Практическая работа №16 (естественно-научный профиль)

Тема: «Исследование функций с помощью производной»

Цели: научиться проводить исследование функции с помощью производной и.строить графики функций; закрепить основные признаки возрастания (убывания) функции, условия существования точек экстремума; проводить исследование функции по графику производной.

Краткая теоретическая справка

1. Находим D(f) функции y = f ( x ).

2. Проверяем функцию на четность.

Если f (- x ) = f ( x ), то функция четная, график функции симметричен относительно оси OY.

Если f (- x ) = - f ( x ), то функция нечетная, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

В противном случае функция является ни четной, ни нечетной.

3. Если функция периодическая , то находим период функции.

4. Находим точки пересечения графика с осями координат.

Находим нули функции - это точки пересечения графика функции с осью абсцисс (O x ).

Для этого мы решаем уравнение f ( x ) = 0.

Находим точку пересечения графика функции с осью ординат (O y ). Для этого ищем значение функции при x =0 .

5. Находим промежутки знакопостоянства функции , то есть промежутки, на которых функция сохраняет знак. Это нам потребуется для контроля правильности построения графика.

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нам нужно решить неравенства f ( x ) >0 и f ( x ) <0 .

6. Исследуем функцию с помощью производной: находим промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и минимума .

Для этого мы следуем привычному алгоритму.

а) Находим производную

б) Приравниваем производную к нулю и находим корни уравнения

Это стационарные точки.

в) Находим промежутки знакопостоянства производной. Промежутки, на которых производная положительна , являются промежутками возрастания функции .

Промежутки, на которых производная отрицательна , являются промежутками убывания функции .

Точки, в которых производная меняет знак с плюса на минус , являются точками максимума .

Точки, в которых производная меняет знак с минуса на плюс , являются точками минимума .

7. Найти значения функции в точках экстремума.

8. По данным исследования построить график функции .

Пример 1. Исследовать функцию и по результатам исследования построить график.

Решение.

1) D (f ): R

2) Проверим функцию на чётность/нечётность:

Значит, данная функция не является чётной или нечётной.

3) Функция непериодическая.

4) Нули функции.

С осью О y :

Чтобы найти точки пересечения с осью Ox (нули функции) требуется решить уравнение f ( x ) = 0 :

5) Таким образом, на интервалах график расположен ниже оси абсцисс f ( x )<0 , а на интервалах – выше данной оси f ( x ) >0 .

6) Возрастание, убывание.

Найдём критические точки:

Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:
1

Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
7). Экстремумы функции

точка максимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «+» на «-»

. точка минимума, так как при переходе через нее производная меняет знак с «-» на «+».

8).

: .

9) Строим график функции.

Пример 2. , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение. На отрезке [-7;-3] график производной расположен ниже оси Ох, это означает, что, то есть сама функция на данном отрезке монотонно убывает. Таким образом, убывающая функция принимает наибольшего значения на левом конце промежутка, то есть в точке x =-7.

Ответ. -7.

Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

Найти производную функции.

Определить критические точки (те точки, в которых производная функции обращается в ноль или не существует).

Выбрать из найденных точек те, которые принадлежат данному отрезку.

Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках и на концах отрезка.

Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 3. Найдите наименьшее значение функции y = x 3 – 18 x 2 + 81 x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

y’ = 3 x 2 – 36 x + 81.

y’ = 3 x 2 – 36 x + 81 = 0

x 2 – 12 x + 27 = 0,

x = 3 и x = 9

x = 9 .

y = x 3 – 18 x 2 + 81 x + 23 = x ( x -9) 2 +23:

• y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;

  y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;

  y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Ответ. ;

Порядок выполнения работы.

Внимательно изучите теоретическую справку по теме.

Решите следующие задания по учебнику №9.40А(2в, 2г), №9.41Б(1в) , № 9.44А(2), №9.43А(6)

Выполните разбор примеров 3-7.

Пример 4. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Пример 5. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек экстремума функции на отрезке .

Пример 6. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Пример 7. , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Пример 8. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции на отрезке .

Пример 9. На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Задание на дом:

№9.40А(2а,2б), №9.44А(1) №9.41Б(1а,1б) , № 9.44А(2)

№9.43А(1-5), №9.44А(3) №9.45А(1-4) №9.44А(9)

Выполните самостоятельно по вариантам.

Как исследовать функцию и построить её график?

Похоже, я начинаю понимать одухотворённо-проникновенный лик вождя мирового пролетариата, автора собрания сочинений в 55 томах…. Нескорый путь начался элементарными сведениями о функциях и графиках , и вот сейчас работа над трудоемкой темой заканчивается закономерным результатом – статьёй о полном исследовании функции . Долгожданное задание формулируется следующим образом:

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и на основании результатов исследования построить её график

Или короче: исследовать функцию и построить график.

Зачем исследовать? В простых случаях нас не затруднит разобраться с элементарными функциями, начертить график, полученный с помощью элементарных геометрических преобразований и т.п. Однако свойства и графические изображения более сложных функций далеко не очевидны, именно поэтому и необходимо целое исследование.

Основные этапы решения сведены в справочном материале Схема исследования функции , это ваш путеводитель по разделу. Чайникам требуется пошаговое объяснение темы, некоторые читатели не знают с чего начать и как организовать исследование, а продвинутым студентам, возможно, будут интересны лишь некоторые моменты. Но кем бы вы ни были, уважаемый посетитель, предложенный конспект с указателями на различные уроки в кратчайший срок сориентирует и направит Вас в интересующем направлении. Роботы прослезились =) Руководство свёрстано в виде pdf-файла и заняло заслуженное место на странице Математические формулы и таблицы .

Исследование функции я привык разбивать на 5-6 пунктов:

6) Дополнительные точки и график по результатам исследования.

На счёт заключительного действия, думаю, всем всё понятно – будет очень обидно, если в считанные секунды его перечеркнут и вернут задание на доработку. ПРАВИЛЬНЫЙ И АККУРАТНЫЙ ЧЕРТЁЖ – это основной результат решения! Он с большой вероятностью «прикроет» аналитические оплошности, в то время как некорректный и/или небрежный график доставит проблемы даже при идеально проведённом исследовании.

Следует отметить, что в других источниках количество пунктов исследования, порядок их выполнения и стиль оформления могут существенно отличаться от предложенной мной схемы, но в большинстве случаев её вполне достаточно. Простейшая версия задачи состоит всего из 2-3 этапов и формулируется примерно так: «исследовать функцию с помощью производной и построить график» либо «исследовать функцию с помощью 1-й и 2-й производной, построить график».

Естественно – если в вашей методичке подробно разобран другой алгоритм или ваш преподаватель строго требует придерживаться его лекций, то придётся внести некоторые коррективы в решение. Не сложнее, чем заменить вилку бензопилой ложкой.

Проверим функцию на чётность/нечётность:

После чего следует шаблонная отписка:
, значит, данная функция не является чётной или нечётной.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют.

Нет и наклонных асимптот.

Примечание : напоминаю, что более высокого порядка роста , чем , поэтому итоговый предел равен именно «плюс бесконечности».

Выясним, как ведёт себя функция на бесконечности:

Иными словами, если идём вправо, то график уходит бесконечно далеко вверх, если влево – бесконечно далеко вниз. Да, здесь тоже два предела под единой записью. Если у вас возникли трудности с расшифровкой знаков , пожалуйста, посетите урок о бесконечно малых функциях .

Таким образом, функция не ограничена сверху и не ограничена снизу . Учитывая, что у нас нет точек разрыва, становится понятна и область значений функции : – тоже любое действительное число.

ПОЛЕЗНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ ПРИЁМ

Каждый этап задания приносит новую информацию о графике функции , поэтому в ходе решения удобно использовать своеобразный МАКЕТ. Изобразим на черновике декартову систему координат. Что уже точно известно? Во-первых, у графика нет асимптот, следовательно, прямые чертить не нужно. Во-вторых, мы знаем, как функция ведёт себя на бесконечности. Согласно проведённому анализу, нарисуем первое приближение:

Заметьте, что в силу непрерывности функции на и того факта, что , график должен, по меньшей мере, один раз пересечь ось . А может быть точек пересечения несколько?

3) Нули функции и интервалы знакопостоянства.

Сначала найдём точку пересечения графика с осью ординат. Это просто. Необходимо вычислить значение функции при :

Полтора над уровнем моря.

Чтобы найти точки пересечения с осью (нули функции) требуется решить уравнение , и тут нас поджидает неприятный сюрприз:

В конце притаился свободный член, который существенно затрудняет задачу.

Такое уравнение имеет, как минимум, один действительный корень, и чаще всего этот корень иррационален. В худшей же сказке нас поджидают три поросёнка. Уравнение разрешимо с помощью так называемых формул Кардано , но порча бумаги сопоставима чуть ли не со всем исследованием. В этой связи разумнее устно либо на черновике попытаться подобрать хотя бы один целый корень. Проверим, не являются ли оными числа :
– не подходит;
– есть!

Здесь повезло. В случае неудачи можно протестировать ещё и , а если и эти числа не подошли, то шансов на выгодное решение уравнения, боюсь, очень мало. Тогда пункт исследования лучше полностью пропустить – авось станет что-нибудь понятнее на завершающем шаге, когда будут пробиваться дополнительные точки. И если таки корень (корни) явно «нехорошие», то об интервалах знакопостоянства лучше вообще скромно умолчать да поаккуратнее выполнить чертёж.

Однако у нас есть красивый корень , поэтому делим многочлен на без остатка:

Алгоритм деления многочлена на многочлен детально разобран в первом примере урока Сложные пределы .

В итоге левая часть исходного уравнения раскладывается в произведение:

А теперь немного о здоровом образе жизни. Я, конечно же, понимаю, что квадратные уравнения нужно решать каждый день, но сегодня сделаем исключение: уравнение имеет два действительных корня .

На числовой прямой отложим найденные значения и методом интервалов определим знаки функции:


ог Таким образом, на интервалах график расположен
ниже оси абсцисс , а на интервалах – выше данной оси .

Полученные выводы позволяют детализировать наш макет, и второе приближение графика выглядит следующим образом:

Обратите внимание, что на интервале функция обязательно должна иметь хотя бы один максимум, а на интервале – хотя бы один минимум. Но сколько раз, где и когда будет «петлять» график, мы пока не знаем. К слову, функция может иметь и бесконечно много экстремумов .

4) Возрастание, убывание и экстремумы функции.

Найдём критические точки:

Данное уравнение имеет два действительных корня . Отложим их на числовой прямой и определим знаки производной:


Следовательно, функция возрастает на и убывает на .
В точке функция достигает максимума: .
В точке функция достигает минимума: .

Установленные факты загоняют наш шаблон в довольно жёсткие рамки:

Что и говорить, дифференциальное исчисление – штука мощная. Давайте окончательно разберёмся с формой графика:

5) Выпуклость, вогнутость и точки перегиба.

Найдём критические точки второй производной:

Определим знаки :


График функции является выпуклым на и вогнутым на . Вычислим ординату точки перегиба: .

Практически всё прояснилось.

6) Осталось найти дополнительные точки, которые помогут точнее построить график и выполнить самопроверку. В данном случае их мало, но пренебрегать не будем:

Выполним чертёж:

Зелёным цветом отмечена точка перегиба, крестиками – дополнительные точки. График кубической функции симметричен относительно своей точки перегиба, которая всегда расположена строго посередине между максимумом и минимумом.

По ходу выполнения задания я привёл три гипотетических промежуточных чертежа. На практике же достаточно нарисовать систему координат, отмечать найденные точки и после каждого пункта исследования мысленно прикидывать, как может выглядеть график функции. Студентам с хорошим уровнем подготовки не составит труда провести такой анализ исключительно в уме без привлечения черновика.

Для самостоятельного решения:

Пример 2

Исследовать функцию и построить график.

Тут всё быстрее и веселее, примерный образец чистового оформления в конце урока.

Немало секретов раскрывает исследование дробно-рациональных функций:

Пример 3

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и на основании результатов исследования построить её график.

Решение : первый этап исследования не отличается чем-то примечательным, за исключением дырки в области определения:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой кроме точки , область определения : .

, значит, данная функция не является четной или нечетной.

Очевидно, что функция непериодическая.

График функции представляет собой две непрерывные ветви, расположенные в левой и правой полуплоскости – это, пожалуй, самый важный вывод 1-го пункта.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

а) С помощью односторонних пределов исследуем поведение функции вблизи подозрительной точки, где явно должна быть вертикальная асимптота:

Действительно, функции терпит бесконечный разрыв в точке ,
а прямая (ось ) является вертикальной асимптотой графика .

б) Проверим, существуют ли наклонные асимптоты:

Да, прямая является наклонной асимптотой графика , если .

Пределы анализировать смысла не имеет, поскольку и так понятно, что функция в обнимку со своей наклонной асимптотой не ограничена сверху и не ограничена снизу .

Второй пункт исследования принёс много важной информации о функции. Выполним черновой набросок:

Вывод №1 касается интервалов знакопостоянства. На «минус бесконечности» график функции однозначно расположен ниже оси абсцисс, а на «плюс бесконечности» – выше данной оси. Кроме того, односторонние пределы сообщили нам, что и слева и справа от точки функция тоже больше нуля. Обратите внимание, что в левой полуплоскости график, по меньшей мере, один раз обязан пересечь ось абсцисс. В правой полуплоскости нулей функции может и не быть.

Вывод №2 состоит в том, что функция возрастает на и слева от точки (идёт «снизу вверх»). Справа же от данной точки – функция убывает (идёт «сверху вниз»). У правой ветви графика непременно должен быть хотя бы один минимум. Слева экстремумы не гарантированы.

Вывод №3 даёт достоверную информацию о вогнутости графика в окрестности точки . О выпуклости/вогнутости на бесконечностях мы пока ничего сказать не можем, поскольку линия может прижиматься к своей асимптоте как сверху, так и снизу. Вообще говоря, есть аналитический способ выяснить это прямо сейчас, но форма графика «даром» прояснится на более поздних этапах.

Зачем столько слов? Чтобы контролировать последующие пункты исследования и не допустить ошибок! Дальнейшие выкладки не должны противоречить сделанным выводам.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.

График функции не пересекает ось .

Методом интервалов определим знаки :

, если ;
, если .

Результаты пункта полностью соответствуют Выводу №1. После каждого этапа смотрите на черновик, мысленно сверяйтесь с исследованием и дорисовывайте график функции.

В рассматриваемом примере числитель почленно делится на знаменатель, что очень выгодно для дифференцирования:

Собственно, это уже проделывалось при нахождении асимптот.

– критическая точка.

Определим знаки :

возрастает на и убывает на

В точке функция достигает минимума: .

Разночтений с Выводом №2 также не обнаружилось, и, вероятнее всего, мы на правильном пути.

Значит, график функции является вогнутым на всей области определения.

Отлично – и чертить ничего не надо.

Точки перегиба отсутствуют.

Вогнутость согласуется с Выводом №3, более того, указывает, что на бесконечности (и там и там) график функции расположен выше своей наклонной асимптоты.

6) Добросовестно приколотим задание дополнительными точками. Вот здесь придётся изрядно потрудиться, поскольку из исследования нам известны только две точки.

И картинка, которую, наверное, многие давно представили:

В ходе выполнения задания нужно тщательно следить за тем, чтобы не возникало противоречий между этапами исследования, но иногда ситуация бывает экстренной или даже отчаянно-тупиковой. Вот «не сходится» аналитика – и всё тут. В этом случае рекомендую аварийный приём: находим как можно больше точек, принадлежащих графику (сколько хватит терпения), и отмечаем их на координатной плоскости. Графический анализ найденных значений в большинстве случаев подскажет, где правда, а где ложь. Кроме того, график можно предварительно построить с помощью какой-нибудь программы, например, в том же Экселе (понятно, для этого нужны навыки).

Пример 4

Методами дифференциального исчисления исследовать функцию и построить её график.

Это пример для самостоятельного решения. В нём самоконтроль усиливается чётностью функции – график симметричен относительно оси , и если в вашем исследовании что-то противоречит данному факту, ищите ошибку.

Чётную или нечётную функцию можно исследовать только при , а потом пользоваться симметрией графика. Такое решение оптимально, однако выглядит, по моему мнению, весьма непривычно. Лично я рассматриваю всю числовую ось, но дополнительные точки нахожу всё же лишь справа:

Пример 5

Провести полное исследование функции и построить её график.

Решение : понеслась нелёгкая:

1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой: .

Значит, данная функция является нечетной, её график симметричен относительно начала координат.

Очевидно, что функция непериодическая.

2) Асимптоты, поведение функции на бесконечности.

Так как функция непрерывна на , то вертикальные асимптоты отсутствуют

Для функции, содержащей экспоненту, типично раздельное исследование «плюс» и «минус бесконечности», однако нашу жизнь облегчает как раз симметрия графика – либо и слева и справа есть асимптота, либо её нет. Поэтому оба бесконечных предела можно оформить под единой записью. В ходе решения используем правило Лопиталя :

Прямая (ось ) является горизонтальной асимптотой графика при .

Обратите внимание, как я хитро избежал полного алгоритма нахождения наклонной асимптоты: предел вполне легален и проясняет поведение функции на бесконечности, а горизонтальная асимптота обнаружилась «как бы заодно».

Из непрерывности на и существования горизонтальной асимптоты следует тот факт, что функция ограничена сверху и ограничена снизу .

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства.

Здесь тоже сокращаем решение:
График проходит через начало координат.

Других точек пересечения с координатными осями нет. Более того, интервалы знакопостоянства очевидны, и ось можно не чертить: , а значит, знак функции зависит только от «икса»:
, если ;
, если .

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.


– критические точки.

Точки симметричны относительно нуля, как оно и должно быть.

Определим знаки производной:


Функция возрастает на интервале и убывает на интервалах

В точке функция достигает максимума: .

В силу свойства (нечётности функции) минимум можно не вычислять:

Поскольку функция убывает на интервале , то, очевидно, на «минус бесконечности» график расположен под своей асимптотой. На интервале функция тоже убывает, но здесь всё наоборот – после перехода через точку максимума линия приближается к оси уже сверху.

Из вышесказанного также следует, что график функции является выпуклым на «минус бесконечности» и вогнутым на «плюс бесконечности».

После этого пункта исследования прорисовалась и область значений функции:

Если у вас возникло недопонимание каких-либо моментов, ещё раз призываю начертить в тетради координатные оси и с карандашом в руках заново проанализировать каждый вывод задания.

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

– критические точки.

Симметрия точек сохраняется, и, скорее всего, мы не ошибаемся.

Определим знаки :


График функции является выпуклым на и вогнутым на .

Выпуклость/вогнутость на крайних интервалах подтвердилась.

Во всех критических точках существуют перегибы графика. Найдём ординаты точек перегиба, при этом снова сократим количество вычислений, используя нечётность функции:

Цель урока: проверка умений и навыковисследования функций и построения графиков с помощью производной.

Теоретическая часть зачета.

Вопросы Определение точки минимума и точки максимума.

Определение критической точки.

Необходимое условие, чтобы точка х 0 была точкой экстремума.

Алгоритм нахождения критических точек функции.

Определение стационарных точек.

Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции).

Достаточные условия существования экстремума функции.

Достаточный признак возрастания, убывания функции.

Точки экстремума,экстремум функции.

Алгоритм нахождения экстремумов функции.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Теоретическая часть зачета

1) Определение точки минимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х 0 , то точка Х 0 называется точкой минимума функции f(х), если существует такая окрестность точки Х 0 ,что для всех хх 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х)>f(х 0).

Определение точки максимума.

Если функция определена в некоторой окрестности точки Х 0 , то точка Х 0 называется точкой максимума функции f(х),если существует такая окрестность точки Х 0 , что для всех х?х 0 из этой окрестности выполняется неравенство f(х)

2) Определение критических точек.

Критические точки – это внутренние точки области определения функции в которых производная не существует или равна нулю.

3) Необходимое условие, чтобы Х 0 была точкой экстремума : эта точка должна быть критической.

4) Алгоритм нахождения критических точек.

1. Найти область определения функции.

2. Найти производную функции.

3. Найти область определения производной данной функции.(Чтобы определить есть ли точки в которых производная не существует. Если такие точки есть, то проверить являются ли они внутренними точками области определения функции.

4. Найти точки, в которых производная равна нулю, решив уравнение: f "(х)=0.

Проверить являются ли найденные точки внутренними точками области определения функции.

5) Стационарные точки - точки, в которых производная функции равна нулю.

6) Теорема Ферма. (Необходимое условие экстремума функции.)

у=f(х)-функция, которая определена в некоторой окрестности точки Х 0 , и имеет производную в этой точке.

Теорема: если Х 0 -точка экстремума дифференцируемой функции f(х), то f "(х)=0.

7) Достаточные условия существования экстремума функции в точке.

y=f(х) определена на (а;в). Х 0 -критическая точка.

Если функция f непрерывна в точке Х 0 , а f "(х)>0 на интервале (а;х 0) и f "(х)<0 на интервале (х 0 ;в), то точка х 0 является точкой максимума функции f .

(Упрощенная формулировка: если в точке Х 0 производная меняет знак с “+” на “ _ ”, то Х 0 есть точка максимума .)

Если функция f непрерывна в точке Х 0 , а f "(х)<0 на интервале (а;X 0) и f "(х)>0 на интервале (X 0 ;в), то точка х 0 является точкой минимума функции f.

(Упрощенная формулировка: если в точке Х 0 производная меняет знак с “ _ ” на “+”, то Х 0 есть точка минимума .)

8) Достаточный признак возрастания, убывания функции .

Если f "(х)>0 для всех х из промежутка (а; в), то функция возрастает на промежутке (а; в).

Если f "(х)<0 для всех х из промежутка (а; в), то функция убывает на промежутке (а; в).

(Если функция непрерывна на конце промежутка, то его можно присоединить к промежутку возрастания (убывания) функции.)

9) Точки экстремума, экстремум функции.

Х 0 - точка максимума, Х 0 –точка минимума называются точками экстремума .

f(х 0) - максимум функции,

f(х 0) - минимум функции называются экстремумами функции .

10) Алгоритм нахождения экстремумов функции.

1. Находим область определения функции.

2. Находим производную функции.

3. Находим критические точки.

4. Определим знак производной на каждом из интервалов, на которые критические точки разбивают область определения.

5. Найдем точки экстремума, учитывая характер изменения знака производной.

6. Найдем экстремумы функций.

11) Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

1. Найти значения функции на концах отрезка [а; в].

2. Найти значения функции в тех критических точках, которые принадлежат интервалу (а; в).

3. Из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

Практическая часть зачета

“Исследование функций с помощью производной.

Наибольшее и наименьшее значения функций на отрезке”

а) критические точки функций,

б) экстремумы функций

в) наибольшее и наименьшее значения функций на указанном промежутке

г) построить график.

1. у=(х-3) 2 (х-2).		11. у=2х 4 -х.	[-1;1]
2. у=1/3х 3 +х 2	[-4;1]	12. у=х 2 -2/х.	[-3;-0,5]
3. у=1/3х 3 -х 2 -3х	[-2;6]	13. у=1/(х 2 +1).	[-1;2]
4. у=-1/4х 4 +2х 2 +1.	[-3;3]	14. у=3х-х 3 .	[-1,5;1,5]
5. у=х 4 -8х 2 -9.	[-3;3]	15. у=2х 2 -х 4 .	[-2;1,5]
6. у=(х-2)(х+1) 2 .	[-1,5;1,5]	16. у=3х 2/3 -х 2 .	[-8;8]
7. у=-2/3х 3 +2х-4/3.	[-1,5;1,5]	17. у=3х 1/3 -х.	[-8;8]
8. у=3х 5 -5х 4 +4.	[-1;1]	18. у=х 3 -1,5х 2 -6х+4.	[-2;3]
9. у=9х 2 -9х 3 .	[-0,5;1]	19. у=(1-х)/(х 2 +3).	[-2;5]
10. у=1/3х 3 -4х.	[-3;3]	20. у= -х 4 +2х 2 +3.	[-0,5;2]

МОУ средняя общеобразовательная школа № 18.

«Исследование функции с помощью производной».

Реферат по математике ко Дню науки.

Выполнила:

ученица 11”Б” класса

Бокарева Ирина Николаевна

Руководитель:

учитель математики

Батюкова Галина Викторовна.

Смоленск 2005

Введение. 3

Глава I. Развитие понятия функции. 4

Глава II. Основные свойства функции. 7

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и

область значений функции. Нули функции. 7

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические

функции). 8

2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы. 10

Глава III. Исследование функций. 12

3.1. Общая схема исследования функций. 12

3.2. Признак возрастания и убывания функций. 12

3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. 13

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции. 14

Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции. 15

Заключение. 22

Список литературы 23

Введение.

Изучение свойств функции и построение ее графика являются одним из самых замечательных приложений производной. Этот способ исследования функции неоднократно подвергался тщательному анализу. Основная причина состоит в том, что в приложениях математики приходилось иметь дело со все более и более сложными функциями, появляющимися при изучении новых явлений. Появились исключения из разработанных математикой правил, появились случаи, когда вообще созданные правила не годились, появились функции, не имеющие ни в одной точке производной.

Целью изучения курса алгебры и начал анализа в 10-11 классах является систематическое изучение функций, раскрытие прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций.

Выбрав тему реферата «Исследование функции с помощью производной» я поставила следующие задачи:

Систематизировать свои знания о функции, как важнейшей математической модели;

Усовершенствовать свое умение в применении дифференциального исчисления для исследования элементарных функций.

Развитие функциональных представлений в курсе изучения алгебры и начал анализа на старшей ступени обучения помогает старшеклассникам получить наглядные представления о непрерывности и разрывах функций, узнать о непрерывности любой элементарной функции на области ее применения, научиться строить их графики и обобщить сведения об основных элементарных функциях и осознать их роль в изучении явлений реальной действительности, в человеческой практики.

Работа над содержанием темы «Исследование функций с помощью производной» повысит уровень моей математической подготовки, позволит решать задачи более высокой сложности по сравнению с обязательным курсом.

Глава I. Развитие понятия функции.

Принципиально новая часть курса алгебры посвящена изучению начал анализа. Математический анализ – ветвь математики, оформившаяся в XVIII столетии и включающая в себя две основные части: дифференциальное и интегральное исчисления. Анализ возник благодаря усилиям многих математиков и сыграл громадную роль в развитии естествознания – появился мощный, достаточно универсальный метод исследования функций, возникающих при решении разнообразных прикладных задач. Знакомство с начальными понятиями и методами анализа – одна из важнейших целей курса.

Начиная с XVIII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.

Необходимые предпосылки к возникновению понятия функции были созданы, когда возникла аналитическая геометрия, характеризующаяся активным привлечением алгебры к решению геометрических задач.

Идея функциональной зависимости возникла в глубокой древности. Она содержится уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами, в первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур и геометрических тел.

Однако явное и вполне сознательное применение понятия функции и систематическое изучение функциональной зависимости берет свое начало в XVII веке в связи с проникновением в математику идеи переменных.

Четкого представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению проложил Декарт. Постепенно понятие функции стало отождествляться с понятием аналитического выражения – формулы.

Явное определение функции было впервые дано в 1718 году Иоганном Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных».

Леонард Эйлер во «Введении в анализ бесконечных» (1748) примыкает к определению своего учителя И.Бернулли, несколько уточняя его. Правда, он не всегда придерживался вышеуказанного определения. Эйлер придает более широкий смысл функции, понимая ее как кривую, начертанную «свободным влечением руки».

В «Дифференциальном исчислении», вышедшим в свет в 1755 году, Эйлер дает общее определение функции: «Когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых».

Большой вклад в решение споров внес Жан Батист Жозеф Фурье, который впервые привел примеры функций, которые заданы на различных участках различными аналитическими выражениями.

Во второй половине XIX века понятие функции формулируется следующим образом: если каждому элементу х множества А поставлен в соответствие некоторый определенный элемент у множества В , то говорят, что на множестве А задана функция y=f(x), или что множество А отображено на множество В.

Общее понятие функции применимо, конечно, не только к величинам и числам, но и к другим математическим объектам, например, к геометрическим фигурам.

Это общее определение функции сформировалось уже в XVIII веке и первой половине XIX века. Но уже с самого начала XX века это определение стало вызывать некоторые сомнения среди части математиков.

Дирак ввел так называемую дельта-функцию, которая выходила далеко за рамки классического определения функции.

Сергей Львович Соболев первым рассмотрел частный случай обобщенной функции, включающей и дельта-функцию, и применил созданную теорию к решению ряда задач математической физики.

Важный вклад в развитие теории обобщенных функций внесли ученики и последователи Л.Шварца – И.М.Гельфанд, Г.Е.Шилов и другие.

Краткий обзор развития понятия функции приводит к мысли о том, что эволюция еще далеко не закончена и, вероятно, никогда не закончится, кА никогда не закончится и эволюция математики в целом.

Глава II. Основные свойства функции.

2.1. Определение функции и графика функции. Область определения и область значений функции. Нули функции.

Умение изображать геометрически функциональные зависимости, заданные формулами, особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.

Как известно, функциональной зависимостью называют закон, по которому каждому значению величины х из некоторого множества чисел, называемого областью определения функции, ставится в соответствие одно вполне определенное значение величины у; совокупность значений, которые принимает зависимая переменная у, называется областью изменения функции.

Независимую переменную х называют также аргументом функции. Число у, соответствующее числу х, называют значением функции f в точке х и обозначают f(x).

Функцию можно задать тремя способами: аналитический, табличный, графический.

Аналитический – с помощью формул.

Табличный – с помощью таблиц, где можно указать значения функции, однако лишь для конечного набора значений аргумента.

Графический способ задания функции очень удобен: он дает возможность наглядно представить свойства функции.

Графиком функции f называют множество всех точек (х;у) координатной плоскости, где y=f(x), а х «пробегает» всю область определения функции f.

Пример 1 . Найти область определения функции y=lg (2x-3)

Ответ: D(y)=(1,5; +∞).

Одним из понятий для исследования функции является нули функции.

Нули функции – это точки, в которых функция принимает значение нуля.

Пример 2. Найти нули функции y=x 2 -5x.

По определению:

Ответ: нулями функции являются точки x=0 и х=5.

Пример 3. Найти нули функции y=4x-8

По определению:

у=0, тогда

Ответ: нулями этой функции является точка х=2.

2.2. Виды функций (четные, нечетные, общего вида, периодические функции).

Рассмотрим функции, области определения которых симметричны относительно начала координат, то есть для любого х из области определения число (-х) также принадлежит области определения. Среди таких функций выделяют четные и нечетные.

Определение: Функция f называется четной, если для любого х из ее области определения f(-x)=f(x).

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

Пример 4. Определить вид функции y=2cos2x.

y=2cos2x, D(y)=R

y(-x)=2cos2(-x)=-2cos2x=2cos2x=y(x) – четная.

Пример 5. Определить вид функции y=x 4 -2x 2 +2.

y=x 4 -2x 2 +2, D(y)=R.

y(-x)=(-x) 4 -2(-x) 2 +2=x 4 -2x 2 +2=y(x) – четная.

Определение: Функция f называется нечетной, если для любого х из ее области определения f(-x)=-f(x).

График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Пример 6. Определить вид функции y=2sin2x.

y=2sin2x, D(y)=R

y(-x)=2sin2(-x)=-2sin2x=-y(x) – нечетная.

Пример 7. Определить вид функции y=3x+1/3x.

y(-x)=3(-x)+1/3(-x)=-3x-1/3x=-(3x+1/3x)=-y(x) – нечетная.

Пример 4. Пример 5.

Определение: Функцию f называют периодической с периодом Т≠ 0, если для любого х из области определения значения этой функции в точках х, х-Т и х+Т равны, то есть f(x+T)=f(x)=f(x-T).

Пример 8. Определить период функции y=cos2x.

cos2x=cos2(x+T)=cos(2x+2T), где2T=2π, т.е. Т=π.

Для построения графика периодической функции с периодом Т достаточно провести построение на отрезке длиной Т и затем полученный график параллельно перенести на расстояния nT вправо и влево вдоль оси Ох.

Пример 9. Построить график периодической функции f(x)=sin2x.

sin2x=sin2(x+T)=sin(2x+2T), где 2Т=2π, т.е. Т=π.

2.3. Возрастание и убывание функций. Экстремумы.

Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2 >х 1 , выполнено неравенство f(x 2)>f(x 1).

Функция fубывает на множестве Р, если для любых х 1 и х 2 из множества Р, таких, что х 2 >х 1 , выполнено неравенство f(x 2)

Иными словами, функция fназывается возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция fназывается убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

При построении графиков конкретных функций полезно предварительно найти точки минимума (x min) и максимума (x max).

Точка х 0 называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x) ≤f(x 0).

Точка х 0 называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х 0 выполнено неравенство f(x)≥ f(x 0).

Точки минимума и максимума принято называть точками экстремума.

Пример 10. Найти точки экстремума, экстремумы функции y=x 2 +2x, и указать промежутки возрастания и убывания функции.

y=x 2 +2x, D(y)=R

y’=(x 2 +2x)’=2x+2

y’=0, т.е. 2х+2=0

Исследуем знак производной справа и слева от крайней точки.

x=-2, y’=-4+2<0

x=0, y’=0+2>0

Так как производная меняет свой знак с «-» на «+», то х=-1, это точка минимума функции.

Так как функция непрерывна в точке х=-1, то функция возрастает на [-1;+∞] и убывает на [-∞;-1].

Точки экстремума: x min = -1

Экстремумы функции: y min =y(-1)=1-2= -1

Глава III. Исследование функций.

3.1. Общая схема исследования функций.

Исследуя функцию, нужно знать общую схему исследования:

1) D(y) – область определения (область изменения переменной х)

2) E(y) – область значения х (область изменения переменной у)

3) Вид функции: четная, нечетная, периодическая или функция общего вида.

4) Точки пересечения графика функции с осями Охи Оу (по возможности).

5) Промежутки знакопостоянства:

а) функция принимает положительное значение: f(x)>0

б) отрицательное значение: f(x)<0.

6) Промежутки монотонности функции:

а) возрастания;

б) убывания;

в) постоянства (f=const).

7) Точки экстремума (точки минимума и максимума)

8) Экстремумы функции (значение функции в точках минимума и максимума)

9) Дополнительные точки.

Они могут быть взяты для того, чтобы более точно построить график функции.

Следует заметить, что экстремумы функции f не всегда совпадают с наибольшим и наименьшим значением функции.

3.2. Признак возрастания и убывания функций.

Если строить график функции по каким-либо произвольно выбранным его точкам, соединяя их плавной линией, то даже при очень большом числе случайно выбранных точек может оказаться, что построенный таким образом график будет сильно отличаться от графика заданной функции.

Если при исследовании функции использовать производную и найти так называемые «опорные» точки, т.е. точки разрыва, точки максимума и минимума, промежутки монотонности функции, то даже при небольшом числе таких «опорных» точек мы получим правильное представление о графике функции.

Прежде чем обратиться к примерам, приведу необходимые определения и теоремы.

Определение монотонности функции на интервале Функция y=f(x) называется возрастающей на интервале, если для любых точек х 1 и х 2 этого интервала из условия х 1 <х 2 следует, что f(x 1)f(x 2), то функция называется убывающей на этом интервале.

Достаточный признак монотонности функции в интервале. Теорема: если функция имеет положительную (отрицательную) производную в каждой точке интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Эта теорема в школьных учебниках принимается без доказательства.

Геометрическое истолкование теоремы весьма простое, если вспомнить, что f ’(x)=tgα, α – это угловой коэффициент касательной к графику функции в заданной точке х. Если, например, f ‘ (x)>0 во всех точках некоторого интервала, то касательная к графику с осью абсцисс образуют острые углы, а значит, с ростом х возрастает и f(x). Если же f ‘ (x)<0, то касательная с осью абсцисс образуют тупой угол, а значит, с ростом х функция f(x) убывает. Поскольку эти рассуждения основаны лишь на наглядных геометрических представлениях, они не являются доказательством теоремы.

3.3. Критические точки функции, максимумы и минимумы.

Определение точек экстремума функции . Пусть х 0 – внутренняя точка из области определения функции f(x). Тогда, если существует такая δ – окрестность ] x 0 - δ, x 0 + δ [ точки х 0 , что для всех х из этой окрестности выполняется неравенство f(x)≤f(x 0) (неравенство f(x)≥f(x 0)), точка х 0 называется точкой максимума (точкой минимума) этой функции.

Точки максимума минимума являются внутренними точками области определения функции.

Необходимый признак существования экстремума дифференци-руемой функции .

Теорема Ферма.

Если х 0 есть точка экстремума функции f(x) и в этой точке производная существует, то она равна нулю: f ’(x 0)=0.

Эта теорема не является достаточным условием существование экстремума дифференцируемой функции: если в некоторой точке х 0 производная обращается в нуль, то из этого еще не следует, что в точке х 0 функция имеет экстремум.

Определение критических точек функции . Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называют критическими точками функции.

Достаточные условия существования экстремума .

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х 0 , f ‘(x)>0 на интервале и f ‘(x)<0 на интервале , то х 0 является точкой максимума функции f(x).

Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна в точке х 0 , f ‘(x)<0 на интервале и f ‘(x)>0 на интервале , то х 0 является точкой минимума функции f(x).

Для отыскания экстремальных точек функции нужно найти ее критические точки и для каждой из них проверить выполнение достаточных условий экстремума.

3.4. Наибольшие и наименьшие значения функции.

Правила отыскания наибольшего и наименьшего значений функций в промежутке. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений функции, дифференцируемой в некотором промежутке, нужно найти все критические точки, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка и из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.

Глава IV. Примеры применения производной к исследованию функции.

Пример 11. Исследовать функцию y=x 3 +6x 2 +9x и построить график.

2) Определим вид функции:

y(-x)=(-x) 3 +6(-x) 2 +9(-x)=-x+6x 2 -9x функция общего вида.

x=0 или x 2 +6x+9=0

D=0, уравнение имеет один корень.

(0;0) и (-3;0) – точки пересечения с осью х.

y’=(x 3 +6x 2 +9x)’=3x 2 +12x+9

y’=0, т.е. 3x 2 +12x+9=0 сократим на 3

D>0, уравнение имеет 2 корня.

x 1,2 =(-b±√D)/2a, x 1 =(-4+2)/2 , x 2 =(-4-2)/2

0
-4

x=-4, y’=3*16-48+9=9>0

x=-2, y’=12-24+9=-3<0

x=0, y’=0+0+9=9>0

7) Найдем x min и x max:

8) Найдем экстремумы функции:

y min =y(-1)=-1+6-9=-4

y max =y(-3)=-27+54-27=0

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

y(-4)=-64+96-36=-4

Пример 12. Исследовать функцию y=x 2 /(x-2) и построить график

y=x 2 /(x-2)=x+2+4/(x-2)

Найдем асимптоты функции:

x≠ 2, x=2 – вертикальная асимптота

y=x+2 – наклонная асимптота, т.к.

Найдем область определения.

2)Определим вид функции.

y(-x)=(-x) 2 /(-x-2)=x 2 /(-x-2), функция общего вида.

3)Найдем точки пересечения с осями.

Oy: x=0, y=0 (0;0) – точка пересечения с осью y.

x=0 или x=2 (2;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=(2x(x-2)-x 2)/(x-2) 2 =(2x 2 -4x-x 2)/(x-2) 2 =(x(x-4))/(x-2) 2 =(x 2 -4x)/(x-2) 2

5) Определим критические точки:

x 2 -4x=0 x(x-4)=0

y’=0, (x 2 -4x)/(x-2) 2 =0 <=> <=>

(x-2) 2 ≠ 0 x≠ 2

x 2 -4x=0, а (x-2) 2 ≠ 0, т.е. х≠ 2

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции.

0 8

x=-1, y’=(1+4)/9=5/9>0

x=1, y’=(1-4)/1=-3<0

x=3, y’=(9-12)/1=-3<0

x=5, y’=(25-20)/9=5/9>0

7) Найдем точки минимума и максимума функции:

8) Найдем экстремумы функции:

y min =y(4)=16/2=8

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

y(-3)=9/-5=-1,8 y(3)=9/1=9

y(1)=1/-1=-1 y(6)=36/4=9

Пример 13. Исследовать функцию y=(6(x-1))/(x 2 +3) и построить график. 1) Найдем область определения функции:

2) Определим вид функции:

y(-x)=(6(-x-1))/(x 2 +3)=-(6(x+1))/(x 2 -3) – функция общего вида.

3) Найдем точки пересечения с осями:

O y: x=0, y=(6(0-1))/(0+3)=-2, (0;-2) – точка пересечения с осью y.

(6(x-1))/(x 2 +3)=0

O x: y=0, <=>

4) Найдем производную функции:

y’=(6(x-1)/(x 2 +3))’=6(x 2 +3-2x 2 +2x)/(x 2 +2) 2 =-6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2

5) Определим критические точки:

y’=0, т.е. -6(x+1)(x-3)/(x 2 +3) 2 =0

y’=0, если х 1 =-1 или х 2 =3 , значит х=-1 и х=3, критические точки.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

-3 2

x=-2, y’=-6(-2+1)(-2-3)/(4+3) 2 =-30/49<0

x=0, y’=-6(0+1)(0-3)/(0+3) 2 =2>0

x=4, y’=-6(4+1)(4-3)/(16+3) 2 =-30/361<0

7) Найдем точки минимума и максимума:

8) Найдем экстремумы функции:

y min =y(-1)=(6(-1-1))/(1+3)=-12/4=-3

y max =y(3)=(6(3-1))/(9+3)=12/12=1

9) Построим график функции:

10) Дополнительные точки:

y(-3)=(6(-3-1))/(9+3)=-24/12=-2

y(6)=(6(6-1))/(36+3)=30/39=10/13≈ 0,77

Пример 14. Исследовать функцию y=xlnx и построить ее график:

1) Найдем область определения функции:

D(y)=R + (только положительные значения)

2) Определим вид функции:

y(-x)=-xlnx - общего вида.

3) Найдем точки пересечения с осями:

O y , но х≠ 0, значит точек пересечения с осью y нет.

O x: y=0, то есть xlnx=0

x=0 или lnx=0

(1;0) – точка пересечения с осью х

4) Найдем производную функции:

y’=x’ ln x + x(ln x)’=ln x +1

5) Определим критические точки:

y’=0, то есть lnx +1=0

y’=0 , если x=1/e , значит x=1/e– критическая точка.

6) Обозначим критические точки на координатной прямой и определим знак функции:

1/e

x=1/(2e); y’=log(2e) -1 +1=1-ln(2e)=1-ln e=-ln 2<0

x=2e; y’=ln(2e)+1=ln 2+ln e+1=ln 2+2>0

7) 1/e – точка минимума функции.

8) Найдем экстремумы функции:

y min =y(1/e)=1/e ln e -1 =-1/e (≈ -0,4).

9) Построим график функции:

Заключение.

Над этой темой работали многие ученые и философы. Много лет назад произошли эти термины: функция, график, исследование функции и до сих пор они сохранились, приобретая новые черты и признаки.

Я выбрала эту тему, потому что мне было очень интересно пройти этот путь исследования функции. Мне кажется, что многим было бы интересно побольше узнать о функции, о ее свойствах и преобразованиях. Сделав этот реферат, я систематизировала свои навыки пополнила свой запас знаний об этой теме.

Я хочу посоветовать всем глубже изучить эту тему.

Список литературы.

1. Башмаков, М.И. Алгебра и начало анализа.- М.: Просвещение, 1992.

2. Глейзер, Г.И. История математики в школе.- М.: Просвещение, 1983.

3. Гусев, В.А. Математика: Справочные материалы.- М.: Просвещение, 1888.

4. Дорофеев, Г.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Наука, 1974.

5. Зорин, В.В. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы.- М.: Высшая школа, 1980.

6. Колмогоров А.Н. Алгебра и начала анализа.- М.: Просвещение, 1993.

В заданиях ЕГЭ по математике обязательно встретиться исследование функции с помощью производной. Математический анализ – не самая простая в мире вещь. Но в КИМах не встречается такого, с чем бы не справился ученик средней школы, если он приложил достаточно стараний к учебе.

Будем вместе разбираться, что такое производная и как ее применять при исследовании функции.

Производная

Начертите ось координат и постройте любую элементарную функцию. Например, параболу для функции у = х 2 .

Вы сами видите, что на некотором участке функция убывает, на другом – возрастает. То есть изменяется. Вот эту динамику, иными словами, скорость, с которой функция изменяется, отражает производная (у" = f’(x)).

Например, отметьте на своем чертеже точку на оси Х, пускай наша точка будет под цифрой 1 – это х 1 , на цифре 2 будет х 2 . Дальше будем оперировать такими понятиями, как приращение аргумента – ∆х и приращение функции – ∆у. Что это такое? ∆х показывает, как функция изменяется по оси Х, ∆у отражает изменение функции по оси У.

Предположим, мы движемся по графику от точки х 1 к точке х 2 . Перемещение вправо по оси Х отражает приращение аргумента ∆х, вызванное им перемещение вверх по оси У – приращение функции ∆у. Мы можем объединить обе величины в неравенстве ∆у/∆х > 0, поскольку приращения положительные – мы ведь движемся вверх по возрастающему графику, «по ходу движения».

Мы взяли две довольно далеко отстоящие друг от друга точки. Но вообще можем подобрать ∆х для любой точки на выбранном отрезке, чтобы получить ∆у > 0. И на любом участке, где функция убывает, мы можем подобрать такое приращение аргумента, при котором ∆у < 0 и ∆у/∆х < 0.

Чем меньшее расстояние мы будем рассматривать, тем точнее опишем скорость изменения функции. Не все ведь графики такие простые, как этот. Поэтому говорят, что приращение аргумента стремиться к нулю (∆х → 0), т.е. к минимальному своему значению.

Возможно и такое неравенство: ∆у/∆х = 0 в самой верхней и самой нижней точке графика. В нашем случае она приходится на начало координат.

Записанное нами неравенство ∆у/∆х отражает суть производной – речь идет о пределе отношения приращения функции к приращению аргумента.

Производная в точке vs производная функции

Мы начали с того, что выбрали точку, от которой «стартует» наше приращения функции. Иными словами, мы определяли приращение функции в точке х 1.

Значит, производной функции в точке х 1 называют предел приращения функции ∆у к приращению аргумента ∆х в этой точке, при том, что ∆х → 0.

Записать сказанное можно так: f"(х 1) = lim х→0 f (х 1 + ∆х) – f(х 1) / ∆х = lim х→0 ∆у/∆х. Можно также провести касательную к графику в точке х 1 , тогда производную можно выразить через тангенс угла ее наклона к графику: f"(х 1) = lim х→0 ∆у/∆х = tgφ.

Если у предела есть границы (т.е. он конечен), возможно дифференцировать функцию в точке. Это также будет обозначать, что в этой точке функция является непрерывной. ∆х → 0, но ∆х ≠ 0. Кстати, из одного того, что функция непрерывна, вовсе не следует, что эту функцию можно дифференцировать в обязательном порядке.

Если вы заинтересовались, как же так, предлагаю вам найти соответствующий пример самостоятельно – не все же готовым на блюдечке получать. Тем более что для заданий ЕГЭ знать это вам не обязательно. И даже, кощунственную вещь скажу, можно не понимать, что такое производная. Главное научиться ее находить.

Сейчас мы говорили о производной в точке х 1 , но аналогичным образом мы можем произвести все те же манипуляции с любой другой точкой, поэтому имеем право записать формулу производной функции так: f"(х) = lim х→0 f (х+ ∆х) – f(х) / ∆х = lim х→0 ∆у/∆х. Или иначе y" = f"(x), которая происходит, «производится» от функции y = f(x).

Вот несколько производных для примера, больше их вы найдете в таблице производных, а некоторые рекомендуется запомнить со временем:

• производная константы (С)" = 0;
• производная степенной функции (x n)’ = nx n -1 ;
• ее разновидность производная числа (x)’ = 1;
• а также (√x)’ = 1/2√x;
• и (1/x)’ = -1/x 2 .

Правила дифференцирования

Дифференцировать – значить выделить некие признаки, в случае с функцией – скорость ее изменения, об этом мы уже говорили. Т.е. вычислить производную.

Для вычисления производной (дифференцирования) самых разных функций существуют определенные общие правила. Сейчас мы их коротко вспомним, воспользовавшись статьей Александра Емелина с отличного сайта, посвященного высшей математике mathprofi.ru.

1. Постоянное число выносится за знак производной: (Cu)’ = Cu’, C = const.

   Y = 3cos x, y’ = (3 cos x)’ = 3 (cos x)’ = 3(-sin x) = -3sin x;

2. Производная суммы равна сумме производных: (u ± v)’ = u’ ± v’ .

   Y = 6 + x + 3x 2 – sin x – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x, y’ = (6 + x + 3x 2 – sinx – 2 3 √x + 1/x 2 – 11ctg x)’ = (6)’ + (x)’ + 3(x 2)’ – (sin x)’ – 2(x 1/3)’+ (x -2)’ – 11(ctgx)’ = 0 + 1 + 3*2x – cos x – 2*1/3x -2/3 + (-2)x -3 – 11(-1/sin 2 x) = 1 + 6x – cos x – 2/3 3 √x 2 – 2/x 3 + 11/sin 2 x;

3. Производная произведения функции: (uv)’ = u’v + uv’ .

   Y = x 3 arcsin x, y’ = (x 3 arcsin x)’ = (x 3)’ * arcsin x + x 3 * (arcsin x)’= 3x 2 arcsin x + x 3 * 1/√1 – x 2 = 3x 2 arcsin x + x 3 /√1 – x 2 ;

4. Производная частного функции: (u/v)" = (u"v – uv")/v 2 .

   Y = 2(3x – 4)/ x 2 + 1, y’ = (2(3x – 4)/ x 2 + 1)’ = 2 (3x – 4/ x 2 +1)’ = 2 * ((3x – 4)’* (x 2 + 1) – (3x – 4) * (x 2 + 1)’/(x 2 + 1) 2) = 2 (3(x 2 + 1) - (3x – 4) * 2x/ (x 2 + 1) 2) = 2 (-3x 2 + 8x + 3)/ (x 2 + 1) 2 ;

5. Производная сложной функции. Прямо сейчас она вам не понадобиться, поэтому ее мы рассматривать не будем.

Исследуем функцию с помощью производной

Итак, с присказкой разобрались, начинаем саму сказку. В части В КИМов по математике вам гарантировано попадется одна или даже нескольких задач, включающих исследование функции с помощью производной. К примеру, может потребоваться исследовать функцию на экстремумы, определить ее монотонность и т.д.

При помощи производной можно определить:

• на каких интервалах график функции убывает и возрастает (исследуем монотонность);
• минимальные и максимальные значения производной (исследуем на экстремумы);
• наибольшее и наименьше значение функции, которая непрерывна на отрезке.

Сложность таких заданий зависит в первую очередь от того, какая функция попадется вам по условию. Но общий алгоритм действий останется для вас неизменным в любом случае. Вот и давайте разберем все по порядку.

Монотонность функции. Проще говоря, определение участков, на которых функция остается неизменной, т.е. «монотонной». А изменяется функция в критических точках, но про это ниже.

Порядок действий:

1. Найдите производную.
2. Найдите критические точки.
3. Определите знак производной и характер ее изменений на интервалах, которые отмеряют критические точки (руководствуясь достаточными условиями монотонности).
4. Запишите промежутки монотонности.

Функция возрастает, если большее значение функции соответствует большему значению аргумента: х 2 > х 1 и f(х 2) > f(х 1) на выбрано интервале. График при этом движется снизу вверх.

Функция убывает, если меньшее значение функции соответствует большему значению аргумента: х 2 > х 1 и f(х 2) < f(х 1) на выбранном интервале. График движется сверху вниз.

Поскольку функция возрастает и убывает в рамках интервала, ее можно назвать строго монотонной. А исследование функции на монотонность предполагает, что речь идет как раз об интервалах строгой монотонности.

Функция также может не убывать на интервале: f(х 2) ≥ f(х 1) – неубывающая функция. И аналогичным образом не возрастать на интервале: f(х 2) ≤ f(х 1) – невозрастающая функция.

Достаточные условия монотонности функции:

• условие возрастания: если на выбранном интервале в каждой точке производная больше нуля (f"(х) > 0), то функция на этом интервале монотонно возрастает;
• условие убывания: если на выбрано интервале в каждой точке производная меньше нуля (f"(х) < 0), то функция на этом интервале монотонно убывает;
• условие постоянства (оно не только достаточное, но и необходимое): функция постоянна на выбранном интервале, когда производная равна нулю (f"(х) = 0) в каждой его точке.

Критической точкой называют ту, в которой производная равна нулю или ее значения не существует. Она может одновременно являться точкой экстремума, но может ею и не быть. Но об этом дальше.

Экстремумы функции. Т.е. такие значения переменной, при которой которых функция достигает своих максимальных и минимальных значений.

Порядок действий:

• Обозначьте область определения функции, на каких интервалах она является непрерывной.
• Найдите производную.
• Найдите критические точки.
• Определите, являются ли критические точки точками экстремумов (опираясь на достаточное условие экстремума).
• Запишите экстремумы.

Необходимое условие экстремума:

• Если х 0 – точка экстремума функции, то она является одновременно и критической точкой, в которой производная равна нулю или не существует.

Как уже говорилось выше, точка экстремума может и не совпадать с критической точкой. Например, для функции у = х 3 (рис.1), у =│х│(рис 2.), у = 3 √х точка экстремума отсутствует в критической точке.

Достаточное условия экстремума:

• Если в точке х 0 функция является непрерывной, а ее производная меняет в ней знак, то х 0 – точка экстремума функции.

Если при переходе через точку х 0 изменяется знак производной с «+» на «-», то в данной точке функция достигает своего максимума: f"(х) > 0 при х < х 0 и f"(х) < 0 при х > х 0 .

Если при переходе через точку х 0 изменяется знак производной с «-» на «+», то в данной точке функция достигает своего минимума: f"(х) < 0 при х < х 0 и f"(х) > 0 при х > х 0 .

На графике точки экстремума отражают значения по оси Х, а экстремумы – значения по оси У. Их еще называют точками локального экстремума и локальными экстремумами . Но прямо сейчас знание о различиях между локальными и глобальными экстремумами вам не потребуется, поэтому останавливаться на этом не будем.

Максимум и минимум функции – не тождественные понятия с ее наибольшим и наименьшим значением. О том, что же этакое, ниже.

Наибольшее и наименьше значение функции, которая непрерывна на отрезке. Мы рассматриваем функцию на выбранном отрезке. Если функция в его пределах является непрерывной, то ее наибольшее и наименьшее значение на отрезке приходятся либо на критические точки, которые ему принадлежат, либо на точки на его концах.

Порядок действий:

1. Наудите производную.
2. Найдите критические точки в пределах отрезка.
3. Вычислите значение функции в критических точках и на концах отрезка.
4. Из полученных значений выберите наибольшее и наименьшее.

Исследуем функцию – зачем?

Для чего нам исследовать функцию с помощью производной? Затем, чтобы лучше понять, как выглядит ее график. Да, сейчас в учебниках перед вами готовые графики к хорошо изученным элементарным функциям. Но в реальных «полевых» условиях дело зачастую обстоит с точностью до наоборот: незнакомая функция и пока не существующий график. И не все функции такие простые, как в школьных учебниках. Их графики одной лишь силой воображения представить невозможно.

Средства математического анализа позволяют досконально исследовать неизвестную функцию. Не разобрав подробно по полочкам все характеристики функции и ее производной верный график не построить. Именно поэтому в школьном курсе математики соответствующим заданиям уделяется такое внимание. И поэтому они вынесены на экзамен.

Задания части В стоят довольно высоких баллов. Поэтому уделите должное внимание тренировке определения производной и исследования функции с ее помощью. Эта статья создана как полезный при самоподготовке конспект. В котором собраны ключевые определения, пересказанные по возможности простым языком. И кратко изложены действия, которые вам следует предпринять при исследовании функции.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.