7.1. Многообразие геометрических форм в природе . На уроках математики вы уже познакомились с некоторыми геометрическими фигурами. Под фигурой понимают любую совокупность (множество) точек. Всякую сложную фигуру можно разделить на более простые.
Если все точки фигуры лежат в одной плоскости, фигуру называют плоской: треугольник, квадрат и др. Совокупность точек, расположенных в пространстве, образует пространственную фигуру: куб, цилиндр и др. Фигуры в пространстве называют телами.
Предметы, которые нас окружают, детали машин имеют, как правило, сложную реальную геометрическую форму. Однако, присмотревшись к ним внимательно, можно заметить, что некоторые из них состоят из одного или нескольких простых геометрических тел или их видоизмененных частей. Такими геометрическими телами, образующими форму предметов, являются призмы (рис. 22, а), пирамиды (рис. 22, б), цилиндры (рис. 23, а), конусы (рис. 23, б), шары и др.
Рис. 22
Рис. 23
Форма каждого геометрического тела имеет свои характерные признаки. По ним мы отличаем призму от цилиндра, пирамиду от конуса и т. п. Эти признаки используются и при построении чертежей геометрических тел или состоящих из них предметов и деталей. Однако, прежде чем выполнять такие чертежи, выясним, какие правила положены в основу способов их построения.
- Какие геометрические тела вам известны?
- Посмотрите вокруг себя и найдите в форме окружающих предметов простые геометрические тела.
7.2. Общие сведения о проецировании . Изображения предметов на чертежах в соответствии с правилами государственного стандарта выполняют по способу (методу) прямоугольного проецирования. Проецированием будем называть процесс получения проекций предмета.
Рассмотрим пример. Возьмем в пространстве произвольную точку А и какую-нибудь плоскость. Обозначим эту плоскость, например, прописной буквой П (пи) греческого алфавита с индексом один - т. е. П 1 (рис. 24). Проведем через точку А прямую так, чтобы она пересекла плоскость П 1 в некоторой точке А". Тогда точка А" будет проекцией точки А. Проекции точек будем обозначать теми же буквами, что и сами точки, но со штрихом. Плоскость, на которой получается проекция, называется плоскостью проекций . Прямая АА" называется проецирующим лучом . С его помощью точка А проецируется на плоскость П 1 .
Рис. 24
Примечание. Существуют и другие обозначения проекций точек - A 1 , A 2 , А 3 - и плоскостей проекций - Н, V, W.
Указанным способом могут быть построены проекции всех точек любой фигуры. Так, чтобы получить проекцию А"B" отрезка АВ прямой (рис. 25, а), необходимо провести проецирующие лучи через две точки отрезка - А и В. При этом, если прямая или ее отрезок совпадают по направлению с проецирующим лучом (отрезок CD на рис. 25, б), они проецируются на плоскость проекций в точку. На изображениях проекции совпадающих точек обозначают знаком =, например: C = D", как на рисунке 25, б.
Рис. 25
Для построения проекции какой-либо фигуры необходимо через ее точки провести воображаемые проецирующие лучи до пересечения их с плоскостью проекций. Проекции всех точек фигуры на плоскости и образуют проекцию заданной фигуры.
Рассмотрим, например, получение проекции такой геометрической фигуры, как треугольник (рис. 26).
Рис. 26
Проекцией точки А на заданную плоскость П 1 будет точка А" как результат пересечения проецирующего луча АА" с плоскостью проекций. Проекциями точек Б и С будут точки В" и С. Соединив на плоскости точки А", В" и С отрезками прямых, получим фигуру А"В"С, которая и будет проекцией заданной фигуры.
В дальнейшем под термином проекция мы будем понимать изображение предмета на плоскости проекций.
Слово «проекция» латинское. В переводе оно означает «бросать (отбрасывать) вперед».
Положите на бумагу какой-нибудь плоский предмет и обведите его карандашом. Вы получите изображение, соответствующее проекции этого предмета. Примерами проекций являются фотографические снимки, кинокадры и др.
Изображения предметов, полученные путем проецирования, будем называть проекционными.
- Что представляет собой проецирование?
- Как строить на плоскости проекцию точки? проекцию фигуры?
7.3. Центральное и параллельное проецирование . Если проецирующие лучи, с помощью которых строится проекция предмета, исходят из одной точки, проецирование называется центральным (рис. 27). Точка, из которой исходят лучи, называется центром проецирования . Полученная при этом проекция называется центральной.
Рис. 27
Центральную проекцию часто называют перспективной. Примерами центральной проекции являются фотоснимки и кинокадры, тени, отброшенные от предмета лучами электрической лампочки, и др. Центральные проекции применяют в рисовании с натуры.
Если проецирующие лучи параллельны друг другу (рис. 28), то проецирование называется параллельным , а полученная проекция - параллельной . Параллельной проекцией можно условно считать солнечные тени предметов. Примеры параллельного проецирования приведены на рисунках 25, а и 26.
Рис. 28
Строить изображение предмета при параллельном проецировании проще, чем при центральном. Так, если отрезок АВ (рис. 28) или любая плоская фигура, как, например, на рисунке 29, параллельны плоскости проекций, то их проекции и сами проецируемые фигуры равны.
Рис. 29
При параллельном проецировании все лучи падают на плоскость проекций под одинаковым углом. Если это любой угол, который не равен 90°, как на рисунке 29, а или на рисунке 25, а, то проецирование называется косоугольным.
В том случае, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций (см. рис. 29, б), т. е. составляют с ней угол 90°, проецирование называется прямоугольным (см. рис. 26). Полученная при этом проекция называется прямоугольной .
- Какое проецирование называется центральным? параллельным? косоугольным? прямоугольным?
- Почему строить изображение в параллельной проекции проще, чем в центральной?
7.4. Получение аксонометрических проекций. В технической графике особую группу составляют проекции, которые получены путем параллельного проецирования предмета вместе с осями х, у и z пространственной системы прямоугольных координат на произвольную плоскость (рис. 30). Обозначим ее П 0 . Полученную таким образом проекцию на плоскости П 0 называют аксонометрической . В зависимости от направления проецирования по отношению к плоскости проекций аксонометрические проекции могут быть как прямоугольными, так и косоугольными.
Рис. 30
Слово «аксонометрия» - греческое. В переводе оно означает «измерение по осям».
Проекции х 0 , у 0 и z 0 осей координат на плоскости проекций называют аксонометрическими . Когда строят аксонометрические проекции предметов, размеры откладывают по осям или параллельно им.
Аксонометрические проекции относят к числу наглядных изображений. По ним можно легко получить общее представление о внешней форме предмета.
Однако на аксонометрических проекциях предметы получаются с искажениями. Например, окружности проецируются в эллипсы, прямые углы - в тупые или острые. Искажаются и некоторые размеры предмета. Поэтому такие проекции применяют в основном при выполнении технических рисунков.
Для получения изображений на чертежах используют метод прямоугольного проецирования на одну, две и более плоскости проекций.
- Какие проекции называют аксонометрическими?
- Какие аксонометрические проекции получаются в зависимости от направления проецирования?
2) *если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции
3) если проецирующие лучи исходят из одной точки
4) если проецирующие лучи направлены в разные стороны
Как иногда называют центральную проекцию?
1) косоугольной
2) *перспективой
3) прямоугольной
4) параллельной
10. Плоскость, расположенную перед зрителем называют:
1) горизонтальной
2) профильной
3) *фронтальной
4) центральной
Какое проецирование называется центральным?
1) если проецирующие лучи параллельны друг другу
2) *если проецирующие лучи исходят из одной точки
3) если проецирующие лучи перпендикулярны
4) если проецирующие лучи расходятся
Что называют сечением?
1) проецирование фигуры, полученной пересечением предмета плоскостью
2) *изображение фигуры, полученной пересечением предмета плоскостью
3) отображение фигуры, полученной пересечением предмета плоскостью
4) геометрическая фигура, полученная соединением
13. Какое изображение называют разрезом:
1) *изображение предмета, мысленно рассеченного плоскостью
2) отображение фигуры
3) проецирование предмета, мысленно рассеченного плоскостью
4) изображение фигуры, соединенной с плоскостью
Какой разрез называется местным?
1) *разрез, позволяющий показать внутреннее строение нужной нам части детали
2) разрез, позволяющий показать внешнее строение детали
3) разрез, позволяющий показать половину детали
4) разрез, выполненный по плоскости симметрии детали
Какой линией на чертежах разделяют часть вида и часть разреза?
1) штриховой линией
2) толстой линией
3) тонкой линией
4) *штрихпунктирной линией
16. Прямоугольная изометрическая проекция выполняется в осях, расположенных под углами друг к другу:
1) *120, 120, 120 градусов
2) 135, 135, 90 градусов
3) 180, 90, 90 градусов
4) 130, 130, 100 градусов
17. Какую линейку используют для вычерчивания эллипса:
1) рейсшина
2) *лекала
3) угольник
4) транспортир
18. В результате пересечения конуса плоскостью, параллельной его основанию, получается:
1) усеченная пирамида
2) усеченный треугольник
3) *усеченный конус
4) усеченный круг
19. Тело, образованное при вращении круга вокруг одного из его диаметров, называют:
1) треугольником
2) конусом
4) эллипсом
20. Согласно ГОСТ 2.312-72 условный знак обозначает:
1) шов по замкнутому контуру
2) *шов со снятым усилением
3) прерывистый шов с шахматным расположением участков
4) шов, имеющий плавный переход к основному металлу
Б5. Электротехника с основами промышленной электроники
На каком законе базируется принцип работы сварочных трансформаторов?
1) *на законе электромагнитной индукции
2) на законе Ома, где I=U/R
3) на законе магнитной цепи
4) на законе Кирхгофа
Какие трансформаторы позволяют плавно изменять напряжение на выходных зажимах?
1) силовые трансформаторы
2) измерительные трансформаторы
3) автотрансформаторы
4) *сварочные трансформаторы
3. Электронные устройства, преобразующие постоянное напряжение в переменное, называются:
1) выпрямителями
2) *инверторами
3) конверторами
4) трансформаторы
Какой ток называют постоянным?
1) ток изменяющийся по величине и направлению
2) *ток не изменяющийся по величине и направлению
3) ток изменяющийся по величине
4) ток изменяющийся по направлению
1. Центральное проецирование (рис. 1.1). Считается, что проецирование производится с помощью прямолинейных лучей, исходящих из одной точки пространства - центра проецирования.
Такое проецирование является необратимым: точка пространства определяет положение её проекции, в то время как проекция точки не определяет положение этой точки в пространстве, так как проекция может принадлежать одновременно множеству точек, расположенных на проецирующем луче.
2. Параллельное проецирование. Проецирование производится с помощью параллельных лучей. При этом подразумевается, что плоскость проекций может составлять с проецирующими лучами любой угол. Этот вид проецирования является также необратимым.
3. Прямоугольное проецирование . Этот способ является частным случаем параллельного проецирования, когда проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. Этот вид проецирования принят в машиностроении для построения изображений на чертеже. Однако необратимость проецирования сохраняется.
1.5. Свойства ортогонального проецирования
1. Любая точка пространства имеет на заданной плоскости единственную проекцию.
2. Проекция прямой линии на плоскость есть прямая линия.
3. Если некоторая точка принадлежит некоторой прямой, то и проекция заданной точки принадлежит проекции заданной прямой.
4. Если точка в пространстве делит отрезок в данном отношении, то проекция этой точки делит проекцию заданного отрезка в том же отношении.
5. Проекции параллельных прямых линий – параллельны.
6. При параллельном переносе плоскостей проекций (или фигуры) проекция фигуры не изменяется.
7. Точка пересечения проекций пересекающихся прямых является проекцией точки пересечения этих прямых.
8. Если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна данной плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость без искажения.
9. Длина отрезка, в общем случае, больше длины его проекции.
10.Если плоскость окружности не параллельна плоскости проекций, то проекция этой окружности есть эллипс.
11.Геометрическую фигуру называют проецирующей, если одна из её проекций имеет на единицу меньшее измерение. Например, прямая линия, перпендикулярная плоскости проекций, проецируется на неё в виде точки (рис. 1.2).
1.6. Разновидности графических задач
Все графические задачи, встречающиеся при построении и чтении изображений, условно можно разделить на следующие группы.
ПЗ - позиционные задачи, которые связаны с определением по чертежу взаимного расположения геометрических фигур и их элементов (точек и линий):
ПЗ.1 - разновидность позиционных задач, связанных с определением по чертежу порядка взаимного расположения объектов проецирования:левее, правее, дальше, ближе, выше, ниже.
ПЗ.2 - задачи, связанные с определением по чертежу принадлежности геометрическим фигурам их элементов: точек или линий.
ПЗ.3 - задачи, связанные с определением по чертежу результатов взаимного пересечения геометрических фигур. Эти задачи получили название: главные позиционные задачи (ГПЗ ).
МЗ - метрические задачи, которые связаны с определением по чертежу мерных характеристик проецируемых объектов (длин, расстояний, величин углов, площадей).
Всё многообразие МЗ решается с использованием двух базовых задач, получивших название основных метрических задач (ОМЗ ):
ОМЗ.1 -задачи на определение по чертежу длины отрезка.
ОМЗ.2 -задачи на определение по чертежу перпендикулярности прямых линий между собой.
КомЗ - комплексные задачи, содержащие в себе несколько задач, как позиционных, так и метрических.
КонЗ - конструктивные задачи, которые связаны с построением чертежа геометрических фигур и их элементов, отвечающих определённым заданным конструктивным условиям (например, построить чертёж поверхности, все точки которой равноотстояли бы от заданной прямой линии).
Проекцией точки А на плоскость проекций π 1 называется точка А 1 пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций π 1 , проходящей через точку А, (рис. 1.1):
Проекция любой геометрической фигуры есть множество проекций всех ее точек. Направление проецирующих прямых и положение плоскостей π 1 определяют аппарат проецирования.
Центральным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие лучи исходят из одной точки S - центра проецирования (рис. 1.2).
Параллельным проецированием называют такое проецирование, при котором все проецирующие прямые параллельны заданному направлению S (рис. 1.3).
.
Рис. 1.1. Проекция точки А на плоскость проекций π 1
.
Рис. 1.2. Пример центрального проецирования
.
Рис. 1.3. Пример параллельного проецирования
Параллельное проецирование представляет собой частный случай центрального проецирования, когда точка S находится на бесконечно большом расстоянии от плоскости проекций π 1 .
При заданном аппарате проецирования каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций.
Одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Действительно, проекции А 1 может соответствовать бесчисленное множество точек А ’ , А ’’ , …, расположенных на проецирующей прямой (рис. 1.4).
Для определения положения точки в пространстве при любом аппарате проецирования необходимо иметь две ее проекции, полученных при двух различных направлениях проецирования (или при двух различных центрах проецирования).
.
Рис. 1.4. Пример расположения множества точек на проецирующей прямой
Так, из рис. 1.5 видно, что две проекции точки А (А 1 и А 2), полученные при двух направлениях проецирования S 1 и S 2 , определяют единственным образом положение самой точки А в пространстве - как пересечение проецирующих прямых 1 и 2 , проведенных из проекций А 1 и А 2 параллельно направлениям проецирования S 1 и S 2 .
.
Рис. 1.5. Определение положения точки А в пространстве
Предлагаем вашему вниманию журналы, издающиеся в издательстве «Академия Естествознания»
Изображения на плоскости получают методом проецирования . Аппарат проецирования представлен на рисунке 1.
Рисунок 1. Аппарат проецирования
Объект проецирования — точка А . Через точку А проходит проецирующий луч i с направлением к картинной плоскости, называемой плоскостью проекций . Точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций называется проекцией точки . Обозначение проекции точки должно содержать индекс плоскости проекций. Например, при проецировании на плоскость П n проекция точки будет обозначена — А n .
Виды проецирования
Различают центральное и параллельное проецирование . В первом случае источник лучей находится в обозримом пространстве — точка S собственная, во втором — источник лучей расположен в бесконечности. Схемы центрального и параллельного проецирования приведены соответственно на рисунках 2 и 3. Модель центрального проецирования — пирамида (рисунок 4) или конус; модель параллельного проецирования — призма (рисунок 5) или цилиндр.
Рисунок 2. Схема центрального проецирования
Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое однозначно не определяет форму и размеры предмета. На рисунке 1 проекция точки А — Аn не определяет положение самой точки в пространстве, поскольку по одной проекции невозможно определить расстояние, на котором точка находится от плоскости П . Наличие только одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях, когда невозможно воспроизвести пространственный образ (оригинал) предмета, говорят о необратимости чертежа.
Рисунок 3. Схема параллельного проецирования
Рисунок 4. Модель центрального проецирования (пирамида)
Рисунок 5. Модель параллельного проецирования (призма)
Для исключения неопределенности объекты проецируют на две, три и более плоскостей проекций. Ортогональное проецирование на две плоскости предложил французский геометр Гаспар Монж (ХVIII век). Метод Монжа представлен на рисунке 6,а,б,в (а — наглядное изображение точки в двугранном угле, б — комплексный чертеж точки, в — восстановление объекта, точки А, в пространстве по ее проекциям).
Рисунок 6. Проецирование точки:
а — образование проекций пространственной точки А;
б — чертеж точки А;
в — восстановление пространственного образа точки А по проекциям А1 и А2
Инвариантные свойства параллельных проекций:
- проекция точки есть точка;
- проекция прямой в общем случае прямая;
- проекции взаимно параллельных прямых в общем случае — параллельные прямые;
- проекции пересекающихся прямых — пересекающиеся прямые, при этом точки пересечения проекций прямых лежат на одном перпендикуляре к оси проекций;
- если плоская фигура занимает положение, параллельное плоскости проекций, то она проецируется на эту плоскость в конгруэнтную фигуру.
Различают косоугольные и прямоугольные параллельные проекции. Если проецирующие лучи направлены к плоскости проекций под углом, отличным от прямого, то проекции называют косоугольными. Если проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости проекций, то полученные проекции называют прямоугольными. Для прямоугольных проекций используют термин ортогональные от греческого ortos — прямой.
При ортогональном проецировании в пространство вводят две или три взаимно перпендикулярные плоскости, которым присваивают следующие названия и обозначения:
- горизонтальная плоскость проекций — П1
- фронтальная плоскость проекций — П2
- профильная плоскость проекций — П3
Плоскости проекций бесконечны и, пересекаясь, делят пространство на восемь частей — октантов, как показано на рисунке 7.
Рисунок 7. Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций П1, П2 и П3 делят пространство на восемь частей (октантов)
В практике построения изображений чаще всего используют первый октант, который далее будем называть трехгранным углом. Наглядное изображение трехгранного угла приведено на рисунке 8.
Рисунок 8. Трехгранный угол, первый октант
При пересечении плоскостей проекций образуются прямые линии - оси проекций:
Ось X (икс) — ось абсцисс ось Y (игрек) — ось ординат Ось Z (зет) — ось аппликат
Если оси проградуировать, то получится координатная система, в которой легко построить объект по заданным координатам. Система прямоугольных координат была предложена Декартом (ХVIIIв.). Ортогональным проекциям присущи все свойства параллельных проекций. На рисунке 9 показано преобразование трехгранного угла и образование комплексного чертежа точки А .
Рисунок 9. Преобразование трехгранного угла и образование чертежа точки в трех проекциях
а — наглядное изображение, б — развертка трехгранного угла, в — чертеж точки
На рисунке 10 приведен комплексный чертеж прямого кругового конуса, отмечена точка S — вершина конуса. Оси проекций X, Y, Z не показаны, что часто используется в практике построения чертежей .
Загрузка...
