График прямой пропорциональности
Цели урока:
Определить вид графика прямой пропорциональности;
Исследовать зависимость расположения графика прямой пропорциональности на координатной плоскости от знака числа k;
Формировать умение строить график прямой пропорциональности по формуле и выполнять обратной действие – записывать по графику формулу функции;
Способствовать воспитанию самостоятельности, ответственности, аккуратности при построении чертежей;
Учить ставить и решать проблемы;
Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов, уважительное отношение к одноклассникам.
Планируемые результаты:
Предметные умения: повторение теоретического материала по данной теме; формирование знаний и умений по изучаемому материалу, закрепление навыков построения графика прямой пропорциональности;
Личностные УУД: формирование навыков самоанализа и самоконтроля, навыков составления алгоритмов для выполнения поставленной задачи, устойчивой мотивации к обучению;
Регулятивные УУД: определение цели , осуществление поиска средств её достижения, выявление отклонений от эталона в своей работе, понимание причины ошибок;
Познавательные УУД: умение заменять термины определениями, выделение и формулирование проблемы, выражение смысла ситуации с помощью алгоритма;
Коммуникативные УУД: регулирование собственной деятельности посредством речевых действий, умение организовывать учебное взаимодействие в коллективе, паре, умение высказывать точку зрения, аргументированно обосновывая её.
Коррекционная составляющая урока:
Многократность повторения информации с применением материализованных опор;
Составление и применение алгоритма;
Автоматизация произношения и написания терминов со сложной слоговой структурой.
Тип урока: освоение новых знаний и навыков с применением элементов .
Принципы обучения:
Научности;
Системности и последовательности;
Наглядности;
Комфортности.
Методы обучения: индивидуальный, фронтальный, групповой, словесно-наглядный, частично-поисковый.
Техническое обеспечение урока: компьютер, проектор, мультимедийная презентация.
Оборудование: портрет Р. Декарта, плакат с высказыванием, чертёжные инструменты, цветные карандаши, карточки для индивидуальной и коллективной работы учащихся; раздаточный материал.
Учебник: «Алгебра. 7 класс»: учебник для общеобразовательных учреждений/ [, ]; под ред. . – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2012.
План урока:
1. Организационный момент.
2. Мотивация урока.
3. Актуализация опорных знаний учащихся.
4. Формулировка темы урока, целей, задач.
5. Основной этап урока:
1) освоение новых знаний путём выполнения по инструкции;
2) составление алгоритма построения графика прямой пропорциональности;
3) исследовательская работа.
6. Физкультминутка.
7. Первичное закрепление:
1) выполнение заданий на отработку алгоритма;
2) самостоятельная работа.
8. Домашнее задание.
9. Итог урока.
10. Рефлексия.
Ход урока
I. Организационный момент.
(Слайд 1) Взаимное приветствие. Проверка готовности к уроку.
II. Мотивация.
1. (Слайд 2) – Мне бы хотелось начать урок со следующих слов: «Мыслю, следовательно, существую», которые были сказаны французским учёным Рене Декартом.
Рене Декарт больше известен как великий философ. Но именно в математике его заслуги столь велики, что он по справедливости входит в число великих математиков. Ребята приготовили сообщения о жизни и деятельности Декарта.
(Слайд 3) Сообщение 1. Родился Декарт во Франции, в небольшом городке Лаэ. Отец его был юристом, мать умерла, когда Рене был 1 год. После окончания колледжа для сыновей аристократических семейств, он по примеру своего брата стал изучать . В 22-летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера-добровольца служил в войсках разных .
Декарт в своём философском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума, и поэтому преследовался католической церковью. Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике, которыми он интересовался с детства, Декарт в 1629 поселился в Голландии, где прожил почти до конца жизни. Все крупные произведения Декарта по философии, математике, физике, космологии и физиологии написаны им в Голландии.
(Слайд 4) Сообщение 2. Декарт ввёл в математику знаки «+» и «-» для обозначения положительных и отрицательных величин, обозначение степени и знак для обозначения бесконечно большой величины. Для переменных и неизвестных величин Декарт принял обозначение x, y, z, а для величин известных и постоянных – a, b, c. Эти обозначения применяются в математике до сегодняшнего дня. Он ввёл систему координат, которая была названа в его честь. На протяжении 150 лет математика развивалась путями, предначертанными Декартом.
Давайте следовать совету учёного. Будем активны, внимательны, будем рассуждать, мыслить и узнавать новое, ведь знания пригодятся вам в дальнейшей жизни. А эти слова Р. Декарта мне хочется предложить как девиз нашего урока: «Уважение других даёт повод к уважению самого себя».
2. – А теперь поработаем с математическими терминами, которые мы будем употреблять на уроке. Выполните самостоятельно задание № 1 из карточки.
Карточка, задание 1. Исправьте ошибки, допущенные в написании терминов:
Кордината
Ардината
Коефициент
Оргумент
Переменая
Поменяйтесь карточками, и проверьте, все ли ошибки исправлены.
(Слайд 5) – Выполним проверку по слайду.
III. Актуализация знаний.
– Вспомним основной материал предыдущих уроков, на который мы будем опираться.
1. Дайте определение прямой пропорциональности.
2. (Слайд 6) – Определите по формуле, какая из функций является прямой пропорциональностью:
a) y = 182х; в) у = -17х2;
б) у = ; г) у = 3х + 11.
3. Карточка, задание 2. Распределите формулы на 2 группы. В первую группу запишите функции, являющиеся прямой пропорциональностью, во вторую – не являющиеся. У прямых пропорциональностей подчеркните коэффициент k.
у = 2х; у = 3х – 7; у = -0,2х; у = ; у = х2; у = х; у = 8 + 3х; у = - х; у = 70х
(Слайд 7) – Проверьте себя. Кто выполнил без ошибок? Молодцы. Я вижу, что вы хорошо подготовились к уроку, и готовы к усвоению нового материала.
IV. Формулировка темы урока, целей, задач.
Сейчас мы рассматривали прямую пропорциональность, заданную формулой. Подумайте, как ещё можно задать данную функцию? Какой из способов более наглядный? Итак, тема нашего урока … (формулируют учащиеся).
Учащиеся записывают тему урока в тетрадь.
По наводящим вопросам учителя учащиеся формулируют цели и задачи урока.
V. Основной этап урока.
1. – Проведём небольшую практическую работу.
Каждый ученик получает листок с формулой прямой пропорциональности. Цель – работа с формулой по инструкции, записанной в задании 3 карточки.
(Слайд 8) у = х у = - х
у = 1,5х у = -1,5х
Карточка, задание 3. Инструкция:
- заполните таблицу значений функции при -3 ≤ х ≤ 3 с шагом 1; отметьте в координатной плоскости точки, координаты которых помещены в таблице; соедините точки.
После ученики отвечают на вопросы учителя:
Как расположены точки, которые вы построили?
Что получилось, когда соединили точки?
Какая особенность в расположении прямой в координатной плоскости?
Какой из этого можно сделать вывод?
Ученики формулируют вывод о виде графика прямой пропорциональности и его особенности.
Давайте найдём его в учебнике и сравним с тем, который получили мы.
2. – Чтобы построить прямую, сколько точек нам надо знать?
Одна у нас уже есть. Какая?
Значит, сколько точек нам ещё необходимо иметь для построения графика прямой пропорциональности?
На основе этих заключений учащиеся составляют алгоритм построения графика прямой пропорциональности.
Алгоритм
1. Найти координаты какой-нибудь точки графика данной функции (отличной от начала координат).
2. Отметить эту точку на координатной плоскости.
3. Провести прямую через эту точку и начало координат.
3. – А сейчас мы проведём маленькое исследование и сделаем вывод, а какой – это вы узнаете позже.
Поднимите руки те, у кого была функция с положительным коэффициентом k. В каких координатных четвертях расположены ваши графики?
Поднимите руки те, у кого была функция с отрицательным коэффициентом k. В каких координатных четвертях расположены ваши графики?
В результате исследовательской работы учащиеся делают вывод о расположении графиков прямой пропорциональности в зависимости от знака коэффициента k и сравнивают с выводами в учебнике.
VI. Физкультминутка. (Слайд 10)
Быстро встали, улыбнулись
Выше-выше потянулись.
Ну-ка, плечи распрямите,
Поднимите, опустите.
Вправо, влево повернитесь,
Рук коленями коснитесь.
Сели, встали. Сели, встали.
И на месте побежали.
VII. Первичное закрепление.
1. Выполнение задания на отработку алгоритма построения графика прямой пропорциональности, нахождения по графику значений функции по известному значению аргумента и обратно.
Учащиеся выполняют № 000(а, б) из учебника в тетради и на доске.
При выполнении этого задания повторяем с учащимися правило нахождения по графику значения функции по данному значению аргумента и наоборот (отмечаем точку на оси абсцисс; проводим прямую, перпендикулярную оси абсцисс, до пересечения с графиком функции; из полученной точки опускаем перпендикуляр на ось ординат и находим соответствующее значение ординаты).
Также на этом примере показываем, что очень важен выбор правильной величины единичного отрезка и абсциссы выбираемой точки.
2. Самостоятельная работа (при наличии времени).
Работа по рисунку 26 из учебника.
(Слайд 11) - А как вы думаете, можно ли по графику функции записать его аналитическую формулу?
Выясняем вместе с учащимися, что все графики являются прямыми, проходящими через начало координат, значит, функции являются прямыми пропорциональностями и их можно задать формулой вида у = kх. Задача сводится к нахождению коэффициента k. Для этого на каждом графике выбираем произвольную точку с целыми координатами.
(Слайд 12) – Проверьте себя.
VIII. Домашнее задание: п. 15 (выучить правила); № 000 (а), 301(б) – построить графики по алгоритму; 302 – ответить на вопрос, продумать способ решения.
IX. Итог урока.
Над чем мы сегодня работали на уроке?
Что является графиком прямой пропорциональности?
Каков алгоритм построения графика?
Как расположен в координатной плоскости график функции у = kх при k < 0 и при k > 0?
X. Рефлексия. (Слайд 14)
Интересно ли вам было на уроке?
Кто считает, что сегодня он работал хорошо?
Какие затруднения были на уроке?
(Слайд 15) - Вы хорошо поработали на уроке. Молодцы! Особенно хочется отметить … Всем спасибо! Урок окончен.
Пример
1,6 / 2 = 0,8; 4 / 5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 и т. д.Коэффициент пропорциональности
Неизменное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности . Коэффициент пропорциональности показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой .
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность - функциональная зависимость , при которой некоторая величина зависит от другой величины таким образом, что их отношение остаётся постоянным. Иначе говоря, эти переменные изменяются пропорционально , в равных долях, то есть, если аргумент изменился в два раза в каком-либо направлении, то и функция изменяется тоже в два раза в том же направлении.
Математически прямая пропорциональность записывается в виде формулы:
f (x ) = a x ,a = c o n s t
Обратная пропорциональность
Обра́тная пропорциона́льность - это функциональная зависимость , при которой увеличение независимой величины(аргумента) вызывает пропорциональное уменьшение зависимой величины(функции).
Математически обратная пропорциональность записывается в виде формулы:
Свойства функции:
Источники
Wikimedia Foundation . 2010 .
- Второй закон Ньютона
- Кулоновский барьер
Смотреть что такое "Прямая пропорциональность" в других словарях:
прямая пропорциональность - — [А.С.Гольдберг. Англо русский энергетический словарь. 2006 г.] Тематики энергетика в целом EN direct ratio … Справочник технического переводчика
прямая пропорциональность - tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. direct proportionality vok. direkte Proportionalität, f rus. прямая пропорциональность, f pranc. proportionnalité directe, f … Fizikos terminų žodynas
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - (от лат. proportionalis соразмерный, пропорциональный). Соразмерность. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ отлат. proportionalis, пропорциональный. Соразмерность. Объяснение 25000… … Словарь иностранных слов русского языка
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, пропорциональности, мн. нет, жен. (книжн.). 1. отвлеч. сущ. к пропорциональный. Пропорциональность частей. Пропорциональность телосложения. 2. Такая зависимость между величинами, когда они пропорционально (см. пропорциональный … Толковый словарь Ушакова
Пропорциональность - Пропорциональными называются две взаимно зависимые величины, если отношение их значений остается неизменным.. Содержание 1 Пример 2 Коэффициент пропорциональности … Википедия
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ - ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ, и, жен. 1. см. пропорциональный. 2. В математике: такая зависимость между величинами, при к рой увеличение одной из них влечёт за собой изменение другой во столько же раз. Прямая п. (при к рой с увеличением одной величины… … Толковый словарь Ожегова
пропорциональность - и; ж. 1. к Пропорциональный (1 зн.); соразмерность. П. частей. П. телосложения. П. представительства в парламенте. 2. Матем. Зависимость между пропорционально изменяющимися величинами. Коэффициент пропорциональности. Прямая п. (при которой с… … Энциклопедический словарь
Пропорциональность - это зависимость одной величины от другой, при которой изменение одной величины приводит к изменению другой во столько же раз.
Пропорциональность величин может быть прямой и обратной.
Прямая пропорциональность
Прямая пропорциональность - это зависимость двух величин, при которой одна величина зависит от второй величины так, что их отношение остаётся неизменным. Такие величины называются прямо пропорциональными или просто пропорциональными .
Рассмотрим пример прямой пропорциональности на формуле пути:
s = vt
где s - это путь, v - скорость, а t - время.
При равномерном движении путь пропорционален времени движения. Если взять скорость v равной 5 км/ч, то пройденный путь s будет зависеть только от времени движения t :
| Скорость v = 5 км/ч | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| Время t (ч) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 |
| Путь s (км) | 5 | 10 | 20 | 40 | 80 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается время движения t , во столько же раз увеличивается пройденное расстояние s . В примере мы увеличивали время каждый раз в 2 раза, так как скорость не менялась, то и расстояние увеличивалось тоже в два раза.
В данном случае скорость (v = 5 км/ч) является коэффициентом прямой пропорциональности, то есть отношением пути ко времени, которое остаётся неизменным:
Если время движения остаётся неизменным, то при равномерном движении расстояние будет пропорционально скорости:
Из данных примеров следует, что две величины называются прямо пропорциональными, если при увеличении (или уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (или уменьшается) во столько же раз .
Формула прямой пропорциональности
Формула прямой пропорциональности :
y = kx
где y и x k - это постоянная величина, называемая коэффициентом прямой пропорциональности.
Коэффициент прямой пропорциональности - это отношение любых соответствующих значений пропорциональных переменных y и x равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента прямой пропорциональности:
| y | = k |
| x |
Обратная пропорциональность
Обратная пропорциональность - это зависимость двух величин, при которой увеличение одной величины приводит к пропорциональному уменьшению другой. Такие величины называются обратно пропорциональными .
Рассмотрим пример обратной пропорциональности на формуле пути:
s = vt
где s - это путь, v - скорость, а t - время.
При прохождении одного и того же пути с разной скоростью движения время будет обратно пропорционально скорости. Если взять путь s равным 120 км, то потраченное на преодоление этого пути время t будет зависеть только от скорости движения v :
| Путь s = 120 км | ||||
|---|---|---|---|---|
| Скорость v (км/ч) | 10 | 20 | 40 | 80 |
| Время t (ч) | 12 | 6 | 3 | 1,5 |
Из примера видно, что во сколько раз увеличивается скорость движения v , во столько же раз уменьшается время t . В примере мы увеличивали скорость движения каждый раз в 2 раза, а так как расстояние, которое нужно преодолеть, не менялось, то количество времени на преодоление данного расстояния сокращалось тоже в два раза.
В данном случае путь (s = 120 км) является коэффициентом обратной пропорциональности, то есть произведением скорости на время:
s = vt , следовательно 10 · 12 = 20 · 6 = 40 · 3 = 80 · 1,5 = 120
Из данного примера следует, что две величины называются обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз .
Формула обратной пропорциональности
Формула обратной пропорциональности :
| y = | k |
| x |
где y и x - это переменные величины, а k - это постоянная величина, называемая коэффициентом обратной пропорциональности.
Коэффициент обратной пропорциональности - это произведение любых соответствующих значений обратно пропорциональных переменных y и x , равное одному и тому же числу.
Формула коэффициента обратной пропорциональности.
Предположим, что t – время движения пешехода (в секундах), s – пройденный им путь (в метрах). Если пешеход движется равномерно со скоростью 5 м/сек, то s = 5t. Логично, что каждому значению переменной t соответствует единственное значение s. Формулой s = 5t, где t ≥ 0, задается функция.
Предположим, что n – число пачек мороженого, p – их стоимость (в рублях). Если цена одной пачки мороженого 6 рублей, то p = 6n. Логично, что каждому значению переменной n соответствует единственное значение p.
Формула p = 6n, где n € N, задает функцию.
В рассмотренных примерах мы работали с функциями, заданными формулами вида у = kх, где х и у – переменные, k – не равное нулю число.
Функция, которую можно задать формулой вида у = kх, где k – не равное нулю число, называется прямой пропорциональностью (= пропорциональность).
Число k называется коэффициентом пропорциональности. О переменной у говорят, что она пропорциональна переменной х.
Областью определения прямой пропорциональности может служить множество всех чисел или какое-либо его подмножество. В приведенных примерах в первом случае функция была определена на множестве положительных чисел, во втором – на множестве натуральных чисел.
Из формулы у = kх при х ≠ 0 следует, что у/х = k. Верно и обратное: если у/х = k, то у = kх. Поэтому, чтобы выяснить, является ли функция х – у прямой пропорциональностью, сравнивают частные у/х для всех пар соответственных значений переменных х и у, в которых х ≠ 0. Если эти частные равны одному и тому же числу k, отличному от нуля, и если х, равному 0, соответствует у, равное 0 (если 0 входит в область определения функции), то зависимость у от х – прямая пропорциональность.
Рассмотрим теорию на практике и проанализируем пример.
Пример. Функция a – b задана значениями
Если а = -4, то b = -12. Если а = -3, то b = -9. Если а = -1,5, то b = -4,5. Если а = 2,5, то b = 7,5. Если а = 5, то b = 15. Если а = 6,1, то b = 18,3.
Является ли эта функция прямой пропорциональностью?
Для каждой пары (a; b) соответственных значений переменных a и b найдем частное b/а.
Если а = -4, то b = -12, значит, k = 3. Если а = -3, то b = -9, значит, k = 3. Если а = -1,5, то b = -4,5, значит, k = 3. Если а = 2,5, то b = 7,5, значит, k = 3. Если а = 5, то b = 15, значит, k = 3. Если а = 6,1, то b = 18,3, значит, k = 3.
Получается, что найденные частные равны одному и тому же числу 3. Значит, рассматриваемая нами функция f – прямая пропорциональность.
Прямая пропорциональность характеризуется определенными свойствами.
Если функция х – у – прямая пропорциональность и (х 1 ; у 1), (х 2 ; у 2) – пары соответственных значений переменных х и у, причем х 2 ≠ 0, то х 1 /х 2 = у 1 /у 2 .
Доказательство.
Пусть k – коэффициент пропорциональности. Из формулы у = kх имеем, что у 1 = kх 1 , у 2 = kх 2 (т.к. х 2 ≠ 0 и k ≠ 0, то у 2 ≠ 0). Отсюда получаем у 1 /у 2 = kх 1 /kх 2 = х 1 /х 2 .
Если значениями переменных х и у служат положительные числа, то доказанное свойство прямой пропорциональности мы можем сформулировать так:
с увеличением значения х в несколько раз соответствующее значение у увеличивается во столько же раз; аналогично: с уменьшением значения х в несколько раз соответствующее значение у увеличивается во столько же раз.
Установленное свойство прямой пропорциональности удобно использовать при решении задач.
За 8 часов токарь изготовил 17 деталей. Сколько часов потребуется токарю на изготовление 85 деталей, если он будет работать с той же производительностью?
Решение.
Пусть токарю для изготовления 85 деталей потребуется х ч. Т.к. при постоянной производительности число изготовленных деталей прямо пропорционально затраченному времени, то 8/х = 17/85.
Отсюда 17х = 8 ∙ 85; х = (8 ∙ 85)/17; х = 40.
Ответ: токарю потребуется 40 ч.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Загрузка...
