Формулировка общего уравнения динамики. Общее уравнение динамики. Принцип возможных перемещений

Общее уравнение динамики для системы с любыми связями (объединенный принцип Даламбера-Лагранжа или общее уравнение механики) :

где – активная сила, приложенная к -ой точке системы; – сила реакции связей; – сила инерции точки; – возможное перемещение.

Оно в случае равновесия системы при обращении в нуль всех сил инерции точек системы переходит в принцип возможных перемещений. Обычно его применяют для систем с идеальными связями, для которых выполняется условие

В этом случае (229) принимает одну из форм:

. (230)

Таким образом, согласно общему уравнению динамики, в любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равна нулю на любом возможном перемещении системы, допускаемом связями .

Общему уравнению динамики можно придать другие, эквивалентные формы. Раскрывая скалярное произведение векторов, его можно выразить в виде

где – координаты -ой точки системы. Учитывая, что проекции сил инерции на оси координат через проекции ускорений на эти оси выражаются соотношениями

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

При использовании общего уравнения динамики необходимо уметь вычислять элементарную работу сил инерции системы на возможных перемещениях. Для этого применяются соответствующие формулы для элементарной работы, полученные для обычных сил. Рассмотрим их применение для сил инерции твердого тела в частных случаях его движения.

При поступательном движении. В этом случае тело имеет три степени свободы и вследствие наложенных связей может совершать только поступательное движение. Возможные перемещения тела, которые допускают связи, тоже являются поступательными.

Силы инерции при поступательном движении приводятся к равнодействующей . Для суммы элементарных работ сил инерции на поступательном возможном перемещении тела получим

где – возможное перемещение центра масс и любой точки тела, так как поступательное возможное перемещение у всех точек тела одинаково: одинаковы и ускорения, т. е. .

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси. Тело в этом случае имеет одну степень свободы. Оно может вращаться вокруг неподвижной оси . Возможное перемещение, которое допускается наложенными связями, является тоже поворотом тела на элементарный угол вокруг неподвижной оси.

Силы инерции, приведенные к точке на оси вращения, сводятся к главному вектору и главному моменту . Главный вектор сил инерции приложен к неподвижной точке, и его элементарная работа на возможном перемещении равна нулю. У главного момента сил инерции не равную нулю элементарную работу совершит только его проекция на ось вращения . Таким образом, для суммы работ сил инерции на рассматриваемом возможном перемещении имеем

если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .

При плоском движении. Связи, наложенные на твердое тело, допускают в этом случае только плоское возможное перемещение. В общем случае оно состоит из поступательного возможного перемещения вместе с полюсом, за который выберем центр масс, и поворота на элементарный угол вокруг оси , проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости, параллельно которой может совершать тело плоское движение.

Так как силы инерции при плоском движении твердого тела можно привести к главному вектору и главному моменту (если за центр приведения выбрать центр масс), то сумма элементарных работ сил инерции на плоском возможном перемещении сведется к элементарной работе отавною вектора сил инерции на возможном перемещении центра масс и элементарной работе главного момента сил инерции на элементарном поворотном перемещении вокруг оси , проходящей через центр масс. При этом не равную нулю элементарную работу может совершить только проекция главного момента сил инерции на ось , т.е. . Таким образом, в рассматриваемом случае имеем

если поворот на элементарный угол направить по дуговой стрелке для .

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Алгебраический момент силы относительно точки
Алгебраическим моментом силыотносительно точки называют произведение модуля силы на плечо силы относите

Векторный момент силы относительно точки
Векторным моментом с

Момент силы относительно оси
Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью (рис. 4). Момент сил

Пара сил и алгебраический момент пары сил
Парой сил называют систему двух равных по модулю параллельных сил, направленных в противоположные стороны

Аксиомы статики
При формулировке аксиом предполагаем, что на твердое тело или материальную точку действуют силы, которые указаны в соответствующей аксиоме. I. Аксиома о равновесии системы двух сил

Простейшие теоремы статики
Теорема о переносе силы вдоль линии действия: Действие силы на твердое тело не изменится от переноса Теорема о трех силах: если твердое тело под действием трех сил

Приведение системы сил к простейшей системе. Условия равновесия
Лемма о параллельном переносе сил: силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку твердого тела, добавляя при этом пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту

Равновесие пар сил
Если на твердое тело действуют пары сил, как угодно расположенные в пространстве, то эти пары сил можно заменить одной эквивалентной парой сил, векторный момент которой равен сумме векторных момент

Условия равновесия произвольной системы сил в векторной форме
Векторные условия равновесия произвольной системы сил: для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил был равен нулю и главный

Условия равновесия пространственной системы сходящихся сил
Для равновесия пространственной системы сходящихся сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из трех прямоугольных осей координат были равны н

Условия равновесия плоской системы сил
Расположим оси и в плос

Центр параллельных сил
Пусть на тело действует система параллельных сил. Такая система имеет равнодействующую

Способы нахождения центра тяжести
Симметричные тела. Если тело имеет плоскость (ось, центр) симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости (на оси, в центре).

Распределенные силы
В статике рассматривают силы, приложенные к твердому телу в какой-либо его точке, и поэтому такие силы называют сосредоточенными. В действительности обычно силы бывают приложены к какой-либо

Трение скольжения
При движении или стремлении двигать одно тело по поверхности другого в касательной плоскости поверхностей соприкосновения возникает сила трения скольжения (трение первого рода). Пус

Трение качения
Если одно тело, например цилиндрический каток, катить или стремиться катить по поверхности другого тела, то кроме силы трения скольжения из-за деформации поверхностей тел дополнительно возникает па

Решение задач статики
Пример 1.На угольник (

Кинематика точки
В кинематике точки рассматриваются характеристики движения точки, такие, как скорость, ускорение, и методы их определения при различных способах задания движения. Важным в кинематике точки является

Скорость и ускорение точки
Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета, ко

Частные случаи движения точки
Равномерное движение. При равномерном движении точки по траектории любой формы, следовательно, постоян

Кинематика твердого тела
Числом степеней свободы твердого тела называют число независимых параметров, определяющих положение тела относительно рассматриваемой системы отсчета. Движение твердого тела во мног

Поступательное движение твердого тела
Поступательным движением твердого тела называют такое его движение, при котором любая прямая, жестко скрепленная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению в каждый моме

Вращение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращением твердого тела вокруг неподвижной оси (оси вращения) называется такое его движение, при котором точки тела, лежащие на оси вращения, остаются неподвижными в течение всего времени дв

Частные случаи вращения твердого тела
Вращение называется равномерным, если. Алгебраическая угловая скорость отличается от модуля угловой ск

Скорости и ускорения точек тела при вращении вокруг неподвижной оси
Известно уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси (рис. 29). Расстояние

Векторы угловой скорости и углового ускорения
Введем понятия векторов угловой скорости и углового ускорения тела. Если – единичный вектор оси вращения, напр

Векторные формулы для скоростей и ускорений точек тела
Выразим скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точки тела в векторной форме (рис. 32). Скорость точки по модулю и направлению можно представить векторным произведением

Сложное движение точки
Для изучения некоторых, более сложных видов движений твердого тела целесообразно рассмотреть простейшее сложное движение точки. Во многих задачах движение точки приходится рассматривать относительн

Ускорение Кориолиса
Рассмотрим ускорение Кориолиса и его свойства. Оно определяется формулой (81) . Угловую ско

Плоское (плоскопараллельное) движение твердого тела
Плоским движением твердого тела называют такое его движение, при котором каждая его точка все время движется в одной и той же плоскости. Плоскости, в которых движутся отдельные точки, паралл

Скорости точек плоской фигуры
Применяя к плоскому движению теорему о сложении скоростей для какой-либо точки фигуры, получаем

Мгновенный центр скоростей
В каждый момент вр

Ускорения точек плоской фигуры
Рассматривая плоское движение плоской фигуры как сложное, состоящее из переносного поступательного вместе с полюсом

Мгновенный центр ускорений
В каждый момент движения плоской фигуры в своей плоскости, если и

Решение задач кинематики
Пример 3. Даны уравнения движения точки в плоскости:

Аксиомы динамики
I. Первая аксиома (законом классической механики, закон инерции): материальная точка, на которую не действуют силы или действует равновесная система сил, обладает способност

Дифференциальные уравнения движения материальной точки
Используя основной закон динамики, можно получить дифференциальные уравнения движения материальной точки в различных системах координат. По аксиоме о связях и силах реакций связей можно получить ди

Первая задача
Зная массу точки и ее закон движения, можно найти действующую на точку силу. Действительно, если, например, заданы уравнения движения точки в декартовой системе координат

Вторая задача
По заданной массе и действующей на точку силе необходимо определить движение этой точки. Рассмотрим решение этой задачи в прямоугольной декартовой системе координат. В общем случае сила

Дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки
Имеем инерциальную систему отсчета и материальную точку массой

Центр масс
При рассмотрении движения твердых тел и других механических систем важное значение имеет точка, называемая центром масс. Если механическая система состоит

Моменты инерции относительно точки и оси
Моментом инерции механической системы, состоящей из

Теорема Штейнера
Установим зависимость

Однородный стержень
Имеем однородный стержень длиной и массой

Прямоугольная пластина
Прямоугольная тонкая пластина имеет размеры и

Сплошной диск
Имеем тонкий однородный диск радиусом и массой

Тонкое кольцо (круглое колесо)
Имеем тонкое кольцо радиусом и массой

Круглый цилиндр
Для круглого однородного цилиндра, масса которого, радиус

Теоремы динамики
Внешними силами механической системы называются силы, с которыми действуют на точки системы тела и точки, не входящие в рассматриваемую систему. Внутренними силами механическ

Теорема о движении центра масс
Центр масс системы движется так же, как и материальная точка, масса которой равна массе всей системы, если на точку действуют все внешние силы, приложенные к механической системе:

Количество движения точки и системы
Количеством движения материальной точки называют вектор, равный произведению массы точки

Теорема об изменении количества движения точки
Теорема об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: первая производная по времени от количества движения точки равна действующей на точку силе:

Теорема об изменении количества движения системы
Теорема об изменении количества движения системы в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения системы равна векторной сумме всех внешних сил, действующих на сис

Законы сохранения количества движения
Законы сохранения количества движения системы получаются как частные случаи теоремы об изменении количества движения для системы в зависимости от особенностей системы внешних сил, приложенных к рас

Теорема об изменении кинетического момента
Для материальной точки массой, движущейся со скоростью

Теорема об изменении кинетического момента точки
Первая производная по времени от кинетического момента точки относительно какого-либо центра равна моменту силы относительно того же центра:

Теорема об изменении кинетического момента системы
Первая производная по времени от кинетического момента системы относительно какой-либо точки равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему, относительно той же точки.

Законы сохранения кинетических моментов
1. Если главный момент внешних сил системы относительно точки равен нулю, т. е.

Дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси
Из теоремы об изменении кинетического момента (172") следует дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Теорема об изменении кинетического момента системы в относительном движении по отношению к центру масс
Пусть механическая система совершает движение относительно основной системы координат. Возьмем подвижную сист

Дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела
Для твердого тела, совершающего плоское движение и, следовательно, имеющего три степени свободы, соответственно получим следующие три дифференциальных уравнения:

Работа силы
Работа силы на каком-либо перемещении является одной из основных характеристик, оценивающих действие силы на этом перемещении.

Кинетическая энергия
Кинетическая энергия точки и системы. Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости, т.е.

Теорема об изменении кинетической энергии точки
Теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Теорема об изменении кинетической энергии системы
Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних си

Принцип Даламбера для материальной точки
Принцип Даламбера для свободной материальной точки эквивалентен основному закону динамики. Для несвободной точки он эквивалентен основному закону вместе с аксиомой связей. Уравнение движен

Принцип Даламбера для системы материальных точек
Рассмотрим систему материальных точек. К каждой точке системы в общем случае приложены равнодействующая актив

Силы инерции твердого тела в частных случаях его движения
При поступательном движении. Если твердое тело движется поступательно, то ускорения его точек одинаковы. Силы инерции этих точек составляют систему параллельных сил, направленных в од

Возможные перемещения
Для одной точки возможным (виртуальным) перемещением называется такое бесконечно милое (элементарное) мысленное перемещение, которое допускается в рассматриваемый момент времени наложенными на т

Элементарная работа силы на возможном перемещении. Идеальные связи
Элементарную работу силы на возможном перемещении ее точки приложения вычисляют по обычным формулам для элементарной работы, т.е.

Принцип возможных перемещений
Принцип возможных перемещений, или принцип Лагранжа, содержит необходимые и достаточные условия равновесия некоторых механических систем. Он формулируется следующим образом: для ра

Обобщенные координаты системы
Пусть система состоит из точек и, следовательно, ее положение в пространстве в каждый момент времени определя

Обобщенные силы
Запишем сумму элементарных работ сил, действующих на точки системы, на возможном перемещении системы:

Вычисление обобщенной силы
1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле (227), ее определяющей, т.е. . 2. Обобщенные

Уравнения Лагранжа второго рода
Уравнения Лагранжа можно рассматривать как алгоритм получения дифференциальных уравнений движения системы, т.е. дифференциальных уравнений относительно обобщенных координат. Уравнения Лагр

Решение задач динамики
Пример 7. На вертикальном участке

Библиографический список
1. Никитин Н.Н. Курс теоретической механики: учебник для машиностроит. и приборостроит. спец. вузов / Н.Н. Никитин. – М.: Высш. шк., 1990. 607с. 2. Бутенин Н.В. Курс теоретической механики

Принцип возможных перемещений, дающий общий метод решения задач статики, можно применить к решению задач динамики. Как известно, согласно принципу Д’Аламбера, совокупность всех сил, действующих на механическую систему, и сил инерции образует в каждый момент времени уравновешенную систему сил. Тогда, применив к этим силам принцип возможных перемещений, для механической системы получим уравнение

Это уравнение выражает следующий принцип Д’Аламбера - Лагранжа: при движении механической системы в каждый момент времени сумма элементарных работ всех действующих на систему сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю. Уравнение (24.1) называют общим уравнением динамики.

В первое слагаемое уравнения (24.1) входит работа активных сил и работа реакций связей. Если на систему наложены идеальные связи, то для их реакций

и общее уравнение динамики для системы с идеальными связями принимает вид

Так как в уравнения (24.1), (24.2) входит работа сил инерции, величина которых выражается через ускорения точек, то эти уравнения дают возможность составлять дифференциальные уравнения движения механической системы. Если система представляет собой совокупность каких-нибудь твердых тел, то множество сил инерции всех точек каждого тела целесообразно заменить их силовыми эквивалентами: приложенной в каком-либо центре силой, равной главному вектору сил инерции тела, и парой сил инерции с моментом, равным главному моменту сил инерции относительно этого центра.

Для системы, имеющей s степеней свободы, уравнение работ

(24.2) может быть записано через обобщенные силы и обобщенные координаты в виде

где Qj - обобщенная активная сила; Q 1 * - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате q f .

Так как возможные перемещения 8q , между собой независимы и каждое из них в общем случае не равно нулю, то условие (24.3) будет выполняться, если

где s - число обобщенных координат или число степеней свободы системы.

Уравнения (24.4) выражают общее уравнение динамики в обобщенных силах.

Задача 24.1. Механическая система (рис. 24.1) состоит из двухступенчатого шкива I (вес Р ] - 20 Н, радиусы ступеней R- 0,4 м, г - 0,2 м, радиус инерции относительно оси вращения р = 0,3 м), обмотанного нитями, на концах которых прикреплены груз А (весом Р 2 = 10 Н) и каток (сплошной однородный цилиндр весом Р 3 = 80 Н). Каток катится без скольжения по шероховатой наклонной поверхности с углом наклона а = 30°. Система движется в вертикальной плоскости под действием сил тяжести и вращающего момента М - 6 Н м, приложенного к шкиву I. Определить угловое ускорение шкива, считая тела абсолютно твердыми, а нити нерастяжимыми.

Решение. 1. Рассмотрим движение механической системы, состоящей из тел 1, 2, 3, соединенных нитями. Связи, наложенные на систему, - идеальные. Система имеет одну степень свободы. Выберем в качестве обобщенной координаты угол ср, - угол поворота шкива 1.

Для определения углового ускорения е шкива применим общее уравнение динамики (24.2)

где 28/4 ^ - сумма элементарных работ активных сил; 28/4” - сумма элементарных работ сил инерции.

2. Изображаем на чертеже активные силы Р х, Р 2 , Р 3 и вращающий момент М. Реакции идеальных связей (в точках О и Л) на чертеже не показываем.

Задаемся направлением углового ускорения s шкива против хода часовой стрелки. В соответствии с этим изображаем на чертеже ускорение а 2 груза и ускорение а в центра масс В цилиндрического катка. Теперь к активным силам, действующим на систему, присоединим силы инерции, направляя их противоположно соответствующему ускорению. Числовые значения этих величин определяются по формулам

В эти формулы подставлены значения моментов инерции J 0 шкива и J в сплошного однородного цилиндра 3.

3. Сообщим системе возможное перемещение 5фj >0; при этом груз Л получит перемещение 5s 2 , точка В катка - перемещение 5s B , а каток 3 повернется на угол 5ф 3 , направленный против хода часовой стрелки.

Составив уравнение (а), получим

Для решения этого уравнения и определения углового ускорения е необходимо выполнить две подготовительные операции: выразить все перемещения через приращение обобщенной координаты и величины всех ускорений выразить через искомое ускорение.

Все перемещения, участвующие в уравнении (в), выражаем через 5cpj:

При составлении последнего равенства учтено, что точка К цилиндра 3 является мгновенным центром скоростей.

Величины ускорений а 2 , а в, s 3 , участвующие в формулах (б), выразим через искомое угловое ускорение s:

Подставив величины (б) при учете равенств (д) и соотношений (г) в уравнение (в) после упрощений приведем его к виду

Так как бф, 0, то приравниваем к нулю выражение, стоящее в фигурных скобках. Из полученного в результате этого уравнения найдем искомую величину

Вычисления дают следующий ответ: s = 2,4 с; знак указывает, что угловое ускорение шкива направлено так, как предполагалось в начале расчета, т. е. как показано на рис. 24.1.

Например, если бы в этой же задаче вращающий момент был равен М = 2 Н м, то в результате вычислений по формуле (ж) получили бы е = -2,4 с -1 ; это означало бы, что в рассматриваемом случае угловое ускорение шкива было бы направлено противоположно изображенному на рис. 24.1.

В решениях задач динамики как частный случай содержится решение соответствующей задачи статики. Если бы для рассматриваемой механической системы (см. рис. 24.1) определялось условие равновесия по принципу возможных перемещений, то получили бы расчетное уравнение

Как видим, в левой части равенства стоит выражение числителя формулы (ж), т. е. определено условие, при котором 8 = 0 (что соответствует покою системы либо движению с равномерным вращением шкива). Смысл этого равенства заключается в том, что обобщенная активная сила системы на возможном перемещении 8ф, равна нулю, т. е. Q“ = 0.

В этом случае (229) принимает одну из форм:

. (230)

общему уравнению динамики можно придать форму

В этом виде его называют общим уравнением динамики в аналитической форме .

если угол сообщить в направлении дуговой стрелки углового ускорения .

На основании принципа Даламбера справедливы равенства:

где – активная сила; – реакция связей; – сила инерции точки (рис. 3.36).

Умножая скалярно каждое из соотношений (3.45) на возможное перемещение точки и суммируя по всем точкам системы, получим

(3.46)

Равенство (3.46) – общее уравнение динамики для механической системы с любыми связями. Если связи идеальные, то и выражение (3.46) принимает одну из форм:

Общее уравнение динамики (объединенный принцип Даламбера–Лагранжа). В любой момент движения системы с идеальными связями сумма элементарных работ всех активных сил и сил инерции точек системы равны нулю на любом возможном перемещении системы.

Обобщенные координаты

Пусть система состоит из N точек и положение ее определяется 3N координатами точек системы (рис. 3.37). На систему наложены l

голономных двухсторонних связей, уравнения которых s =1,2,…,l .

Таким образом, 3N координат связаны l уравнениями и независимых координат будет n =3N -l .

В качестве n независимых координат можно выбрать любые независимые параметры

Независимые параметры, однозначно определяющие положение системы, называют обобщенными координатами системы .

Рис. 3.37

В общем случае они являются функциями декартовых координат точек системы:

Можно выразить декартовы координаты через обобщенные координаты:

Для радиус–вектора каждой точки системы получим

Если связи стационарные, то время в (3.47) явно входить не будет. Для голономных связей вектор возможного перемещения точки можно выразить в форме:

Если связи голономные, то число независимых возможных перемещений (или вариаций ) совпадает с числом независимых обобщенных координат. Следовательно, число степеней свободы голономной системы равно числу независимых обобщенных координат этой системы, т.е. n =3N -l.

Для неголономных систем в общем случае число независимых вариаций (возможных перемещений) меньше числа обобщенных координат. Поэтому число степеней свободы неголономной системы, равное числу независимых возможных перемещений, тоже меньше числа обобщенных координат системы.

Производные обобщенных координат по времени называются обобщенными скоростями и обозначаются

Обобщенные силы

Рис. 3.38

Определение обобщенных сил . Рассмотрим голономную систему из N материальных точек, имеющую n степеней свободы и находящуюся под действием системы сил (рис. 3.38). Положение системы определяется n обобщенными координатами т.е.

Вектор возможного перемещения –

(3.48)

Вычислим сумму элементарных работ сил, действующих на систему, на возможном перемещении системы:

(3.49)

Подставляя (3.48) в (3.49) и меняя порядок суммирования, получим

(3.50)

Скалярная величина называется обобщенной силой, отнесенной к обобщенной координате q i .

Размерность обобщенной силы . Из формулы (3.50) получается размерность обобщенной силы [Q ]=[A ]/[q ]. Если обобщенная координата имеет размерность длины, то обобщенная сила имеет размерность силы [Н], если же обобщенной координатой является угол (размерность – 1), то обобщенная сила имеет размерность момента силы [Н×м].

Вычисление обобщенных сил. 1. Обобщенную силу можно вычислить по формуле, ее определяющей:

где F kx ,F yx ,F kz – проекции силы на оси координат; x k ,y yx ,z k – координаты точки приложения силы

2. Обобщенные силы являются коэффициентами при соответствующих вариациях обобщенных координат в выражении для элементарной работы (3.50):

3. Если системе сообщить такое возможное перемещение, при котором изменяется только одна обобщенная координата q j то из (3.52) имеем

Индекс q i в числителе указывает, что сумма работ вычисляется на возможном перемещении, при котором изменяется (варьируется) только координата q i .

4. Для потенциальных сил:

(3.53)

где – силовая функция.

Из выражения (3.51) с учетом равенств (3.53) следует,

Таким образом,

где потенциальная энергия системы.

3.5.6. Общее уравнение динамики в обобщенных силах.
Условия равновесия сил

Общее уравнение динамики (3.50)

Вектор возможного перемещения согласно (3.48) равен

С учетом этого выражения общее уравнение динамики принимает вид

Преобразуем его, поменяв порядок суммирования

(3.54)

Здесь – обобщенная сила активных сил, соответствующая обобщенной координате q i ; – обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате q i .Тогда уравнение (3.54) принимает вид

Приращения обобщенных координат произвольны и независимые друг от друга. Поэтому коэффициенты при них в последнем уравнении должны быть равны нулю:

(3.55)

Эти уравнения эквивалентны общему уравнению динамики.

Если силы, действующие на механическую систему эквивалентны нулю, т.е. механическая система движется равномерно прямолинейно или сохраняет состояние покоя, то силы инерции ее точек равны нулю. Следовательно, обобщенные силы инерции системы равны нулю , тогда уравнения (3.55) принимают вид

(3.56)

Равенства (3.56) выражают условия равновесия сил в обобщенных силах.

В случае консервативных сил

Следовательно, условия равновесия консервативной системы сил имеют вид

Применяя совместно принцип Даламбера и принцип возможных перемещений к движущейся системе, можно сделать следующий вывод: при движении системы, на которую наложены совершенные связи, сумма элементарных работ всех заданных сил, действующих на систему, и сил инерции материальных точек системы равна нулю при любом возможном перемещении системы из занимаемою ею в каждый данный момент положения.

Этот результат выражается одним из следующих уравнений:

или, так как ,

или в координатной форме

Уравнение (242), или (243), или (244) называется общим уравнением динамики (уравнением Даламбера - Лагранжа).

В настоящем параграфе рассмотрим задачи двух типов:

I. Задачи, в которых требуется установить условия относительного равновесия системы.

II. Задачи, в которых требуется определить ускорения точек системы.

В задачах каждого из этих типов могут рассматриваться системы с одной или несколькими степенями свободы.

Задачи типа I (задачи 925-929, 935-939)

Пример 182. Центробежный регулятор (рис. 220) состоит из двух шаров и весом каждый, размерами которых можно пренебречь. Шары закреплены на концах и коленчатых прямоугольных рычагов, которые имеют шарнирные опоры и на перекладине , соединенной неизменно с осью регулятора. Муфта D весом отжимается вниз пружиной, а с другой стороны поддерживается роликами рычагов регулятора. Определить жесткость с пружины, если при заданной постоянной угловой скорости угол отклонения стержней СА и от вертикали равен . Даны расстояния: и длина недеформированной пружины . Высота муфты равна .

Решение. Координашые оси располагаем, как указано на рис. 220.

Заданными силами, действующими на систему, являются веса шаров и муфты, а также сила упругости пружины , где к - деформация (сжатие) пружины. Кроме того, в точках А и приложим центробежные силы инерции , где R - расстояние от центра каждого из шаров до оси вращения у.

На основании уравнения Даламбера-Лагранжа сумма работ всех этих сил при любом возможном перемещении системы равна нулю. Следовательно, пользуясь аналитическим выражением элементарной работы, имеем