Рассмотрим прямоугольную систему координат Oxyz в пространстве.

Уравнением поверхности называется такое уравнение F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на поверхности.

Например, сфера – это геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой точки, называемой центром сферы. Так все точки, удовлетворяющие уравнению
лежат на сфере с центром в точке О(0.0.0) и радиусомR (Рис.1).

Координаты любой точки, не лежащей на данной сфере, не удовлетворяют этому уравнению.

Линию в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух поверхностей. Так на рисунке 1 пересечением сферы с плоскостью Oxy является окружность с центром в точке О и радиусом R.

Простейшей поверхностью является плоскость , простейшей линией в пространстве является прямая .

2. Плоскость в пространстве.

2.1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору.

В системе координат Oxyz рассмотрим плоскость (Рис.2). Ее положение определяется заданием вектораперпендикулярного этой плоскости, и фиксированной точки
лежащей в этой плоскости. Вектор
перпендикулярный плоскости
называетсянормальным вектором (вектором-нормалью). Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) плоскости . Вектор
лежащий в плоскости
будет перпендикулярен вектору-нормалиИспользуя условие ортогональности векторов
получим уравнение:где

Уравнение (2.2.1 )

называется уравнением плоскости по точке и нормальному вектору.

Если в уравнении (2.1.1) раскроем скобки и перегруппируем члены, то получим уравнение илиAx + By + Cz + D = 0, где

D =
.

2.2. Общее уравнение плоскости.

Уравнение Ax + By + Cz +D = 0 (2.2.1 )

называется общим уравнением плоскости, где
- нормальный вектор.

Рассмотрим частные случаи этого уравнения.

1).D = 0. Уравнение имеет вид: Ax + By + Cz = 0. Такая плоскость проходит через начало координат. Ее нормальный вектор

2). С = 0:Ax + By + D = 0
плоскость параллельна оси oz (Рис.3).

3). B = 0: Ax + Cz + D = 0
плоскость параллельна оси oy (Рис.4).

4). A = 0: By + Cz + D = 0

плоскость параллельна оси ox (Рис.5).

5). C = D = 0: Ax + By = 0
плоскость проходит через ось oz (Рис.6).

6).B = D = 0: Ax + Cz = 0
плоскость проходит через ось oy (Рис.7).

7). A = D = 0: By + Cz = 0
плоскость проходит через ось ox (Рис.8).

8).A = B = 0: Cz + D = 0

||oz
плоскость параллельна плоскостиOxy (Рис.9).

9). B = C = 0: Ax + D = 0

||ox
плоскость

параллельна плоскостиOyz (Рис.10).

10).A = C = 0: By + D = 0

||oy
плоскость параллельна плоскостиOxz (Рис.11).

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
перпендикулярно вектору
Найти точки пересечения этой плоскости с осями координат.

Решение. По формуле (2.1.1) имеем

2x – y + 3z + 3 = 0.

Для того, чтобы найти пересечение этой плоскости с осью ox, подставим в полученное уравнение y = 0, z = 0. Имеем 2x + 3 = 0; x = – 1,5.

Точка пересечения искомой плоскости с осью ox имеет координаты:

Найдем пересечение плоскости с осью oy. Для этого возьмем x = 0; z = 0. Имеем

– y + 3 = 0 y = 3. Итак,

Для нахождения точки пересечения с осью oz возьмем x = 0; y = 0
3z + 3 = 0
z = – 1. Итак,

Ответ: 2x – y + 3z + 3 = 0,
,
,
.

Пример 2. Исследовать плоскости, заданные уравнениями:

a). 3x – y + 2z = 0

б). 2x + z – 1 = 0

в). – y + 5 = 0

Решение. а). Данная плоскость проходит через начало координат (D = 0) и имеет нормальный вектор

б). В уравнении
коэффициентB = 0. Следовательно,
Плоскость параллельна осиoy.

в). В уравнении – y + 5 = 0 коэффициенты A = 0, C = 0. Значит

Плоскость параллельна плоскости oxz.

г). Уравнение x = 0 задает плоскость oyz, так как при B = 0, C = 0 плоскость параллельна плоскости oyz, а из условия D = 0 следует, что плоскость проходит через начало координат.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку A(2,3,1) и перпендикулярной вектору
гдеB(1,0, –1), C(–2,2,0).

Решение. Найдем вектор

Вектор
является нормальным вектором искомой плоскости, проходящей через точкуA(2,3,1). По формуле (2.1.1) имеем:

– 3x + 2y + z + 6 – 6 – 1 = 0
– 3x + 2y + z – 1 = 0 3x – 2y – z + 1 = 0.

Ответ: 3x – 2y – z + 1 = 0.

2.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Три точки, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость (см. рис. 12). Пусть точки не лежат на одной прямой. Чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать одну точку плоскости и нормальный вектор. Точки, лежащие на плоскости, известны:
Можно взять любую. Для нахождения нормального вектора воспользуемся определением векторного произведения векторов. Пусть
Тогдаследовательно,
Зная координаты точки
и нормального векторанайдем уравнение плоскости, применяя формулу (2.1.1).

Другим способом уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, можно получить, используя условие компланарности трех векторов. Действительно, векторы
где M(x,y,z) – произвольная точка искомой плоскости, компланарны (см. рис.13). Следовательно, их смешанное произведение равно 0:

Применив формулу смешанного произведения в координатной форме, получим:

(2.3.1)

Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Решение. По формуле (2.3.1) имеем

Раскрыв определитель, получим:

Полученная плоскость параллельна оси oy. Ее нормальный вектор

Ответ : x + z – 4 = 0.

2.4. Угол между двумя прямыми.

Две плоскости, пересекаясь, образуют четыре двугранных угла, равных попарно (см. рис. 14). Один из двугранных углов равен углу между нормальными векторами этих плоскостей.

Пусть даны плоскости:

Их нормальные векторы имеют координаты:

Из векторной алгебры известно, что
или

(2.4.1)

Пример: Найти угол между плоскостями:

Решение: Найдем координаты нормальных векторов: По формуле (2.4.1) имеем:

Один из двугранных углов, полученных при пересечении данных плоскостей, равен
Можно найти и второй угол:

Ответ :

2.5. Условие параллельности двух плоскостей.

Пусть даны две плоскости:

и

Если эти плоскости параллельны, то их нормальные векторы

коллинеарны (см. рис.15).

Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны:

(2.5.1 )

Верно и обратное утверждение: если нормальные векторы плоскостей коллинеарны, то плоскости параллельны.

Пример 1. Какие из указанных плоскостей параллельны:

Решение: а). Выпишем координаты нормальных векторов.

Проверим их коллинеарность:

Отсюда следует, что

б). Выпишем координаты

Проверим коллинеарность:

Векторы
не коллинеарны, плоскости
не параллельны.

Пример 2. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку

M(2, 3, –2) параллельно плоскости

Решение: Искомая плоскость параллельна данной плоскости. Поэтому нормальный вектор плоскости можно взять за нормальный вектор искомой плоскости.
Применяя уравнение (2.1.1), получим:

Ответ:
.

Пример 3. Определить при каких a и b плоскости параллельны:

Решение: Выпишем координаты нормальных векторов:

Так как плоскости параллельны, то векторы
коллинеарны.По условию (2.5.1)
Отсюда b = – 2 ; a = 3.

Ответ: a = 3; b = –2.

2.6. Условие перпендикулярности двух плоскостей.

Если плоскости
перпендикулярны, то их нормальные векторы
тоже перпендикулярны (см. рис.16).. Отсюда следует, что их скалярное произведение равно нулю, т.е.
или в координатах:

Это условие перпендикулярности двух плоскостей. Обратное утверждение также верно, то есть, если выполняется условие (2.6.1), то векторы
следовательно,

Пример 1. Какие из указанных плоскостей перпендикулярны:

Решение: а). Запишем координаты нормальных векторов:

Проверим их ортогональность:

Отсюда следует, что

б). Запишем координаты нормальных векторов:

то есть плоскости
неперпендикулярны.

Пример 2. При каком значении m плоскости перпендикулярны

Решение: Запишем координаты нормальных векторов:

Найдем их скалярное произведение:

Так как плоскости перпендикулярны, то
Следовательно, 4 – 2m = 0;

Ответ: m = 2.

2.7. Расстояние от точки до плоскости.

Пусть дана точка
и плоскость

Расстояние от точки (см. рис.17) находим по формуле:

(2.7.1 )

Пример: Найти расстояние от точки M(3, 9, 1) до плоскости

Решение: Применяем формулу (2.7.1), где A = 1, B = – 2, C = 2, D = –3,

Ответ:

Графический метод. Координатная плоскость (x;y)

Уравнения с параметром вызывают серьезные трудности логического характера. Каждое такое уравнение - это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного семейства невозможно, но, тем не менее, каждое из них должно быть решено. Легче всего это сделать с помощью графического представления зависимости переменной от параметра.

На плоскости функция задает семейство кривых зависящих от параметра. Нас будет интересовать с помощью какого преобразования плоскости можно переходить к другим кривым семейства (см. , , , , , , ).

Параллельный перенос

Пример . Для каждого значения параметра определить число решений уравнения.

Решение . Построим график функции.

Рассмотрим. Это прямая параллельна оси ОХ.

Ответ . Если, то решений нет;

если, то 3 решения;

если, то 2 решения;

если, 4 решения.

Поворот

Сразу следует отметить, что выбор семейства кривых не отличается однообразием (в отличие от самих задач), а точнее он один: во всех задачах - прямые. Более того, центр поворота принадлежит прямой.

Пример . При каких значениях параметра уравнение имеет единственное решение?

Решение . Рассмотрим функцию и. График второй функции - это полуокружность с центром в точке с координатами и радиусом =1 (рис. 2).

Дуга АВ.

Все лучи проходящие между ОА и ОВ пересекаются в одной точке, также в одной точке пересекаются ОВ и ОМ (касательная). Угловые коофициэнты ОА и ОВ равны соответственно. Угловой коэффициент касательной равен. Легко находится из системы

Итак, прямые семейства имеют с дугой только одну общую точку при.

Ответ . .

Пример . При каких уравнение имеет решение?

Решение . Рассмотрим функцию. Исследуя ее на монотонность узнаем, что она возрастает на промежутке и убывает на. Точка - является точкой максимума.

Функция же - это семейство прямых, проходящих через точку. Обратимся к рисунку 2. Графиком функции является дуга АВ. Прямые, которые будут находиться между прямыми ОА и ОВ, удовлетворяют условию задачи. Коэффициент наклона прямой ОА является число, а ОВ -- .

Ответ . При уравнение имеет 1 решение;

при остальных значениях параметра решений нет.

Гомотетия. Сжатие к прямой

Пример . Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение имеет ровно 8 решений.

Решение . Имеем. Рассмотрим функцию. Первая из них задает семейство полуокружностей с центром в точке с координатами, второе семейство прямых параллельных оси абсцисс.

Число корней будет соответствовать числу 8 тогда, когда радиус полуокружности будет больше и меньше, то есть. Заметим, что есть.

Ответ . или.

Графический метод. Координатная плоскость (x;a)

Вообще, уравнения , содержащие параметр, не обеспечены какой-либо четкой, методически оформленной системой решения. Те или иные значения параметра приходится искать на ощупь, перебором, решая большое количество промежуточных уравнений. Такой подход далеко не всегда обеспечивает успех в отыскании всех значений параметра, при которых уравнение не имеет решений, имеет одно, два и более решений. Зачастую часть значений параметра теряются или появляются лишние значения. Для того чтобы эти последние, приходится проводить специальное исследование которое может оказаться довольно трудным.

Рассмотрим метод, упрощающий работу по решению уравнений с параметром. Метод состоит в следующем

1. Из уравнения с переменной x и параметра a выразим параметр как функцию от x : .

2. В координатной плоскости x Oa строим график функции.

3. Рассмотрим прямые и выделим те промежутки оси Oa , на которых эти прямые удовлетворяют следующим условиям: a) не пересекает график функции, б) пересекает график функции в одной точке, в) в двух точках, г) в трех точках и так далее.

4. Если поставлена задача найти значения x , то выражаем x через a для каждого из найденных промежутков значения a в отдельности.

Взгляд на параметр как на равноправную переменную находит свое отражение в графических методах. Таким образом, возникает координатная плоскость. Казалось бы, такая незначительная деталь, как отказ от традиционного обозначения координатной плоскости буквами x и y определяет один из эффективнейших методов решения задач с параметрами.

Описанный метод очень нагляден. Кроме того, в нем находят применение почти все основные понятия курса алгебры и начал анализа. Задействуется весь набор знаний, связанных с исследованием функции: применение производной к определению точек экстремума, нахождение предела функции, асимптот и т . д. (см. , , ).

Пример . При каких значениях параметра уравнение имеет два корня?

Решение . Переходим к равносильной системе

Из графика видно, что при уравнение имеет 2 корня.

Ответ . При уравнение имеет два корня.

Пример . Найдите множество всех чисел, для каждого из которых уравнение имеет только два различных корня.

Решение . Перепишем данное уравнение в следующем виде:

Теперь важно не упустить, что, и - корни исходного уравнения лишь при условии. Обратим внимание на то, что график удобнее строить на координатной плоскости. На рисунке 5 искомый график - объединение сплошных линий. Здесь ответ «считывается» вертикальными прямыми.

Ответ . При, или, или.

Уравнение
поверхности
F(x,y,z)=0
.

Плоскость. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

Положение плоскости в пространстве
можно определить, задав какую-либо
точку М0 на плоскости и какой-либо
нормальный вектор. Нормальным
вектором плоскости называется любой
вектор, перпендикулярный к этой
плоскости.

Пусть точка М0(х0,у0,z0) лежит в плоскости.
Введем в рассмотрение произвольную точку
плоскости М(х,у,z).
z
n (A,B,C)
M
y
M0
x

Векторы n(A, B, C) и M 0 M (x x0 , y y0 , z z0)
ортогональны.
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
Уравнение плоскости по точке и
нормальному вектору.

Пример 1:

проходящей через точку М(2,3,-1)
перпендикулярно вектору n(1,2, 3)
Решение:
По формуле: 1(х-2)+2(у-3)-3(z+1)=0
или х+2у-3z-11=0

Пример 2:
Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку М(1,0,0)
перпендикулярно вектору n(2,0,1) .
Решение:
Получаем: 2(х-1)+0(у-0)+1(z-0)=0
или 2х+z-2=0.

Общее уравнение плоскости

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0, раскроем в нем
скобки и обозначим –Aх0-Ву0-Сz0=D.
Приведем уравнение рассматриваемой
плоскости к виду:
Ax+By+Cz+D=0 - общее уравнение плоскости.
Коэффициенты А,В,С являются
координатами нормального вектора
плоскости.

Частные случаи общего уравнения плоскости

1. Пусть А=0, В,С,D≠0. Тогда: By+Cz+D=0.
Нормальный вектор плоскости n(0, B, C)
перпендикулярен оси ОХ и, следовательно,
плоскость параллельна оси ОХ.
z
y
x

Уравнения Ax+Cz+D=0 и Ax+By+D=0
выражают плоскости, параллельные осям ОУ
и OZ.
2. D=0, А,В,С≠0. Уравнение плоскости:
Ax+By+Cz=0. Точка О(0,0,0) удовлетворяет
уравнению плоскости. Уравнение задает
плоскость, проходящую через начало
координат.
3. А=0, D=0, В,С≠0. Уравнение плоскости:
By+Cz=0. Плоскость одновременно
параллельна оси ОХ и проходит через начало
координат, т.е. проходит через ось ОХ.

Аналогично уравнения Ax+Cz=0 и Ax+By=0
выражают плоскости, проходящие через оси
OY и OZ.
4. А=0, В=0, С,D≠0. Уравнение плоскости:
Cz+D=0. Плоскость одновременно
параллельна осям ОХ и ОУ, т.е. координатной
плоскости ОХУ. Аналогично уравнения
By+D=0, и Ax+D=0 выражают плоскости,
параллельные координатным плоскостям OXZ
и OYZ.

Пример:
Z=3
z
3
y
x

А=0, В=0, D=0, С≠0.
Уравнение плоскости: Cz=0 или z=0. Это
плоскость одновременно параллельная
координатной плоскости ОХУ, т.е. сама
координатная плоскость ОХУ. Аналогично:
у=0 и х=0 – уравнения координатных
плоскостей OXZ и OYZ.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Три точки, не лежащие на одной прямойM1(x1,y1,z1), M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3).
M(x,y,z) – произвольная точка плоскости.
z
M2
М1
М3
М

Векторы M1M , M 1M 2 , M 1 M 3 ,
компланарны. Их смешанное
произведение равно нулю.
x x1
x2 x1
y y1
y2 y1
z z1
z 2 z1 0
x3 x1
y3 y1
z3 z1
Это искомое уравнение плоскости,
проходящей через три заданные точки.

Пример. Написать уравнение плоскости,
проходящей через точки M1(1,2,1),
M2(0,1,4), M3(-3,3,2).
Решение: Используя полученное
уравнение, имеем:
x 1 y 2 z 1
1
4
2
1
3 0
1
Или 4х+11у+5z-31=0

Угол между плоскостями, условие параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости: A1x+B1y+C1z+D1=0 и
A2x+B2y+C2z+D2=0. Их нормальные
векторы n1 (A1 , B1 , C1) , n2 (A2 , B2 , C2)
Углом между двумя плоскостями
называется угол между их нормальными
векторами
n1 n2
Cosω=
n1 n2
A1 A2 B1 B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22

Если плоскости перпендикулярны, то их
нормальные векторы тоже
перпендикулярны, и поэтому их
скалярное произведение равно нулю:
А1·А2+В1·В2+С1·С2=0.
Если плоскости параллельны, то
параллельны их нормальные векторы, а
значит, выполняются соотношения:
A1 B1 C1
A2 B2 C2

Пример: Написать уравнение плоскости,
проходящей через точку M(0,1,4)
параллельно плоскости 2х-4у-z+1=0.
Решение: Вектор нормали данной
плоскости будет являться нормальным
вектором и для искомой плоскости.
Используем уравнение плоскости по точке
и нормальному вектору:
2(х-0)-4(у-1)-(z-4)=0 или 2х-4у-z+8=0.

.Расстояние от точки до плоскости

найти расстояние от точки М(х0,у0,z0) до
плоскости: Ax+By+Cz+D=0. Опустим из точки
М перпендикуляр МК на плоскость (d).
z
M
n
K
x
y

Пусть точка К имеет координаты х1,у1,z1
n KM n KM d n
Или n KM А(х0-х1)+В(у0-у1)+С(z0-z1)=
= Ax0+By0+Cz0-(Ax1+By1+Cz1).
Точка К лежит в плоскости, ее
координаты удовлетворяют уравнению
плоскости, то есть Ax1+By1+Cz1+D=0.

Учитывая это, получаем: n KM
Ax0+By0+Cz0+D-(Ax1+By1+Cz1+D)=
Ax0+By0+Cz0+D.
Тогда: Ax0+By0+Cz0+D= d n ;
d
Ax0 By 0 Cz0 D
A B C
2
2
2

Пример:
Найти расстояние от точки М (-1,2,3) до
плоскости 2х-6у-3z+2=0.
Решение:
Воспользуемся формулой и подставим в
уравнение плоскости координаты
заданной точки:
d
2 (1) (6) 2 3 (3) 2
2 2 (6) 2 32
21
=
=3
7

Общие уравнения прямой в пространстве

Прямая в пространстве рассматривается
как линия пересечения двух плоскостей.
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0
Система задает прямую в том случае, если
плоскости не являются параллельными,
A1 B1 C1
A2 B2 C 2

Канонические уравнения прямой в пространстве

Положение прямой L в пространстве
однозначно определено, если известна
какая-нибудь точка М0(х0,у0,z0), лежащая на
прямой L, и задан направляющий вектор
S (m, n, p)
S
M
M0

М(х,у,z) – произвольная точка на этой
прямой. Тогда векторы
M 0 M =(х-х0, у-у0, z-z0) и S (m, n, p)
будут коллинеарны:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
- канонические уравнения прямой в
пространстве или уравнения прямой по
точке и направляющему вектору.

Пример 1:

через точку М(1,2,3), параллельно прямой
x 1 y 7 z
2
5
3
Решение:
Так как прямые параллельны, то S (2,5,3)
является направляющим вектором и искомой
прямой. Следовательно:
x 1 y 2 z 3
2
5
3

Пример 2:
Написать уравнение прямой L, проходящей
через точку М(1,2,3), и имеющей
направляющий вектор S (2,0,5)
Решение:
Воспользуемся формулой:
x 1 z 3
и
2
5
у-2=0,
то есть 5х-2z+1=0 и у=2. Это означает, что
прямая лежит в плоскости у=2

Уравнения прямой в пространстве по двум точкам

Заданы две точки М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2).
Написать уравнение прямой, проходящей
через две точки.
М1
М2

Прямая проходит через точку М1 и имеет в
качестве направляющего вектора M 1M 2
Уравнение имеет вид:
x x1
y y1
z z1
x2 x1 y 2 y1 z 2 z1
Пример: Написать уравнение прямой,
проходящей через точки М1(1,4,-3) и
М2(2,1,1).
Решение: Воспользуемся формулой
x 2 y 1 z 1
1
3
4

Параметрические уравнения прямой в пространстве

Рассмотрим канонические уравнения
прямой: x x0 y y0 z z 0
m
n
p
Введем параметр t:
x x0 y y 0 z z 0
t
m
n
p
-∞ < t <+∞.

Получим:
x x0
t
y m y
0
t
n
z z0 t
p
или
x x0 mt
y y0 nt
z z pt
0
параметрические уравнения прямой в
пространстве. В таком виде их часто
используют в механике и физике, параметр t,
обычно, время.

Приведение общих уравнений прямой в пространстве к каноническому виду

Заданы общие уравнения прямой в
пространстве
A1 x B1 y C1 z D1 0 (1)
A2 x B2 y C2 z D2 0
Привести их к каноническому виду
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p

Для решения задачи нужно:
1. найти координаты (х0,у0,z0) какой-либо
точки, лежащей на прямой,
2. найти координаты (m,n,p) направляющего
вектора этой прямой.
Чтобы найти координаты точки М0 придадим
одной из координат произвольное численное
значение, например полагаем х=х0. Внеся его
в систему (1), получаем систему двух
уравнений с неизвестными у и z. Решаем ее.
В результате на прямой найдена точка
М0(х0,у0,z0).

В качестве направляющего вектора примем
вектор, который является результатом
векторного произведения нормальных
векторов двух плоскостей.
S (m, n, p) n1 n2
i
A1
j
B1
A2
B2
k
B1
C1
B2
C2
C1
C2
i
A1
C1
A2
C2
j
A1
B1
A2
B2
k

Получаем координаты направляющего
вектора:
A1 B1
A1 C1
B1 C1
p
n
m
A2 B2
A2 C2
B2 C2
Общие уравнения прямой, записанные в
каноническом виде:
x x0
y y0
z z0
B1 C1
C1 A1
A1 B1
B2
C2
C2
A2
A2
B2

Пример: Записать каноническое уравнение
прямой
x 2 y z 5 0
x y z 1 0
Решение: Положим z0=0. Тогда:
x 2 y 5
x y 1
Отсюда: : у0=-6, х0=7. Точка М0, лежащая на
прямой, имеет координаты: (7,-6,0).

Найдем направляющий вектор. Нормальные
векторы плоскостей имеют координаты
n1 (1,2, 1)
Тогда
n2 (1,1,1)
i j k
S n1 n2 1 2 1 3i 2 j k
1 1
1
Канонические уравнения прямой имеют вид:
x 7 y 6 z
3
2
1

Угол между двумя прямыми в пространстве, условие перпендикулярности и параллельности прямых

прямые L1 и L2 заданы в каноническом виде с
направляющими векторами
S 1 (m1 , n1 , p1) и S 2 (m2 , n2 , p2)
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y 2 z z 2
m2
n2
p2

Углом между двумя прямыми называется угол
между их направляющими векторами.
S1 S 2
cos (L1 , L2) cos(S1 , S 2)
S1 S 2
cos(L1 , L2)
m1m2 n1n2 p1 p2
m12 n12 p12 m22 n22 p22

Прямые перпендикулярны, если
перпендикулярны их направляющие векторы:
То есть S1 S2 0 , или
m1m2+n1n2+p1p2=0.
Прямые параллельны, если параллельны их
направляющие векторы:
m1 n1
p1
m2 n 2 p 2

Пример: Найти угол между прямыми
x 2 y 7
z
1
3
2
и
x 10 y 3 z 5
4
1
2
Решение: Направляющие векторы прямых
имеют координаты: (1,3,-2) и (4,1,2).
Следовательно,
1 4 3 1 (2) 2
3
cos(L1 , L2)
1 9 4 16 1 4 7 16
3
(L1 , L2) arccos
7 16

Угол между прямой и плоскостью

Задана плоскость Р: Ах+Ву+Сz+D=0, и
прямая L:
x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
n
S
ω
φ

Углом между прямой и плоскостью
называется угол φ между прямой и проекцией
ее на плоскость.
ω - угол между нормальным вектором
плоскости и направляющим вектором
прямой. ω=π/2-φ. Тогда sinφ=cos(π/2-φ)=
=cosω. Но cosω=cos (n, S)
Тогда
n S
sinφ= cos (n, S)
n S

sinφ =
Am Bn Cp
m 2 n 2 p 2 A2 B 2 C 2
Пример: Найти угол между прямой:
x 2 y 1 z
3
2
6
и плоскостью: 2х+у+2z-5=0.
Решение: Нормальный вектор плоскости
имеет координаты: (2,1,2), направляющий
вектор прямой имеет координаты: (3,2,-6).
sin
6 2 12
4
2
2
2
2
2
2
21
2 1 2 3 2 6

Условие перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости.

x x0 y y 0 z z 0
m
n
p
P
Задана прямая L:
и плоскость Р: Ах+Ву+Сz+D=0.
Если прямая параллельна плоскости, то
направляющий вектор прямой
перпендикулярен нормальному вектору
плоскости.
S
n
L

Следовательно, их скалярное произведение
равно нулю: A·m+B·n+C·p=0.
Если прямая перпендикулярна плоскости, то
эти векторы параллельны.
S
n
Р
L
В этом случае:
A B C
m n p

Пример:
Написать уравнение прямой,
проходящей через точку М(1,2,-3),
перпендикулярно плоскости
4х+2у-z+5=0.
Решение:
Так как плоскость перпендикулярна
прямой, то нормальный вектор и
направляющий вектор параллельны:
x 1 y 2 z 3
4
2
1

Разберем типовую задачу.
Даны вершины пирамиды ABCD: А(1,0,0);
B(0,2,0); C(0,0,3), D(2,3,4). Найти:
1. Длину и уравнение ребра АВ,
2. Уравнение и площадь грани АВС,
3. Уравнение и длину высоты, опущенной
из вершины D на грань АВС,
4. Угол между ребром AD и гранью АВС,
5. Объем пирамиды.

Чертеж:
z
D
C
B
A
x
y

1. Введем в рассмотрение вектор AB . Его
координаты: (0-1;2-0;0-0), или (-1;2;0). Длина
ребра АВ равна модулю вектора.
АВ= 1 4 0 5
Уравнение прямой АВ (уравнение прямой по
двум точкам):
x 1 y
1 2
Или 2х+у-2=0

2. Уравнение грани АВС (уравнение
плоскости по трем точкам):
x 1 y z
1 2 0 0
1
0 3
Отсюда: (х-1)∙6-у∙(-3)+z∙2=0,
или 6х+3у+2z-6=0.
Площадь треугольника АВС найдем с
помощью векторного произведения
векторов AB и AC

Координаты вектора AB =(-1;2;0),
вектора AC =(-1,0,3).
1
SΔABC= AB AC
кв.единиц.
2
Векторное произведение:
i
j k
AB AC 1 2 0 6i 3 j 2k
1 0 3

Тогда
1
S ABC 6i 3 j 2k
2
1
7
36 9 4 3,5 êâ.åä.
2
2

Уравнение высоты - уравнение прямой по
точке D(2,3,4) и направляющему вектору. В
качестве направляющего вектора –
нормальный вектор грани АВС: n (6,3,2)
x 2 y 3 z 4
6
3
2
Для нахождения длины высоты используем
формулу:
Ax0 By 0 Cz0 D
d
A2 B 2 C 2

Получим:
d
6 2 3 3 2 4 6
36 9 4
27
3
4. Угол между ребром AD и гранью АВС.
Уравнение грани АВС: 6х+3у+2z-6=0,
нормальный вектор имеет координаты:
(6,3,2). Напишем уравнения прямой,
проходящей через точки А(1,0,0) и D(2,3,4):
x 1 y 0 z 0
2 1 3 0 4 0

Эта прямая имеет направляющий вектор с
координатами:(1,3,4). Тогда
sin
=
Am Bn Cp
m n p A B C
2
2
2
2
6 1 3 3 2 4
12 32 4 2 6 2 32 2 2
arcsin
2
23
7 26
2
=
23
23
26 7 7 26

5. Объем пирамиды равен 1/6 объема
параллелепипеда, построенного на
векторах, как на сторонах. Используем
смешанное произведение векторов.
Координаты векторов: AB =(-1,2,0),
AC○ =(-1,0,3), AD =(1,3,4)
○ Vпараллелепипеда
1 2 0
1 0 3 23
1
3 4
○ Vпирамиды=23/6 куб.ед.

Все уравнения плоскости, которые разобраны в следующих пунктах могут быть получены из общего уравнения плоскости, а также приведены к общему уравнению плоскости. Таким образом, когда говорят об уравнении плоскости, то имеют в виду общее уравнение плоскости, если не оговорено иное.

Уравнение плоскости в отрезках.

Уравнение плоскости вида , где a , b и c – отличные от нуля действительные числа, называется уравнением плоскости в отрезках .

Такое название не случайно. Абсолютные величины чисел a , b и c равны длинам отрезков, которые отсекает плоскость на координатных осях Ox , Oy и Oz соответственно, считая от начала координат. Знак чисел a , b и c показывает, в каком направлении (положительном или отрицательном) следует откладывать отрезки на координатных осях.

Для примера построим в прямоугольной системе координат Oxyz плоскость, определенную уравнением плоскости в отрезках . Для этого отмечаем точку, удаленную на 5 единиц от начала координат в отрицательном направлении оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении оси аппликат. Осталось соединить эти точки прямыми линиями. Плоскость полученного треугольника и есть плоскость, соответствующая уравнению плоскости в отрезках вида .

Для получения более полной информации обращайтесь к статье уравнение плоскости в отрезках , там показано приведение уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости, там же Вы также найдете подробные решения характерных примеров и задач.

Нормальное уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости вида называют нормальным уравнением плоскости , если равна единице, то есть, , и .

Часто можно видеть, что нормальное уравнение плоскости записывают в виде . Здесь - направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины, то есть , а p – неотрицательное число, равное расстоянию от начала координат до плоскости.

Нормальное уравнение плоскости в прямоугольной системе координат Oxyz определяет плоскость, которая удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости . Если p=0 , то плоскость проходит через начало координат.

Приведем пример нормального уравнения плоскости.

Пусть плоскость задана в прямоугольной системе координат Oxyz общим уравнение плоскости вида . Это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости. Действительно, и нормальный вектор этой плоскости имеет длину равную единице, так как .

Уравнение плоскости в нормальном виде позволяет находить расстояние от точки до плоскости .

Рекомендуем более детально разобраться с данным видом уравнения плоскости, посмотреть подробные решения характерных примеров и задач, а также научиться приводить общее уравнение плоскости к нормальному виду. Это Вы можете сделать, обратившись к статье .

Список литературы.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
• Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
• Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

УГОЛ МЕЖДУ ПЛОСКОСТЯМИ

Рассмотрим две плоскости α 1 и α 2 , заданные соответственно уравнениями:

Под углом между двумя плоскостями будем понимать один из двугранных углов, образованных этими плоскостями. Очевидно, что угол между нормальными векторами и плоскостей α 1 и α 2 равен одному из указанных смежных двугранных углов или . Поэтому . Т.к. и , то

.

Пример. Определить угол между плоскостями x +2y -3z +4=0 и 2x +3y +z +8=0.

Условие параллельности двух плоскостей.

Две плоскости α 1 и α 2 параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы и параллельны, а значит .

Итак, две плоскости параллельны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при соответствующих координатах пропорциональны:

или

Условие перпендикулярности плоскостей.

Ясно, что две плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы перпендикулярны, а следовательно, или .

Таким образом, .

Примеры.

ПРЯМАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ.

ВЕКТОРНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ.

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо её фиксированной точки М 1 и вектора , параллельного этой прямой.

Вектор , параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая l проходит через точку М 1 (x 1 , y 1 , z 1), лежащую на прямой параллельно вектору .

Рассмотрим произвольную точку М(x,y,z) на прямой. Из рисунка видно, что .

Векторы и коллинеарны, поэтому найдётся такое число t , что , где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки M на прямой. Множитель t называется параметром. Обозначив радиус-векторы точек М 1 и М соответственно через и , получаем . Это уравнение называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки М , лежащей на прямой.

Запишем это уравнение в координатной форме. Заметим, что , и отсюда

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты x , y и z и точка М перемещается по прямой.

КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

Пусть М 1 (x 1 , y 1 , z 1) – точка, лежащая на прямой l , и – её направляющий вектор. Вновь возьмём на прямой произвольную точку М(x,y,z) и рассмотрим вектор .

Ясно, что векторы и коллинеарные, поэтому их соответствующие координаты должны быть пропорциональны, следовательно,

– канонические уравнения прямой.

Замечание 1. Заметим, что канонические уравнения прямой можно было получить из параметрических,исключив параметр t . Действительно, из параметрических уравнений получаем или .

Пример. Записать уравнение прямой в параметрическом виде.

Обозначим , отсюда x = 2 + 3t , y = –1 + 2t , z = 1 –t .

Замечание 2. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например оси Ox . Тогда направляющий вектор прямой перпендикулярен Ox , следовательно, m =0. Следовательно, параметрические уравнения прямой примут вид

Исключая из уравнений параметр t , получим уравнения прямой в виде

Однако и в этом случае условимся формально записывать канонические уравнения прямой в виде. Таким образом, еслив знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, каноническим уравнениям соответствует прямая перпендикулярная осям Ox и Oy или параллельная оси Oz .

Примеры.

ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ, КАК ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ

Через каждую прямую в пространстве проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще любые две не параллельные плоскости, заданные общими уравнениями

определяют прямую их пересечения. Эти уравнения называются общими уравнениями прямой.

Примеры.

Построить прямую, заданную уравнениями

Для построения прямой достаточно найти любые две ее точки. Проще всего выбрать точки пересечения прямой с координатными плоскостями. Например, точку пересечения с плоскостью xOy получим из уравнений прямой, полагая z = 0:

Решив эту систему, найдем точку M 1 (1;2;0).

Аналогично, полагая y = 0, получим точку пересечения прямой с плоскостью xOz :

От общих уравнений прямой можно перейтик её каноническим или параметрическим уравнениям. Для этого нужно найти какую-либо точку М 1 на прямой и направляющий вектор прямой.

Координаты точки М 1 получим из данной системы уравнений, придав одной из координат произвольное значение. Для отыскания направляющего вектора, заметим, что этот вектор должен быть перпендикулярен к обоим нормальным векторам и . Поэтому за направляющий вектор прямой l можно взять векторное произведение нормальных векторов:

.

Пример. Привести общие уравнения прямой к каноническому виду.

Найдём точку, лежащую на прямой. Для этого выберем произвольно одну из координат, например, y = 0 и решим систему уравнений:

Нормальные векторы плоскостей, определяющих прямую имеют координаты Поэтому направляющий вектор прямой будет

. Следовательно, l : .

УГОЛ МЕЖДУ ПРЯМЫМИ

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведёнными через произвольную точку параллельно данным.

Пусть в пространстве заданы две прямые:

Очевидно, что за угол φ между прямыми можно принять угол между их направляющими векторами и . Так как , то по формуле для косинуса угла между векторами получим