда, с которым все сталкивались, будучи в средних классах. Арифметическая прогрессия — это ряд чисел, в котором разница между соседними членами постоянна. Задача: «Пусть а 1 =15, а шаг прогрессии числового ряда d=4. Постройте первые 4 члена этого ряда» Решение: а 1 = 15 (по условию) — первый член прогрессии (числового ряда). а 2 = 15+4=19 — второй член прогрессии. а 3 =19+4=23 — третий член. а 4 =23+4=27 — четвёртый член. Однако подобным методом трудно добраться до крупных значений, например до а 125. . Специально для таких случаев была выведена удобная для практики формула: а n =a 1 +d(n-1). В данном случае а 125 =15+4(125-1)=511. Большинство последовательностей бесконечны, это стоит запомнить на всю жизнь. Существует два интересных вида числового ряда. Первый задаётся формулой а n =(-1) n . Математики часто называют эту последовательностей мигалкой. Почему? Проверим её числовой ряд. 1, 1, -1 , 1, -1, 1 и т. д. На подобном примере становится ясно, что числа в последовательностях могут легко повторяться. Факториальная последовательность. Легко догадаться — в формуле, задающей последовательность, присутствует факториал. Например: а n = (n+1)! Тогда последовательность будет выглядеть следующим образом: а 2 = 1х2х3 = 6; а 3 = 1х2х3х4 =24 и т. д. Последовательность, заданная арифметической прогрессией, называется бесконечно убывающей, если для всех её членов соблюдается неравенство -1 а 3 = - 1/8 и т. д. Существует даже последовательность, состоящая из одного и того же числа. Так, а n =6 состоит из бесконечного множества шестёрок. Пределы последовательностей давно существуют в математике. Конечно, они заслужили свое собственное грамотное оформление. Итак, время узнать определение пределов последовательностей. Для начала рассмотрим подробно предел для линейной функции: Легко понять, что определение предела последовательности может быть сформулировано следующим образом: это некоторое число, к которому бесконечно приближаются все члены последовательности. Простой пример: а x = 4x+1. Тогда сама последовательность будет выглядеть следующим образом. 5, 9, 13, 17, 21…x … Таким образом, данная последовательность будет бесконечно увеличиваться, а, значит, её предел равен бесконечности при x→∞, и записывать это следует так: Если же взять похожую последовательность, но х будет стремиться к 1, то получим: А ряд чисел будет таким: 1.4, 1.8, 4.6, 4.944 и т. д. Каждый раз нужно подставлять число всё больше приближеннее к единице (0.1, 0.2, 0.9, 0.986). Из этого ряда видно, что предел функции — это пять. Из этой части стоит запомнить, что такое предел числовой последовательности, определение и метод решения простых заданий. Разобрав предел числовой последовательности, определение его и примеры, можно приступить к более сложной теме. Абсолютно все пределы последовательностей можно сформулировать одной формулой, которую обычно разбирают в первом семестре. Итак, что же обозначает этот набор букв, модулей и знаков неравенств? ∀ — квантор всеобщности, заменяющий фразы «для всех», «для всего» и т. п. ∃ — квантор существования, в данном случае обозначает, что существует некоторое значение N, принадлежащее множеству натуральных чисел. Длинная вертикальная палочка, следующая за N, значит, что данное множество N «такое, что». На практике она может означать «такая, что», «такие, что» и т. п. Для закрепления материала прочитайте формулу вслух. Метод нахождения предела последовательностей, который рассматривался выше, пусть и прост в применении, но не так рационален на практике. Попробуйте найти предел для вот такой функции: Если подставлять различные значения «икс» (с каждым разом увеличивающиеся: 10, 100, 1000 и т. д.), то в числителе получим ∞, но в знаменателе тоже ∞. Получается довольно странная дробь: Но так ли это на самом деле? Вычислить предел числовой последовательности в данном случае кажется достаточно легко. Можно было бы оставить всё, как есть, ведь ответ готов, и получен он на разумных условиях, однако есть ещё один способ специально для таких случаев. Для начала найдём старшую степень в числителе дроби — это 1, т. к. х можно представить как х 1 . Теперь найдём старшую степень в знаменателе. Тоже 1. Разделим и числитель, и знаменатель на переменную в высшей степени. В данном случае дробь делим на х 1 . Далее найдём, к какому значению стремится каждое слагаемое, содержащее переменную. В данном случае рассматриваются дроби. При х→∞ значение каждой из дробей стремится к нулю. При оформлении работы в писменном виде стоит сделать такие сноски: Получается следующее выражение: Конечно же, дроби, содержащие х, не стали нулями! Но их значение настолько мало, что вполне разрешено не учитывать его при расчётах. На самом же деле х никогда не будет равен 0 в данном случае, ведь на ноль делить нельзя. Предположим, в распоряжении профессора сложная последовательность, заданная, очевидно, не менее сложной формулой. Профессор нашёл ответ, но подходит ли он? Ведь все люди ошибаются. Огюст Коши в своё время придумал отличный способ для доказательства пределов последовательностей. Его способ назвали оперированием окрестностями. Предположим, что существует некоторая точка а, её окрестность в обе стороны на числовой прямой равна ε («эпсилон»). Поскольку последняя переменная — расстояние, то её значение всегда положительно. Теперь зададим некоторую последовательность х n и положим, что десятый член последовательности (x 10) входит в окрестность а. Как записать этот факт на математическом языке? Допустим, х 10 находится правее от точки а, тогда расстояние х 10 -а<ε, однако, если расположить «икс десятое» левее точки а, то расстояние получится отрицательным, а это невозможно, значит, следует занести левую часть неравенства под модуль. Получится |х 10 -а|<ε. Теперь пора разъяснить на практике ту формулу, о которой говорилось выше. Некоторое число а справедливо называть конечной точкой последовательности, если для любого её предела выполняется неравенство ε>0, причём вся окрестность имеет свой натуральный номер N, такой, что всё члены последовательности с более значительными номерами окажутся внутри последовательности |x n - a|< ε. С такими знаниями легко осуществить решение пределов последовательности, доказать или опровергнуть готовый ответ. Теоремы о пределах последовательностей — важная составляющая теории, без которой невозможна практика. Есть всего лишь четыре главных теоремы, запомнив которые, можно в разы облегчить ход решения или доказательства: Иногда требуется решить обратную задачу, доказать заданный предел числовой последовательности. Рассмотрим на примере. Доказать, что предел последовательности, заданной формулой, равен нолю. По рассмотренному выше правилу, для любой последовательности должно выполняться неравенство |x n - a|<ε. Подставим заданное значение и точку отсчёта. Получим: Выразим n через «эпсилон», чтобы показать существование некоего номера и доказать наличие предела последовательности. На этом этапе важно напомнить, что «эпсилон» и «эн» - числа положительные и не равны нулю. Теперь можно продолжать дальнейшие преобразования, используя знания о неравенствах, полученные в средней школе. Откуда получается, что n > -3 + 1/ε. Поскольку стоит помнить, что речь идёт о натуральных числах, то результат можно округлить, занеся его в квадратные скобки. Таким образом, было доказано, что для любого значения окрестности «эпсилон» точки а=0 нашлось значение такое, что выполняется начальное неравенство. Отсюда можно смело утверждать, что число а есть предел заданной последовательности. Что и требовалось доказать. Вот таким удобным методом можно доказать предел числовой последовательности, какой бы сложной она на первый взгляд ни была. Главное — не впадать в панику при виде задания. Существование предела последовательности необязательно на практике. Легко можно встретить такие ряды чисел, которые действительно не имеют конца. К примеру, та же «мигалка» x n = (-1) n . очевидно, что последовательность, состоящая всего лишь из двух цифр, циклически повторяющихся, не может иметь предела. Та же история повторяется с последовательностями, состоящими из одного числа, дробными, имеющими в ходе вычислений неопределённость любого порядка (0/0, ∞/∞, ∞/0 и т. д.). Однако следует помнить, что неверное вычисление тоже имеет место быть. Иногда предел последоватей найти поможет перепроверка собственного решения. Выше рассматривались несколько примеров последовательностей, методы их решения, а теперь попробуем взять более определённый случай и назовём его «монотонной последовательностью». Определение: любую последовательность справедливо называть монотонно возрастающей, если для нее выполняется строгое неравенство x n < x n +1. Также любую последовательность справедливо называть монотонной убывающей, если для неё выполняется неравенство x n > x n +1. Наряду с этими двумя условиями существуют также подобные нестрогие неравенства. Соответственно, x n ≤ x n +1 (неубывающая последовательность) и x n ≥ x n +1 (невозрастающая последовательность). Но легче понимать подобное на примерах. Последовательность, заданная формулой х n = 2+n, образует следующий ряд чисел: 4, 5, 6 и т. д. Это монотонно возрастающая последовательность. А если взять x n =1/n, то получим ряд: 1/3, ¼, 1/5 и т. д. Это монотонно убывающая последовательность. Ограниченная последовательность — последовательность, имеющая предел. Сходящаяся последовательность — ряд чисел, имеющий бесконечно малый предел. Таким образом, предел ограниченной последовательности — это любое действительное или комплексное число. Помните, что предел может быть только один. Предел сходящейся последовательности — это величина бесконечно малая (действительная или комплексная). Если начертить диаграмму последовательности, то в определённой точке она будет как бы сходиться, стремиться обратиться в определённую величину. Отсюда и название — сходящаяся последовательность. Предел у такой последовательности может быть, а может и не быть. Сначала полезно понять, когда он есть, отсюда можно оттолкнуться при доказательстве отсутствия предела. Среди монотонных последовательностей выделяют сходящуюся и расходящуюся. Сходящаяся — это такая последовательность, которая образована множеством х и имеет в данном множестве действительный или комплексный предел. Расходящаяся — последовательность, не имеющая предела в своём множестве (ни действительного, ни комплексного). Причём последовательность сходится, если при геометрическом изображении её верхний и нижний пределы сходятся. Предел сходящейся последовательности во многих случаях может быть равен нулю, так как любая бесконечно малая последовательность имеет известный предел (ноль). Какую сходящуюся последовательность ни возьми, они все ограничены, однако далеко не все ограниченные последовательности сходятся. Сумма, разность, произведение двух сходящихся последовательностей - также сходящаяся последовательность. Однако частное может быть также сходящейся, если оно определено! Пределы последовательностей — это такая же существенная (в большинстве случаев) величина, как и цифры и числа: 1, 2, 15, 24, 362 и т. д. Получается, что с пределами можно проводить некоторые операции. Во-первых, как и цифры и числа, пределы любых последовательностей можно складывать и вычитать. Исходя из третьей теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел суммы последовательностей равен сумме их пределов. Во-вторых, исходя из четвёртой теоремы о пределах последовательностей, справедливо следующее равенство: предел произведения n-ого количества последовательностей равен произведению их пределов. То же справедливо и для деления: предел частного двух последовательностей равен частному их пределов, при условии что предел не равен нулю. Ведь если предел последовательностей будет равен нулю, то получится деление на ноль, что невозможно. Казалось бы, предел числовой последовательности уже разобран довольно подробно, однако не раз упоминаются такие фразы, как «бесконечно маленькие» и «бесконечно большие» числа. Очевидно, если есть последовательность 1/х, где x→∞, то такая дробь бесконечно малая, а если та же последовательность, но предел стремится к нулю (х→0), то дробь становится бесконечно большой величиной. А у таких величин есть свои особенности. Свойства предела последовательности, имеющей какие угодно малые или большие величины, состоят в следующем: На самом деле вычислить предел последовательности - не такая сложная задача, если знать простой алгоритм. Но пределы последовательностей — тема, требующая максимума внимания и усидчивости. Конечно, достаточно просто уловить суть решения подобных выражений. Начиная с малого, со временем можно достигнуть больших вершин.Бесконечно большие функции и их связь с
, то a и b называются бесконечно малыми одного порядка
.
.
при х®0, то https://pandia.ru/text/78/342/images/image112_5.gif" width="159" height="41">
).
, то 
.
.
0 < x-a < ε , значения функции f(x) будут лежать в
ε-окрестности числа А, т.е. |f(x)-A| < ε
(6.4)
(6.5)
(6.6)
(6.11)
(6.12)
(6.13)
(6.14)
. Функция f(x) называется непрерывной
в точке
x 0 , если предел
(6.15)
. В сбербанках процентные деньги присоединяются к основному капиталу ежегодно. Если присоединение совершается чаще, то капитал растет быстрее, так как в образовании процентов участвует большая сумма. Возьмем чисто теоретический, весьма упрощенный пример. Пусть в банк положено 100 ден. ед. из расчета 100 % годовых. Если процентные деньги будут присоединены к основному капиталу лишь по истечении года, то к этому сроку 100 ден. ед. превратятся в 200 ден.ед. Посмотрим теперь, во что превратятся 100 ден. ед., если процентные деньги присоединять к основному капиталу каждые полгода. По истечении полугодия 100 ден. ед. вырастут в 100 ×1,5 = 150, а еще через полгода - в 150× 1,5 = 225 (ден. ед.). Если присоединение делать каждые 1/3 года, то по истечении года 100 ден. ед. превратятся в 100 ×
(1 +1/3) 3 ≈ 237 (ден. ед.). Будем учащать сроки присоединения процентных денег до 0,1 года, до 0,01 года, до 0,001 года и т.д. Тогда из 100 ден. ед. спустя год получится:
.
. Найти .
).
Выберем теперь в качестве x n
последовательность с общим членом x n = -1/n, также стремящуюся к нулю. 
Поэтому предел не существует.
. Как ведет себя последовательность {f(x n)} = {sin x n } при различных x n → ∞
x n =2
p
n+
p
/2, то sin x n = sin(2
p
n+
p
/2) = sin
p
/2 = 1 для всех n
и следовательно предел . Таким образом, не существует.
Определение
Числовая последовательность {
x n }
- это закон (правило), согласно которому, каждому натуральному числу n = 1, 2, 3, . . .
ставится в соответствие некоторое число x n
.
Элемент x n
называют n-м членом или элементом последовательности.
,
,
.
Примеры последовательностей
Примеры неограниченно возрастающих последовательностей
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы неограниченно возрастают в сторону положительных значений. Можно сказать, что эта последовательность стремится к :
при .
.
С ростом номера n
,
элементы этой последовательности неограниченно возрастают по абсолютной величине, но не имеют постоянного знака. То есть эта последовательность стремится к :
при .
Примеры последовательностей, сходящихся к конечному числу
.
Видно, что с ростом номера n
,
элементы этой последовательности приближаются к своему предельному значению a = 0
:
при .
Так что каждый последующий член ближе к нулю, чем предыдущий. В каком-то смысле можно считать, что есть приближенное значение для числа a = 0
с погрешностью .
Ясно, что с ростом n
эта погрешность стремится к нулю, то есть выбором n
,
погрешность можно сделать сколь угодно малой. Причем для любой заданной погрешности ε > 0
можно указать такой номер N
,
что для всех элементов с номерами большими чем N
:
,
отклонение числа от предельного значения a
не превзойдет погрешности ε
:
.
.
В этой последовательности члены с четными номерами равны нулю. Члены с нечетными n
равны .
Поэтому, с ростом n
,
их величины приближаются к предельному значению a = 0
.
Это следует также из того, что
.
Также как и в предыдущем примере, мы можем указать сколь угодно малую погрешность ε > 0
,
для которой можно найти такой номер N
,
что элементы, с номерами большими чем N
,
будут отклоняться от предельного значения a = 0
на величину, не превышающую заданной погрешности. Поэтому эта последовательность сходится к значению a = 0
:
при .
Примеры расходящихся последовательностей
Вот ее первые члены:
.
Видно, что члены с четными номерами:
,
сходятся к значению a 1 = 0
.
Члены с нечетными номерами:
,
сходятся к значению a 2 = 2
.
Сама же последовательность, с ростом n
,
не сходится ни к какому значению.Последовательность с членами, распределенными в интервале (0;1)
.
Каждый из отрезков снова поделим пополам. Получим четыре отрезка. Пусть
.
Каждый отрезок снова поделим пополам. Возьмем
.
И так далее.
.
= 0
.
.
Члены этой подпоследовательности сходятся к значению a = 1
.
Последовательность, содержащая все рациональные числа
,
где - целое; - натуральное.
Нам нужно каждому натуральному числу n
поставить в соответствие пару чисел p
и q
так, чтобы любая пара p
и q
входила в нашу последовательность.
.
Далее нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
Нумеруем верхнюю часть следующего квадрата:
.
И так далее.Заключение
Что такое последовательности и где их предел?
Как строится числовая последовательность?
Арифметическая прогрессия как часть последовательностей
Виды последовательностей
Определение предела последовательности
Общее обозначение предела последовательностей
Неопределённость и определённость предела
Что такое окрестность?
Теоремы
Доказательство последовательностей
А может, его нет?
Монотонная последовательность
Предел сходящейся и ограниченной последовательности
Предел монотонной последовательности
Различные действия с пределами
Свойства величин последовательностей
Загрузка...
