Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на бесконечно малые кусочки с бесконечно малыми размерами и массами m v т., т 3 , ..., находящиеся на расстояниях R v R 0 , R 3 ,... от оси. Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его малых частей:
- момент инерции твердого тела относительно данной оси 00,. Из сопоставления формул кинетической энергии поступательного и вращательного движений очевидно, что момент инерции во вращательном движении является аналогом массы в поступательном движении. Формула (4.14) удобна для расчета момента инерции систем, состоящих из отдельных материальных точек. Для расчета момента инерции сплошных тел, воспользовавшись определением интеграла, можно преобразовать ее к виду
Несложно заметить, что момент инерции зависит от выбора оси и меняется при ее параллельном переносе и повороте. Найдем значения моментов инерции для некоторых однородных тел.
Из формулы (4.14) очевидно, что момент инерции материальной точки равен
где т - масса точки; R - расстояние до оси вращения.
Несложно вычислить момент инерции и для полого тонкостенного цилиндра (или частного случая цилиндра с малой высотой - тонкого кольца) радиуса R относительно оси симметрии. Расстояние до оси вращения всех точек для такого тела одинаково, равно радиусу и может быть вынесено из- под знака суммы (4.14):
Рис. 4.5
Сплошной цилиндр (или частный случай цилиндра с малой высотой - диск) радиуса R для расчета момента инерции относительно оси симметрии требует вычисления интеграла (4.15). Заранее можно понять, что масса в этом случае в среднем сосредоточена несколько ближе к оси, чем в случае полого цилиндра, и формула будет похожа на (4.17), но в ней появится коэффициент, меньший единицы. Найдем этот коэффициент. Пусть сплошной цилиндр имеет плотность р и высоту А. Разобьем его на полые цилиндры (тонкие цилиндрические поверхности) толщиной dr (рис. 4.5 показывает проекцию, перпендикулярную оси симметрии). Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину: dV = 2nrhdr, масса: dm = 2nphrdr, а момент инерции в соответствии с формулой (4.17): dj =
= r 2 dm = 2лр/?г Wr. Полный момент инерции сплошного цилиндра получается интегрированием (суммированием) моментов инерции полых цилиндров:
Аналогично ищется момент инерции тонкого стержня длины L и массы т, если ось вращения перпендикулярна стержню и проходит через его середину. Разобьем такой
С учетом того что масса сплошного цилиндра связана с плотностью формулой т = nR 2 hp, имеем окончательно момент инерции сплошного цилиндра:
Рис. 4.6
стержень в соответствии с рис. 4.6 на кусочки толщиной dl. Масса такого кусочка равна dm = mdl/L, а момент инерции в соответствии с формулой (4.6): dj = l 2 dm = l 2 mdl/L. Полный момент инерции тонкого стержня получается интегрированием (суммированием) моментов инерции кусочков:
Взятие элементарного интеграла дает момент инерции тонкого стержня длины L и массы т
Рис. 4.7
Несколько сложней берется интеграл при поиске момента инерции однородного шара радиуса R и массы /77 относительно оси симметрии. Пусть сплошной шар имеет плотность р. Разобьем его в соответствии с рис. 4.7 на полые тонкие цилиндры толщиной dr, ось симметрии которых совпадает с осью вращения шара. Объем такого полого цилиндра радиуса г равен площади поверхности, умноженной на толщину:
где высота цилиндра h найдена с использованием теоремы Пифагора:
Тогда несложно найти массу полого цилиндра:
а также момент инерции в соответствии с формулой (4.15):
Полный момент инерции сплошного шара получается интегрированием (суммированием) моментов инерции полых цилиндров:
С учетом того что масса сплошного шара связана с плотностью форму- 4 .
лой т = -npR A y имеем окончательно момент инерции относительно оси
симметрии однородного шара радиуса R массы т:
Рассмотрим вначале твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси OZ с угловой скоростью ω (рис.5.6). Разобьем тело на элементарные массы . Линейная скорость элементарной массы равна , где - ее расстояние от оси вращения. Кинетическая энергия i -той элементарной массы будет равна
.
Кинетическая энергия всего тела слагается из кинетических энергий его частей, поэтому
.
Учитывая то, что сумма в правой части этого соотношения представляет момент инерции тела относительно оси вращения, получим окончательно
. (5.30)
Формулы кинетической энергии вращающегося тела (5.30) подобны соответствующим формулам для кинетической энергии поступательного движения тела. Они получаются из последних формальной заменой 
.
В общем случае движение твердого тела можно представить в виде суммы движений – поступательного со скоростью, равной скорости центра масс тела, и вращения с угловой скоростью вокруг мгновенной оси, проходящей через центр масс. В этом случае выражение для кинетической энергии тела принимает вид
.
Найдем теперь работу, совершаемую моментом внешних сил, при вращении твердого тела. Элементарная работа внешних сил за время dt будет равна изменению кинетической энергии тела
Взяв дифференциал от кинетической энергии вращательного движения, найдем ее приращение
.
В соответствии с основным уравнением динамики для вращательного движения
С учетом данных соотношений, приведем выражение элементарной работы к виду
где - проекция результирующего момента внешних сил на направление оси вращения OZ, - угол поворота тела за рассматриваемый промежуток времени.
Интегрируя (5.31), получим формулу для работы внешних сил, действующих на вращающееся тело
В случае, если , то формула упрощается
Таким образом, работа внешних сил при вращении твердого тела относительно неподвижной оси определяется действием проекции момента этих сил на данную ось.
Гироскоп
Гироскопом называется быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять свое направление в пространстве. Чтобы ось гироскопа могла свободно поворачиваться в пространстве, гироскоп помещают в так называемом кардановом подвесе (рис.5.13). Маховик гироскопа вращается во внутренней кольцевой обойме вокруг оси С 1 С 2 , проходящей через его центр тяжести. Внутренняя обойма в свою очередь может вращаться во внешней обойме вокруг оси В 1 В 2 , перпендикулярной к С 1 С 2 . Наконец, наружная обойма может свободно вращаться в подшипниках стойки вокруг оси А 1 А 2 , перпендикулярной к осям С 1 С 2 и В 1 В 2 . Все три оси пересекаются в некоторой неподвижной точке О, называемой центром подвеса или точкой опоры гироскопа. Гироскоп в кардановом подвесе имеет три степени свободы и, следовательно, может совершать любые повороты вокруг центра подвеса. Если центр подвеса гироскопа совпадает с его центром тяжести, то результирующий момент сил тяжести всех частей гироскопа относительно центра подвеса равен нулю. Такой гироскоп называют уравновешенным.
Рассмотрим теперь наиболее важные свойства гироскопа, которые и нашли ему широкое применение в различных областях.
1) Устойчивость.
При любых поворотах стойки уравновешенного гироскопа его ось вращения сохраняет неизменное направление по отношению к лабораторной системе отсчета. Это связано с тем, что момент всех внешних сил, равный моменту сил трения, очень мал и практически не вызывает изменения момента импульса гироскопа, т.е.
Поскольку момент импульса направлен вдоль оси вращения гироскопа, то ее ориентация должна сохраняться неизменной.
Если внешняя сила действует в течение короткого времени, то интеграл, определяющий приращение момента импульса, будет мал
. (5.34)
Значит, при кратковременных воздействиях даже больших сил движение уравновешенного гироскопа изменяется мало. Гироскоп как бы сопротивляется всяким попыткам изменить величину и направление его момента импульса. С этим и связана замечательная устойчивость, которую приобретает движение гироскопа после приведения его в быстрое вращение. Это свойство гироскопа широко используется для автоматического управления движением самолетов, судов, ракет и прочих аппаратов.
Если же действовать на гироскоп длительное время постоянным по направлению моментом внешних сил, то ось гироскопа устанавливается, в конце концов, по направлению момента внешних сил. Данное явление используется в гирокомпасе. Этот прибор представляет собой гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться в горизонтальной плоскости. Вследствие суточного вращения Земли и действия момента центробежных сил ось гироскопа поворачивается так, чтобы угол между и стал минимальным (рис.5.14). Это соответствует положению оси гироскопа в плоскости меридиана.
2). Гироскопический эффект.
Если к вращающемуся гироскопу приложить пару сил и , стремящуюся повернуть его около оси, перпендикулярной оси вращения, то он станет поворачиваться вокруг третьей оси, перпендикулярной к первым двум (рис.5.15). Такое необычное поведение гироскопа получило название гироскопического эффекта. Оно объясняется тем, что момент пары сил направлен вдоль оси О 1 О 1 и изменение за время вектора на величину будет иметь тоже направление. В результате новый вектор повернется относительно оси О 2 О 2 . Таким образом, противоестественное на первый взгляд поведение гироскопа полностью соответствует законам динамики вращательного движения
3). Прецессия гироскопа.
Прецессией гироскопа называется конусообразное движение его оси. Оно происходит в том случае, когда момент внешних сил, оставаясь постоянным по величине, поворачивается одновременно с осью гироскопа, образуя с ней всё время прямой угол. Для демонстрации прецессии может служить велосипедное колесо с наращенной осью, приведенное в быстрое вращение (рис.5.16).
Если колесо подвесить за наращенный конец оси, то его ось начнет прецессировать вокруг вертикальной оси под действием собственного веса. Демонстрацией прецессии может служить и быстро вращающийся волчок.
Выясним причины прецессии гироскопа. Рассмотрим неуравновешенный гироскоп, ось которого может свободно поворачиваться вокруг некоторой точки О (рис.5.16). Момент сил тяжести, приложенный к гироскопу, равен по величине
где - масса гироскопа, - расстояние от точки О до цента масс гироскопа, - угол, образованный осью гироскопа с вертикалью. Вектор направлен перпендикулярно к вертикальной плоскости, проходящей через ось гироскопа.
Под действием этого момента момент импульса гироскопа (его начало помещено в точку О) получит за время приращение , а вертикальная плоскость, проходящая через ось гироскопа, повернется на угол . Вектор все время перпендикулярен к , следовательно, не изменяясь по величине, вектор изменяется только по направлению. При этом спустя время взаимное расположение векторов и будет таким же, как и в начальный момент. В итоге ось гироскопа будет непрерывно поворачиваться вокруг вертикали, описывая конус. Такое движение называется прецессией.
Определим угловую скорость прецессии. Согласно рис.5.16 угол поворота плоскости, проходящей через ось конуса и ось гироскопа, равен
где - момент импульса гироскопа, а - его приращение за время .
Разделив на , с учетом отмеченных соотношений и преобразований, получим угловую скорость прецессии
. (5.35)
Для гироскопов, применяющихся в технике, угловая скорость прецессии бывает в миллионы раз меньше скорости вращения гироскопа .
В заключении отметим, что явление прецессии наблюдается и у атомов вследствие орбитального движения электронов.
Примеры применения законов динамики
При вращательном движении
1. Рассмотрим некоторые примеры на закон сохранения момента импульса, которые можно осуществить с помощью скамьи Жуковского. В простейшем случае скамья Жуковского представляет собой платформу в форме диска (кресло), который может свободно вращаться вокруг вертикальной оси на шариковых подшипниках (рис.5.17). Демонстратор садится или становится на скамью, после чего ее приводят во вращательное движение. Вследствие того, что силы трения благодаря применению подшипников очень малы, момент импульса системы, состоящей из скамьи и демонстратора, относительно оси вращения не может меняться во времени, если система предоставлена самой себе. Если демонстратор держит в руках тяжелые гантели и разводит руки в стороны, то он увеличит момент инерции системы, а потому должна уменьшится угловая скорость вращения, чтобы остался неизменным момент импульса.
По закону сохранения момента импульса составим уравнение для данного случая
где - момент инерции человека и скамьи, и - момент инерции гантелей в первом и втором положениях, и - угловые скорости системы.
Угловая скорость вращения системы при разведении гантелей в сторону будет равна
.
Работу, совершенную человеком при перемещении гантелей, можно определить через изменение кинетической энергии системы
2. Приведем еще один опыт со скамьей Жуковского. Демонстратор садится или становится на скамью и ему передают быстро вращающееся колесо с вертикально направленной осью (рис.5.18). Затем демонстратор поворачивает колесо на 180 0 . При этом изменение момента импульса колеса целиком передается скамье и демонстратору. В результате скамья вместе с демонстратором приходит во вращение с угловой скоростью, определяемой на основании закона сохранения момента импульса.
Момент импульса системы в начальном состоянии определяется только моментом импульса колеса и равен
где - момент инерции колеса, - угловая скорость его вращения.
После поворота колеса на угол 180 0 момент импульса системы будет уже определяться суммой момента импульса скамьи с человеком и момента импульса колеса. С учетом того, что вектор момента импульса колеса изменил свое направление на противоположное, а его проекция на вертикальную ось стала отрицательной, получим
,
где - момент инерции системы «человек-платформа», - угловая скорость вращения скамьи с человеком.
По закону сохранения момента импульса
и 
.
В итоге, находим скорость вращения скамьи
3. Тонкий стержень массой m и длиной l вращается с угловой скоростью ω=10 с -1 в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Продолжая вращаться в той же плоскости, стержень перемещается так, что ось вращения теперь проходит через конец стержня. Найти угловую скорость во втором случае.
В данной задаче за счет того, что распределение массы стержня относительно оси вращения изменяется, момент инерции стержня также изменяется. В соответствии с законом сохранения момента импульса изолированной системы, имеем
Здесь - момент инерции стержня относительно оси, проходящей через середину стержня; 
- момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и найденный по теореме Штейнера.
Подставляя данные выражения в закон сохранения момента импульса, получим
,
.
4. Стержень длиной L =1,5 м и массой m 1 =10 кг подвешен шарнирно за верхний конец. В середину стержня ударяет пуля массой m 2 =10 г, летящая горизонтально со скоростью =500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол отклонится стержень после удара?
Представим на рис. 5.19. систему взаимодействующих тел «стержень-пуля». Моменты внешних сил (сила тяжести, реакция оси) в момент удара равны нулю, поэтому можем воспользоваться законом сохранения момента импульса
Момент импульса системы до удара равен моменту импульса пули относительно точки подвеса
Момент импульса системы после неупругого удара определится по формуле
,
где - момент инерции стержня относительно точки подвеса, - момент инерции пули, - угловая скорость стержня с пулей непосредственно после удара.
Решая после подстановки полученное уравнение, найдем
.
Воспользуемся теперь законом сохранения механической энергии. Приравняем кинетическую энергию стержня после попадания в него пули его потенциальной энергии в наивысшей точке подъема:
,
где - высота поднятия центра масс данной системы.
Проведя необходимые преобразования, получим
Угол отклонения стержня связан с величиной соотношением
.
Проведя вычисления, получим =0,1p=18 0 .
5. Определить ускорения тел и натяжения нити на машине Атвуда, предполагая, что (рис.5.20). Момент инерции блока относительно оси вращения равен I , радиус блока r . Массой нити пренебречь.
Расставим все силы, действующие на грузы и блок, и составим для них уравнения динамики
Если нет проскальзывания нити по блоку, то линейное и угловое ускорение связаны между собой соотношением
Решая эти уравнения, получим
После чего находим T 1 и T 2 .
6. К шкиву креста Обербека (рис.5.21) прикреплена нить, к которой подвешен груз массой M
= 0,5 кг. Определить за какое время груз опускается с высоты h
=1 м до нижнего положения. Радиус шкива r
=3 см. На кресте укреплены четыре груза массой m
=250 г каждый на расстоянии R
= 30 см от его оси. Моментом инерции самого креста и шкива пренебречь по сравнению с моментом инерции грузов.
Механической энергией называют способность тела или системы тел совершать работу . Различают два вида механической энергии: кинетическая и потенциальная энергии.
Кинетическая энергия поступательного движения
Кинетической называетсяэнергия, обусловленная движением тела. Она измеряется работой, которую совершает равнодействующая сила, чтобы разогнать тело из состояния покоя до данной скорости.
Пусть тело массой m
начинает двигаться под действием
равнодействующей силы.
Тогда элементарная работаdA
равнаdA
=
F
·
dl
·
cos.
В данном случае направление силы и
перемещения совпадают. Поэтому= 0,cos = 1
иdl
=
·
dt
,
где
- скорость, с которой движется тело в
данный момент времени. Эта сила сообщает
телу ускорение
По второму закону НьютонаF
= ma =
Поэтому
и полная работаА
на путиl
равна:
Согласно определению,
W
k
= A
, поэтому
(6)
Из формулы (6) следует, что значение кинетической энергии зависит от выбора системы отсчёта, поскольку скорости тел в различных системах отсчёта различны.
Кинетическая энергия вращательного движения
Пусть тело с моментом инерции I z вращается относительно осиz с некоторой угловой скоростью. Тогда из формулы (6), пользуясь аналогией между поступательным и вращательным движениями, получаем:
(7)
Теорема о кинетической энергии
Пусть тело массой
т
движется поступательно. Под действием
различных сил, приложенных к нему,
скорость тела изменяется от
до
Тогда работаА
этих сил равна
(8)
где W k 1 иW k 2 -кинетическая энергия тела в начальном и конечном состоянии. Соотношение (8) называетсятеоремой о кинетической энергии. Его формулировка:работа всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. Если тело одновременно участвует в поступательном и вращательном движениях, например, катится, то его кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии при этих движениях.
Консервативные и неконсервативные силы
Если на тело в каждой точке пространства действует какая-нибудь сила, то совокупность этих сил называют силовым полем или полем . Существует два вида полей - потенциальные и непотенциальные (или вихревые). В потенциальных полях на тела, помещённые в них, действуют силы, зависящие только от координат тел. Эти силы получили название консервативных или потенциальных . Они обладают замечательным свойством: работа консервативных сил не зависит от пути переноса тела и определяется только его начальным и конечным положением . Отсюда следует, что при движении тела по замкнутому пути (рис. 1) работа не совершается. Действительно, работа A на всём пути равна сумме работы A 1B2 , совершаемой на пути 1B2 , и работы A 2C1 на пути 2C1 , т.е. А = A 1B2 + A 2C1 . Но работа A 2C1 = –A 1C2 , так как движение происходит в противоположном направлении и A 1B2 = A 1C2 . Тогда А = A 1B2 – A 1C2 = 0, что и требовалось доказать. Равенство нулю работы по замкнутому пути можно записать в виде
(9)
Значок " " на интеграле означает, что интегрирование производится по замкнутой кривой длиною l . Равенство (9) является математическим определением консервативных сил.
В макромире имеется всего лишь три
вида потенциальных силгравитационная, упругая и электростатическая
силы. К неконсервативным силам относятся
силы трения, называемыедиссипативными
.
В этом случае направления силы
и
всегда противоположны. Поэтому работа
этих сил по любому пути отрицательная,
вследствие чего тело непрерывно теряет
кинетическую энергию.
Задачи
1. Определить, во сколько раз эффективная масса больше тяготеющей массы поезда массой 4000 т, если масса колес составляет 15% от массы поезда. Колеса считать дисками диаметром 1,02 м. Как изменится ответ, если диаметр колес будет в два раза меньше?
2. Определить ускорение, с которым скатывается колесная пара массой 1200 кг с горки с уклоном 0,08. Колеса считать дисками. Коэффициент сопротивления качению 0,004. Определить силу сцепления колес с рельсами.
3. Определить, с каким ускорением закатывается колесная пара массой 1400 кг на горку с уклоном 0,05. Коэффициент сопротивления 0,002. Каким должен быть коэффициент сцепления, чтобы колеса не буксовали. Колеса считать дисками.
4. Определить, с каким ускорением скатывается вагон массой 40 т, с горки с уклоном 0,020, если у него восемь колес массой 1200 кг и диаметром 1,02 м. Определить силу сцепления колес с рельсами. Коэффициент сопротивления 0,003.
5. Определить силу давления тормозных колодок на бандажи, если поезд массой 4000 т тормозит с ускорением 0,3 м/с 2 . Момент инерции одной колесной пары 600 кг·м 2 , количество осей 400, коэффициент трения скольжения колодки 0,18, коэффициент сопротивления качению 0,004.
6. Определить силу торможения, действующую на четырехосный вагон массой 60 т на тормозной площадке сортировочной горки, если скорость на пути 30 м уменьшилась от 2 м/с до 1,5 м/с. Момент инерции одной колесной пары 500 кг·м 2 .
7. Скоростемер локомотива показал увеличение скорости поезда в течении одной минуты от 10 м/с до 60 м/c. Вероятно, произошло буксование ведущей колесной пары. Определить момент сил, действующих на якорь электродвигателя. Момент инерции колесной пары 600 кг·м 2 , якоря 120 кг·м 2 . Передаточное отношение зубчатой передачи 4,2. Сила давления на рельсы 200 кН, коэффициент трения скольжения колес по рельсу 0,10.
11. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ ВРАЩАТЕЛЬОГО
ДВИЖЕНИЯ
Выведем формулу кинетической энергии вращательного движения. Пусть тело вращается с угловой скоростью ω относительно неподвижной оси. Любая небольшая частица тела совершает поступательное движение по окружности со скоростью , где r i – расстояние до оси вращения, радиус орбиты. Кинетическая энергия частицы массы m i равна . Полная кинетическая энергия системы частиц равна сумме их кинетических энергий. Просуммируем формулы кинетической энергии частиц тела и вынесем за знак суммы половину квадрата угловой скорости, которая одинакова для всех частиц, . Сумма произведений масс частиц на квадраты их расстояний до оси вращения является моментом инерции тела относительно оси вращения . Итак, кинетическая энергия тела, вращающегося относительно неподвижной оси, равна половине произведения момента инерции тела относительно оси на квадрат угловой скорости вращения :
С помощью вращающихся тел можно запасать механическую энергию. Такие тела называются маховиками. Обычно это тела вращения. Известно с древности применение маховиков в гончарном круге. В двигателях внутреннего сгорания во время рабочего хода поршень сообщает механическую энергию маховику, который затем три последующих такта совершает работу по вращению вала двигателя. В штампах и прессах маховик приводится во вращение сравнительно маломощным электродвигателем, накапливает механическую энергию почти в течение полного оборота и в кратковременный момент удара отдает ее на работу штампования.
Известны многочисленные попытки применения вращающихся маховиков для привода в движение транспортных средств: легковых автомобилей, автобусов. Их называют махомобили, гировозы. Таких экспериментальных машин было создано немало. Было бы перспективно применять маховики для аккумулирования энергии при торможении электропоездов с целью использования накопленной энергии при последующем разгоне. Известно, что маховичный накопитель энергии используется на поездах метрополитена Нью-Йорка.
Загрузка...
