В предыдущем уроке мы изучили умножение многочлена на одночлен. Например, произведение монома a и полинома b + c находится так:
a(b + c) = ab + bc
Однако в ряде случае удобнее выполнить обратную операцию, которую можно назвать вынесением общего множителя за скобки:
ab + bc = a(b + c)
Например, пусть нам надо вычислить значение полинома ab + bc при значениях переменных a = 15,6, b = 7,2, c = 2,8. Если подставить их напрямую в выражение, то получим
ab + bc = 15.6 * 7.2 + 15.6 * 2.8
ab + bc = a(b + c) = 15.6 * (7.2 + 2.8) = 15.6 * 10 = 156
В данном случае мы представили полином ab + bc как произведение двух множителей: a и b + с. Данное действие называют разложением многочлена на множители.
При этом каждый из множителей, на которые разложили многочлен, в свою очередь может быть многочленом или одночленом.
Рассмотрим полином 14ab - 63b 2 . Каждый из входящих в него одночленов можно представить как произведение:
Видно, что у обоих многочленов есть общий множитель 7b. Значит, его можно вынести за скобки:
14ab - 63b 2 = 7b*2a - 7b*9b = 7b(2a-9b)
Проверить правильность вынесения множителя за скобки можно с помощью обратной операции - раскрытия скобки:
7b(2a - 9b) = 7b*2a - 7b*9b = 14ab - 63b 2
Важно понимать, что часто полином можно разложить несколькими способами, например:
5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd) = c(5ab + 6bd) = bc(5a + 6d)
Обычно стремятся вынести, грубо говоря, «наибольший» одночлен. То есть раскладывают полином так, чтобы из оставшегося полинома больше нечего нельзя было вынести. Так, при разложении
5abc + 6bcd = b(5ac + 6cd)
в скобках осталась сумма одночленов, у которых есть общий множитель с. Если же вынести и его, то общих множителей в скобках не останется:
b(5ac + 6cd) = bc(5a + 6d)
Разберем детальнее, как находить общие множители у одночленов. Пусть надо разложить сумму
8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10
Она состоит из трех слагаемых. Сначала посмотрим на числовые коэффициенты перед ними. Это 8, 12 и 16. В 3 уроке 6 класса рассматривалась тема НОД и алгоритм его нахождения.Это наибольший общий делитель.Почти всегда его можно подобрать устно. Числовым коэффициентом общего множителя как раз будет НОД числовых коэффициентов слагаемых полинома. В данном случае это число 4.
Далее смотрим на степени у этих переменных. В общем множителе у букв должны быть минимальные степени, которые встречаются в слагаемых. Так, у переменной a в многочлене степени 3, 2, и 4 (минимум 2), поэтому в общем множителе будет стоять a 2 . У переменной b минимальная степень равна 3, поэтому в общем множителе будет стоять b 3:
8a 3 b 4 + 12a 2 b 5 v + 16a 4 b 3 c 10 = 4a 2 b 3 (2ab + 3b 2 c + 4a 2 c 10)
В результате у оставшихся слагаемых 2ab, 3b 2 c, 4a 2 c 10 нет ни одной общей буквенной переменной, а у их коэффициентов 2, 3 и 4 нет общих делителей.
Выносить за скобки можно не только одночлены, но и многочлены. Например:
x(a-5) + 2y(a-5) = (a-5)(x+2y)
Еще один пример. Необходимо разложить выражение
5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y)
Решение. Напомним, что знак минус меняет знаки в скобках на противоположные, поэтому
-(8y - 3x) = -8y + 3x = 3x - 8y
Значит, можно заменить (3x - 8y) на - (8y - 3x):
5t(8y - 3x) + 2s(3x - 8y) = 5t(8y - 3x) + 2*(-1)s(8y - 3x) = (8y - 3x)(5t - 2s)
Ответ: (8y - 3x)(5t - 2s).
Запомним, что вычитаемое и уменьшаемое можно поменять местами, если изменить знак перед скобками:
(a - b) = - (b - a)
Верно и обратное: минус, уже стоящий перед скобками, можно убрать, если одновременно переставить местами вычитаемое и уменьшаемое:
Этот прием часто используется при решении заданий.
Способ группировки
Рассмотрим ещё один способ разложения многочлена на множители, который помогает раскладывать полином. Пусть есть выражение
ab - 5a + bc - 5c
Вынести множитель, общий для всех четырех мономов, не получается. Однако можно представить этот полином как сумму двух многочленов, и в каждом из них вынести переменную за скобки:
ab - 5a + bc - 5c = (ab - 5a) + (bc - 5c) = a(b - 5) + c(b - 5)
Теперь можно вынести выражение b - 5:
a(b - 5) + c(b - 5) = (b - 5)(a + c)
Мы «сгруппировали» первое слагаемое со вторым, а третье с четвертым. Поэтому описанный метод называют способом группировки.
Пример. Разложим полином 6xy + ab- 2bx- 3ay.
Решение. Группировка 1-ого и 2-ого слагаемого невозможна, так как у них нет общего множителя. Поэтому поменяем местами мономы:
6xy + ab - 2bx - 3ay = 6xy - 2bx + ab - 3ay = (6xy - 2bx) + (ab - 3ay) = 2x(3y - b) + a(b - 3y)
Разности 3y - b и b - 3y отличаются только порядком переменных. В одной из скобок его можно изменить, вынеся знак минус за скобки:
(b - 3y) = - (3y - b)
Используем эту замену:
2x(3y - b) + a(b - 3y) = 2x(3y - b) - a(3y - b) = (3y - b)(2x - a)
В результате получили тождество:
6xy + ab - 2bx - 3ay = (3y - b)(2x - a)
Ответ: (3y - b)(2x - a)
Группировать можно не только два, а вообще любое количество слагаемых. Например, в полиноме
x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z
можно сгруппировать первые три и последние 3 одночлена:
x 2 - 3xy + xz + 2x - 6y + 2z = (x 2 - 3xy + xz) + (2x - 6y + 2z) = x(x - 3y + z) + 2(x - 3y + z) = (x + 2)(x - 3y + z)
Теперь рассмотрим задание повышенной сложности
Пример. Разложите квадратный трехчлен x 2 - 8x +15.
Решение. Данный полином состоит всего из 3 одночленов, а потому, как кажется, группировку произвести не получится. Однако можно произвести такую замену:
Тогда исходный трехчлен можно представить следующим образом:
x 2 - 8x + 15 = x 2 - 3x - 5x + 15
Сгруппируем слагаемые:
x 2 - 3x - 5x + 15 = (x 2 - 3x) + (- 5x + 15) = x(x - 3) - 5(x - 3) = (x - 5)(x - 3)
Ответ: (x- 5)(х - 3).
Конечно, догадаться о замене - 8х = - 3х - 5х в приведенном примере нелегко. Покажем иной ход рассуждений. Нам надо разложить полином второй степени. Как мы помним, при перемножении многочленов их степени складываются. Это значит, что если мы и сможем разложить квадратный трехчлен на два множителя, то ими окажутся два полинома 1-ой степени. Запишем произведение двух многочленов первой степени, у которых старшие коэффициенты равны 1:
(x + a)(x + b) = x 2 + xa + xb + ab = x 2 + (a + b)x + ab
Здесь за a и b мы обозначили некие произвольные числа. Чтобы это произведение равнялось исходному трехчлену x 2 - 8x +15, надо подобрать подходящие коэффициенты при переменных:
С помощью подбора можно определить, что этому условию удовлетворяют числа a= - 3 и b = - 5. Тогда
(x - 3)(x - 5) = x 2 * 8x + 15
в чем можно убедиться, раскрыв скобки.
Для простоты мы рассмотрели только случай, когда у перемножаемых полиномов 1-ой степени старшие коэффициенты равны 1. Однако они могли равняться, например, 0,5 и 2. В этом случае разложение выглядело бы несколько иначе:
x 2 * 8x + 15 = (2x - 6)(0.5x - 2.5)
Однако, вынеся коэффициент 2 из первой скобки и умножив его на вторую, получили бы изначальное разложение:
(2x - 6)(0.5x - 2.5) = (x - 3) * 2 * (0.5x - 2.5) = (x - 3)(x - 5)
В рассмотренном примере мы разложили квадратный трехчлен на два полинома первой степени. В дальнейшем нам часто придется это делать. Однако стоит отметить, что некоторые квадратные трехчлены, например,
невозможно разложить таким образом на произведение полиномов. Доказано это будет позднее.
Применение разложение многочленов на множители
Разложение полинома на множители может упростить выполнение некоторых операций. Пусть необходимо выполнить вычисление значения выражения
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9
Вынесем число 2, при этом степень каждого слагаемого уменьшится на единицу:
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = 2(1 + 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8)
Обозначим сумму
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8
за х. Тогда записанное выше равенство можно переписать:
x + 2 9 = 2(1 + x)
Получили уравнение, решим его (см. урок уравнения):
x + 2 9 = 2(1 + x)
x + 2 9 = 2 + 2x
2x - x = 2 9 - 2
x = 512 - 2 = 510
Теперь выразим искомую нами сумму через х:
2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 6 + 2 7 + 2 8 + 2 9 = x + 2 9 = 510 + 512 = 1022
При решении этой задачи мы возводили число 2 только в 9-ую степень, а все остальные операции возведения в степень удалось исключить из вычислений за счет разложения многочлена на множители. Аналогично можно составить формулу вычисления и для других подобных сумм.
Теперь вычислим значение выражения
38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4
38.4 2 - 61.6 * 29.5 + 61.6 * 38.4 - 29.5 * 38.4 = 38.4 2 - 29.5 * 38.4 + 61.6 * 38.4 - 61.6 * 29.5 = 38.4(38.4 - 29.5) + 61.6(38.4 - 29.5) = (38.4 + 61.6)(38.4 - 29.5) = 8.9*100 = 890
81 4 - 9 7 + 3 12
делится на 73. Заметим, что числа 9 и 81 являются степенями тройки:
81 = 9 2 = (3 2) 2 = 3 4
Зная это, произведем замену в исходном выражении:
81 4 - 9 7 + 3 12 = (3 4) 4 - (3 2) 7 + 3 12 = 3 16 - 3 14 + 3 12
Вынесем 3 12:
3 16 - 3 14 + 3 12 = 3 12 (3 4 - 3 2 + 1) = 3 12 * (81 - 9 + 1) = 3 12 * 73
Произведение 3 12 .73 делится на 73 (так как на него делится один из множителей), поэтому и выражение 81 4 - 9 7 + 3 12 делится на это число.
Вынесение множителей может использоваться для доказательства тождеств. Например, докажем верность равенства
(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)
Для решения тождества преобразуем левую часть равенства, вынеся общий множитель:
(a 2 + 3a) 2 + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a) + 2(a 2 + 3a) = (a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2)
(a 2 + 3a)(a 2 + 3a + 2) = (a 2 + 3a)(a 2 + 2a + a + 2) = (a 2 + 3a)((a 2 + 2a) + (a + 2) = (a 2 + 3a)(a(a + 2) + (a + 2)) = (a 2 + 3a)(a + 1)(a + 2) = a(a + 3)(a + z)(a + 2) = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)
Ещё один пример. Докажем, при любых значениях переменных x и у выражение
(x - y)(x + y) - 2x(x - y)
не является положительным числом.
Решение. Вынесем общий множитель х - у:
(x - y)(x + y) - 2x(x - y) = (x - y)(x + y - 2x) = (x - y)(y - x)
Обратим внимание, что мы получили произведение двух похожих двучленов, отличающихся лишь порядком букв x и y. Если бы мы поменяли местами в одной из скобок переменные, то получили бы произведение двух одинаковых выражений, то есть квадрат. Но для того, чтобы поменять местами x и y, нужно перед скобкой поставить знак минус:
(x - y) = -(y - x)
Тогда можно записать:
(x - y)(y - x) = -(y - x)(y - x) = -(y - x) 2
Как известно, квадрат любого числа больше или равен нулю. Это относится и к выражению (у - х) 2 . Если же перед выражением стоит минус, то оно должно быть меньше или равным нулю, то есть не является положительным числом.
Разложение полинома помогает решать некоторые уравнения. При этом используется следующее утверждение:
Если в одной части уравнения стоит ноль, а в другой произведение множителей, то каждый из них следует приравнять нулю.
Пример. Решите уравнение (s - 1)(s + 1) = 0.
Решение. В левой части записано произведение мономов s - 1 и s + 1, а в правой - ноль. Следовательно, нулю должно равняться или s - 1, или s + 1:
(s - 1)(s + 1) = 0
s - 1 = 0 или s + 1 = 0
s = 1 или s = -1
Каждое из двух полученных значений переменной s является корнем уравнения, то есть оно имеет два корня.
Ответ: -1; 1.
Пример. Решите уравнение 5w 2 - 15w = 0.
Решение. Вынесем 5w:
Снова в левой части записано произведение, а в правой ноль. Продолжим решение:
5w = 0 или (w - 3) = 0
w = 0 или w = 3
Ответ: 0; 3.
Пример. Найдите корни уравнения k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0.
Решение. Сгруппируем слагаемые:
k 3 - 8k 2 + 3k- 24 = 0
(k 3 - 8k 2) + (3k- 24) = 0
k 2 (k - 8) + 3(k - 8) = 0
(k 3 + 3)(k - 8) = 0
k 2 + 3 = 0 или k - 8 = 0
k 2 = -3 или k = 8
Заметим, что уравнение k 2 = - 3 решения не имеет, так как любое число в квадрате не меньше нуля. Поэтому единственным корнем исходного уравнения является k = 8.
Пример. Найдите корни уравнения
(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21
Решение: Перенесем все слагаемые в левую часть, а после сгруппируем слагаемые:
(2u - 5)(u + 3) = 7u + 21
(2u - 5)(u + 3) - 7u - 21 = 0
(2u - 5)(u + 3) - 7(u + 3) = 0
(2u - 5 - 7)(u + 3) = 0
(2u - 12)(u + 3) = 0
2u - 12 = 0 или u + 3 = 0
u = 6 или u = -3
Ответ: - 3; 6.
Пример. Решите уравнение
(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2
(t 2 - 5t) 2 = 30t - 6t 2
(t 2 - 5t) 2 - (30t - 6t 2) = 0
(t 2 - 5t)(t 2 - 5t) + 6(t 2 - 5t) = 0
(t 2 - 5t)(t 2 - 5t + 6) = 0
t 2 - 5t = 0 или t 2 - 5t + 6 = 0
t = 0 или t - 5 = 0
t = 0 или t = 5
Теперь займемся вторым уравнением. Перед нами снова квадратный трехчлен. Чтобы разложить его на множители методом группировки, нужно представить его в виде суммы 4 слагаемых. Если произвести замену - 5t = - 2t - 3t, то дальше удастся сгруппировать слагаемые:
t 2 - 5t + 6 = 0
t 2 - 2t - 3t + 6 = 0
t(t - 2) - 3(t - 2) = 0
(t - 3)(t - 2) = 0
T - 3 = 0 или t - 2 = 0
t = 3 или t = 2
В результате получили, что у исходного уравнения есть 4 корня.
ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА урока алгебры в 7 классе
Учитель Прилепова О.А.
Цели урока:
Показать применение различных способов для разложения на множители многочлена
Повторить способы разложения на множители и закрепить их знание в ходе упражнений
Вырабатывать навыки и умения учащихся в применении формул сокращенного умножения.
Развивать логическое мышление учащихся и интерес к предмету.
Задачи:
в направлении личностного развития:
Развитие интереса к математическому творчеству и математических способностей;
Развитие инициативы, активности при решении математических задач;
Воспитание способности принимать самостоятельные решения.
в метапредметном направлении :
Формирование общих способов интеллектуальной деятельности, характерных для математики и являющихся основой познавательной культуры;
Использование ИКТ технологии;
в предметном направлении:
Овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для продолжения образования;
Формирование у учащихся умение искать способы разложения многочлена на множители и находить их для многочлена, раскладывающегося на множители.
Оборудование: раздаточный материал, маршрутные листы с критериями оценивания, мультимедийный проектор, презентация .
Тип урока: повторение, обобщение и систематизация пройденного материала
Формы работы: работа в парах и группах, индивидуальная, коллективная, самостоятельная, фронтальная работа.
Ход урока:
| Этапы | План | УУД | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Орг момент. | Разбивка на группы и пары: Учащиеся выбирают себе пару по следующему критерию: я с этим одноклассником меньше всего общаюсь. Психологический настрой: Выберите смайлик по своему усмотрению (настроение на начало урока) и под ним посмотрите оценку, которую бы вы хотели получить сегодня на уроке (СЛАЙД). — Поставьте себе в тетради на полях оценку, какую бы вы хотели получить сегодня на уроке. Свои результаты вы будете отмечать в таблице (СЛАЙД).Маршрутный лист.
Критерии оценивания: 1. Решил всё правильно, без ошибок - 5 2. При решении допустил от 1 до 2 ошибок - 4 3. При решении допустил - от 3 до 4 ошибок - 3 4. При решении допустил свыше 4 ошибок - 2 | Новые подходы в преподавании (диалог) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Актуализация. | Коллективная работа. - Сегодня на уроке вы сможете все показать свои знания, поучаствовать во взаимоконтроле и самоконтроле своей деятельности Установи соответствие (СЛАЙД): На следующем слайде обратите внимание на выражения, что вы заметили? (СЛАЙД) 15х3у2 + 5х2у Вынесение общего множителя за скобки p 2 + pq - 3 p -3 q Способ группировки 16 m 2 - 4 n 2 Формула сокращённого умножения Как одним словом можно эти действия объединить? (Способы разложения многочленов) Постановка учащимися темы и цели урока как собственной учебной задачи (СЛАЙД). Исходя из этого, давайте сформулируем тему нашего урока и поставим цели. Вопросы учащимся: Назвать тему урока; Сформулировать цель урока; У каждого лежат карточки с названием формул. (Работа в парах). Дать формулировки формулам всем формулам | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Применение знаний | Работа в парах. Проверяем по слайду 1.Выбрать правильный ответ (СЛАЙД). Карточки:
| 2.Найди ошибки (СЛАЙД): Карточки № Проверяем по слайду 1 пара: o ( b - y )2 = b 2 - 4 b у+у2 o 49- с2=(49- c )(49+с) 2 пара: o (р- 10)2=р2- 20р+10 o (2а+1)2=4а2+2а+1 3 пара: o (3у+1)2=9у+6у+1 o ( b - а)2 = b ²- 4 b а+а2 4 пара: o х² - 25= ( х-25 )( 25+х ) o (7- а)2=7- 14а+ а² | Обучение в соответствии с возрастными особенностями | ||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 3. Каждой паре раздаются задания и ограниченное время на его решение (СЛАЙД) Проверяем по карточкам с ответами 1. Выполните действия: а) (а + 3в)2; б) x 2 - 12 x + 36 ; в) 4в2- у2. 2. Разложите на множители: а) ; б) ; в) 2 x - a 2 y - 2 a 2 x + y 3.Найдите значение выражения: (7 p + 4)2 -7 p (7 p - 2) при р = 5. | Управление и лидерство | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 4. Работа в группе. Смотри, не ошибись (СЛАЙД). Карточки. Проверяем по слайду. (а+…)²=…+2…с+с² (…+у)²=х²+2х…+… (…+2х)²=у²+4ху+4х² (…+2 m )²=9+…+4 m ² (n +2в)²= n ²+…+4в² | Обучение критическому мышлению. Управление и лидерство | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 5. Работа в группе (консультация по решению, обсуждение заданий и их решений) Каждому члену группы раздаются задания уровня А, В, С. Каждый член группы выбирает себе посильное задание. Карточки. (Слайд) Проверяем по карточкам с ответами Уровень А 1. Разложите на множители: а) c 2 - a 2 ; б) 5х2-45; в) 5а2+10ав+5в2 ; г) ах2-4ах+4а 2. Выполните действия: а) (х - 3)(х + 3); б) (х - 3)2; в) х (х - 4). Уровень В 1. Упростите: а) (3а+р)(3а-р) + р2 ; б) (а+11)2 - 20а; в) (а-4)(а+4) -2а(3-а). 2. Вычислите: а) 962 - 862; б) 1262 - 742. Уровень С 1. Решите уравнение: (7 x - 8) (7 x + 8) - (25 x - 4)2 + 36(1 - 4 x )2 =44 1. Решите уравнение: (12 x - 4) (12 x + 4) - (12 x - 1)2 - (4 x - 5) = 16. 1. | Обучение талантливых и одаренных | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Итоги урока | — Подведем итоги, выведем оценки по результатам таблицы. Сравните ваши результаты с предполагаемой оценкой. Выберите смайлик соответствующий вашей оценки (СЛАЙД). в) учителем - оценивается работа класса (активность, уровень знаний, умений, навыков, самоорганизации, прилежание) Самостоятельная работа в виде теста с проверкой РЕЗЕРВ | Оценивание для обучения и оценивание обучения | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Продолжить учит формулы сокращенного умножения. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Рефлексия | Ребята послушайте, пожалуйста, притчу: (СЛАЙД) Шел мудрец, а навстречу ему три человека, везли под горячим солнцем тележки с Камнями для строительства Храма. Мудрец остановился и задал каждому по Вопросу. У первого спросил: - Что ты делал целый день? И тот с ухмылкою ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго спросил: ” А ты что делал целый день? ” И тот ответил: ” Я добросовестно выполнял свою работу“ . А третий улыбнулся его, лицо засветилось радостью и удовольствием, и ответил “ А Я принимал участие в строительстве Храма“. Что такое по вашему Храм? (Знания) Ребята! Кто работал, так как первый человек? (показываем смайлики) (Оценка 3 или 2) (СЛАЙД) Кто работал добросовестно? (Оценка 4) А кто принимал участие в строительстве Храма знаний? (Оценка 5) | Обучение критическому мышлению | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
Цель урока: формирование умений разложения многочлена на множители различными способами; воспитывать аккуратность, усидчивость, трудолюбие, умение работать в парах. Оборудование: мультимедийный проектор, ПК, дидактические материалы. План урока: 1. Организационный момент; 2. Проверка домашнего задания; 3. Устная работа; 4. Изучение нового материала; 5. Физкультминутка; 6. Закрепление изученного материала; 7. Работа в парах; 8. Домашнее задание; 9. Подведение итогов. Ход урока: 1. Организационный момент. Нацелить учащихся на урок. Не в количестве знаний заключается образование, а в полном понимании и искусном применении всего того, что знаешь. (Георг Гегель) 2. Проверка домашнего задания. Разбор заданий, при решении которых у учащихся возникли трудности. 3.Устная работа. разложите на множители: 1) 2) 3) ; 4) . Установите соответствие между выражениями левого и правого столбцов: а. 1. б. 2. в. 3. г. 4. д. 5. . Решите уравнения: 1. 2. 3. 4. Изучение нового материала. Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения. Иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. Начинать преобразование следует, если это возможно, с вынесения общего множителя за скобки. Чтобы успешно решать такие примеры, сегодня мы попытаемся выработать план последовательного их применения.
150.000₽ призовой фонд 11 почетных документов Свидетельство публикации в СМИ
Разделы: Математика
Тип урока:
- по способу проведения - урок-практикум;
- по дидактической цели – урок применения знаний и умений.
Цель: сформировать умение разложения многочлена на множители.
Задачи:
- Дидактические : систематизировать, расширить и углубить знания, умения учащихся, применять различные способы разложения многочлена на множители. Сформировать умение применять разложение многочлена на множители путём комбинации различных приёмов. Реализовать знания и умения по теме: “Разложение многочлена на множители” для выполнения заданий и базового уровня и заданий повышенной сложности.
- Развивающие : развивать мыслительную деятельность через решение разнотипных задач, учить находить и анализировать наиболее рациональные способы решения, способствовать формированию умения обобщать изучаемые факты, ясно и четко излагать свои мысли.
- Воспитательные : развивать навыки самостоятельной и коллективной работы, навыки самоконтроля.
Методы работы:
- словесный;
- наглядный;
- практический.
Оборудование урока: интерактивная доска или кодоскоп, таблицы с формулами сокращенного умножения, инструкции, раздаточный материал для работы в группах.
Структура урока:
- Организационный момент. 1 минута
- Формулирование темы, цели и задач урока-практикума. 2 минуты
- Проверка домашнего задания. 4 минуты
- Актуализация опорных знаний и умений учащихся. 12 минут
- Физкультминутка. 2 минуты
- Инструктирование по выполнению заданий практикума. 2 минуты
- Выполнение заданий в группах. 15 минут
- Проверка и обсуждение выполнения заданий. Анализ работы. 3 минуты
- Постановка домашнего задания. 1 минута
- Резервные задания. 3 минуты
Ход урока
1. Организационный момент
Учитель проверяет готовность кабинета и учащихся к уроку.
2. Формулирование темы, цели и задач урока-практикума
- Сообщение о проведении заключительного урока по теме.
- Мотивация учебной деятельности учащихся.
- Формулирование цели и постановка задач урока (совместно с учащимися).
3. Проверка домашнего задания
На доске образцы решения упражнений домашнего задания №943 (а,в); №945 (в,г). Образцы выполнены учащимися класса. (Эта группа учащихся была выявлена на предыдущем уроке, свое решение они оформили на перемене). Учащиеся готовятся провести “защиту” решений.
Учитель:
Проверяет наличие домашних заданий в тетрадях учащихся.
Предлагает учащимся класса ответить на вопрос: “Какие трудности вызвало выполнение задания?”.
Предлагает сверить свое решение с решением на доске.
Предлагает учащимся у доски ответить на вопросы, которые возникли у учащихся на местах при проверке по образцам.
Комментирует ответы учащихся, дополняет ответы, разъясняет (если это необходимо).
Подводит итоги выполнения домашнего задания.
Учащиеся:
Предъявляют домашнее задание учителю.
Меняются тетрадями (в парах) и проверяют друг у друга.
Отвечают на вопросы учителя.
Сверяют свое решение с образцами.
Выступают в роли оппонентов, вносят дополнения, исправления, записывают другой способ, если способ решения в тетради отличается от способа на доске.
Обращаются за необходимыми пояснениями к учащимся, к учителю.
Находят способы проверки полученных результатов.
Участвуют в оценке качества выполнения заданий у доски.
4. Актуализация опорных знаний и умений учащихся
1. Устная работа
Учитель:
Ответьте на вопросы:
- Что значит разложить на множители многочлен?
- Сколько способов разложения вам известно?
- Как они называются?
- Какой самый распространенный?
2. На доске записаны многочлены:
1. 14х 3 – 14х 5
2. 16х 2 – (2 + х) 2
3. 9 – х 2 – 2хy – y 2
4. x 3 - 3x – 2
Учитель предлагает учащимся выполнить разложение многочленов № 1-3 на множители:
- I вариант – вынесением общего множителя;
- II вариант – применением формул сокращенного умножения;
- III вариант – способом группировки.
Одному ученику предлагает разложить на множители многочлен №4 (индивидуальное задание повышенной трудности, задание выполняет на формате А 4). Затем на доске появляется образец решения заданий №1-3 (выполнен учителем), образец решения задания №4 (выполнен учеником).
3. Разминка
Учитель дает указания разложить на множители и выбрать букву, связанную с правильным ответом. Сложив буквы вы получите фамилию величайшего математика ХVII века, который внес огромный вклад в развитие теории решения уравнений. (Декарт)
5. Физкультминутка Учащимся зачитываются высказывания. Если высказывание верно, то учащиеся должны поднять руки вверх, а если неверно, то присесть за парту. (Приложение 2)
6. Инструктирование по выполнению заданий практикума.
На интерактивной доске или отдельном плакате таблица с инструкцией.
При разложении многочлена на множители необходимо соблюдать следующий порядок:
1. вынести общий множитель за скобки (если он есть);
2. применить формулы сокращенного умножения (если это возможно);
3. применить способ группировки;
4. проверить полученный результат умножением.
Учитель :
Предлагает вниманию учащихся инструкцию (делает акцент на шаге 4).
Предлагает выполнение заданий практикума по группам.
Раздает рабочие листы на группы, листы с копировальной бумагой для оформления заданий в тетрадях и их последующей проверки.
Определяет время на работу в группах, на работу в тетрадях.
Учащиеся :
Читают инструкцию.
Внимательно слушают учителя.
Рассаживаются по группам (по 4-5 человек).
Готовятся к выполнению практической работы.
7. Выполнение заданий в группах
Рабочие листы с заданиями для групп. (Приложение 3)
Учитель :
Управляет самостоятельной работой в группах.
Оценивает умение работать учащихся самостоятельно, умение работать в группе, качество оформления рабочего листа.
Учащиеся :
Выполняют задания на листах с копировальной бумагой, вложенных в рабочую тетрадь.
Обсуждают способы рационального решения.
Оформляют рабочий лист от группы.
Готовятся к защите выполненной работы.
8. Проверка и обсуждение выполнения задания
На интерактивной доске ответы.
Учитель :
Собирает копии решений.
Управляет работой учащихся, отчитывающихся по рабочим листам.
Предлагает провести самооценку своих работ, сравнить ответы по тетрадям, рабочим листам и образцам на доске.
Напоминает критерии выставления отметки за работу, за участие в ее выполнении.
Дает разъяснения по возникающим вопросам решения или самооценки.
Подводит первые итоги выполнения практической работы и рефлексию.
Подводит (совместно с учащимися) итог урока.
Говорит о том, что окончательно итоги будут подведены после проверки копий работ, выполненных учащимися.
Учащиеся :
Сдают копии учителю.
Рабочие листы крепят на доске.
Отчитываются о выполнении работы.
Осуществляют самопроверку и самооценку выполнения работы.
9. Постановка домашнего задания
На доске записано домашнее задание: № 1016(а,б); 1017 (в,г); № 1021 (г,д,е)*
Учитель :
Предлагает записать обязательную часть задания на дом.
Дает комментарий к его выполнению.
Предлагает более подготовленным ученикам записать № 1021 (г,д,е)*.
Сообщает, что нужно подготовиться к следующему уроку обзорного повторения
- Формирование умений применять различные способы для разложения на множители.
- Способствовать воспитанию культуры речи, аккуратности записи, самостоятельности.
- Формирование умений частично-поисковой деятельности: осознавать проблему, анализировать, делать выводы.
Оборудование: учебник, доска, тетрадь, карточки с заданиями.
Тип урока: Урок применения ЗУН.
Метод обучения: проблемный, частично-поисковый.
Форма организации учебной деятельности: групповая, фронтальная, индивидуальная, работа в парах.
Продолжительность: 1 урок (45 мин)
План урока:
- Организация начала занятия. (1 мин)
- Проверка домашнего задания. (2 мин)
- Актуализация. (5 мин)
- Изучение нового материала. (10 мин)
- Закрепление нового материала. (15 мин)
- Контроль и самопроверка знаний. (8 мин)
- Подведение итогов. (2 мин)
- Домашнее задание. (2 мин)
Ход урока
I. Организационный момент
Здравствуйте, ребята.
Тема урока “Применение различных способов для разложения на множители”. Сегодня мы будем с вами формировать навыки применения различных способов разложения на множители и еще раз убедимся в полезности умения раскладывать многочлен на множители.
Желаю вам поработать активно на уроке. (Записать тему в тетрадь) .
II. Проверка домашнего задания
Перед началом урока учащиеся сдают тетради с выполненным домашним заданием на проверку. Обсуждаются вопросы, вызвавшие затруднения.
III. Актуализация опорных знаний.
Прежде чем мы приступим к решению задач, проверим, насколько мы готовы к этому. Давайте вспомним, что мы знаем по теме урока.
3.1. Фронтальный опрос:
а) Что значит разложить многочлен на множители?
б) Какие основные методы разложения многочлена на множители вы знаете?
в) Любой многочлен можно разложить на множители? Например?
г) В каких заданиях иногда полезно использовать разложение на множители?
3.2. Соединить линиями многочлены с соответствующими им способами разложения на множители.
3.3. Найдите неверное утверждение:
а)a 2 + b 2 – 2ab = (а – b) 2
б) m 2 + 2mn – n 2 = (m – n) 2
в) –2pt + p 2 + t 2 = (p – t) 2
г) 25 – 16 с 2 = (5 – 4с)(5 – 4с) (ошибки б, г)
3.4. Представьте в виде произведения: а) 64x 2 – 1; б) (d - 3) 2 – 36;
3.5. Решите уравнение х 2 – 16 = 0 (4; –4)
3.5. Найти значение выражения 34 2 – 24 2 (580)
IV. Изучение материала
Для разложения многочленов на множители мы применяли вынесение общего множителя за скобки, группировку, формулы сокращенного умножения.
Как вы думаете, бывают ли ситуации, в которых удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов?
Найти ответ на этот вопрос нам помогут следующее задание:
Разложите многочлен на множители и укажите, какие способы использовались при этом. (Работа в парах с последующим решением у доски)
Пример 1. 9x 3 – 36x применили 2 способа:
Пример 2. a 2 + 2ab + b 2 – c 2 применили 2 способа:
- группировку;
- использование формул сокращенного умножения.
Пример 3. y 3 – 3y 2 + 6y – 18 применили 3 способа:
- группировку;
- использование формул сокращенного умножения;
- вынесение общего множителя за скобки.
Пример 4. x 3 + 3x 2 + 2x применили 3 способа:
- вынесение общего множителя за скобки;
- предварительное преобразование;
- группировку.
Делаем вывод: иногда удается разложить многочлен на множители, применив последовательно несколько способов. Чтобы успешно решать такие примеры, сегодня давайте выработаем план последовательного их применения:
- Вынести общий множитель за скобку (если он есть).
- Попробовать разложить многочлен на множители по формулам сокращенного умножения.
- Попытаться применить способ группировки (если предыдущие способы не привели к цели).
V. Упражнения для закрепления изложенной темы
5.1. Совокупность различных приемов разложения на множители позволяет легко и изящно производить арифметические вычисления, решать уравнения вида ах 2 + bх + с = 0 (а ≠ 0) (такие уравнения называются квадратными, мы с вами займемся их изучением в 8 классе).
* Решить уравнение: а) х 2 – 17х + 72 = 0, б) х 2 + 10х + 21 = 0
Подсказка: Некоторый член многочлена раскладывается на необходимые слагаемые или дополняется путем прибавления к нему некоторого слагаемого. В последнем случае, чтобы многочлен не изменился, от него отнимается такое же слагаемое.
(Два ученика решают самостоятельно в тетради уравнения. Ответ: а) 8; 9; б) - 1; - 5).
Выполнить упражнение из учебника №1016 (в), 1017(в), стр. 186
(Два ученика решают на доске, остальные по вариантам в тетради ).
5.2. Решить уравнения (Учащиеся работают в парах с последующей самопроверкой)
№ 949, стр.177 а) х 3 – х = 0 б) 9х – х 3 = 0 в) х 3 + х 2 = 0 г) 5х 4 – 2х 2 = 0
** (Индивидуальные задания для более подготовленных учащихся)
| Карточка 1 | Карточка 2 | Карточка 3 |
| Решите уравнение и укажите сумму корней x 2 + 3x + 6 + 2x = 0 |
Решите уравнение и укажите сумму корней |
| x(x+3) +2(3+x) =0
сумма равна -5 |
Сумма корней данного уравнения: |
 Сумма корней уравнения:. |
VI. Контроль и самопроверка знаний.
Рассматриваемая тема – неотъемлемая часть ГИА по математике. Для контроля и самопроверки знаний по данной теме вам предлагается выполнить тестовые задания из тренировочных заданий ГИА. В тестовых заданиях обведите ответ.
Индивидуальная работа по карточкам: (Учащиеся выполняют тестовые задания ГИА , + самопроверка)
Какие из данных выражений тождественно
равны 4х-10у
а)1;3; б) все; в)1;2;4; г)нет |
Какие из данных выражений тождественно
равны - 3(-2а+у)
а) все; б)2; у) 2;3; в)1;4 |
Какие из данных выражений тождественно
равны -6а+12р
а)1; у) все; в) 2;4; г)1;3 |
| 3а 3 -3а 2 -5а+5. а) (а-1)(3а 2 +5); б) (а+1)(3а 2 -5); в) (а-1)(5-3а 2); е) (а-1)(3а 2 +5). |
Представьте в виде
произведения многочленов
13ах-26х-5ав+10в. д) (а-2)(13х-5в); б) (а+2)(3х-5в); в) (3а-6)(4х-в); г) (а-2)(5в-3х). |
Представьте в виде
произведения многочленов
bу-6b-5у 2 +30у. а) (6-у)(b-5у); б) (у -6)(b+5у); с) (у -6)(b-5у); г) (у -6)(5у- b). |
| Выполните действия: (5а-с) 2 . а) 25а 2 +10ас+с 2 ; б) 25а 2 +10ас-с 2 ; р) 25а 2 -10ас+с 2 ; г) 25а 2 -5ас+с 2 . |
Выполните действия: (5х+2у) 2 . а) 25х 2 +20ху+4у 2 ;успех |
Учитель: Сверим ответы. Прочтите слова, которые у вас получились. Это именно те слова, которые сопутствуют семиклассникам при подготовке к ГИА в 9 классе.
VII. Подведение итогов урока
Учитель проводит фронтальный обзор основных этапов урока, оценивает работу учащихся и ориентирует учеников в домашнем задании.
VIII. Домашнее задание: п. 38, №950 (стр. 177), №1016 (г), 1017(г), стр. 186.
** Найдите значение выражения (х+3)2 -2 (х+3) (х-3) +(х-3)2 при x=100.
Значение данного выражения не зависит от выбора х.
Урок окончен. Спасибо за урок и помните, что знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днем.
Используемая литература:
- Учебник «Алгебра 7 класс». Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др. Под ред. С.А. Теляковского. – М.; Просвещение, 2009.
- Сборник тестовых заданий для тематического и итогового контроля. Алгебра 7. И.Л. Гусева и др. – М.; Интеллект-Центр, 2009.
- Государственная итоговая аттестация (по новой форме): 9 класс. Тематические тренировочные задания. Алгебра/ ФИПИ автор-составитель: В.Л. Кузнецова. – М.: Эксмо, 2010.
Загрузка...
