Физика - наука экспериментальная, это означает, что физические законы устанавливаются и проверяются путем накопления и сопоставления экспериментальных данных. Цель физического практикума заключается в том, чтобы студенты изучили на опыте основные физические явления, научились правильно измерять числовые значения физических величин и сопоставлять их с теоретическими формулами.
Все измерения можно разделить на два вида – прямые и косвенные .
При прямых измерениях значение искомой величины непосредственно получается по показаниям измерительного прибора. Так, например, длина измеряется линейкой, время по часам и т. д.
Если искомая физическая величина не может быть измерена непосредственно прибором, а посредством формулы выражается через измеряемые величины, то такие измерения называются косвенными .
Измерение любой величины не дает абсолютно точного значения этой величины. Каждое измерение всегда содержит некоторую погрешность (ошибку). Ошибкой называют разность между измеренным и истинным значением.
Ошибки принято делить на систематические и случайные .
Систематической называют ошибку, которая остается постоянной на протяжении всей серии измерений. Такие погрешности обусловлены несовершенством измерительного инструмента (например, смещением нуля прибора) или методом измерений и могут быть, в принципе, исключены из конечного результата введением соответствующей поправки.
К систематическим ошибкам относятся также погрешность измерительных приборов. Точность любого прибора ограничена и характеризуется его классом точности, который, как правило, обозначен на измерительной шкале.
Случайной называется ошибка, которая изменяется в разных опытах и может быть и положительной и отрицательной. Случайные ошибки обусловлены причинами, зависящими как от измерительного устройства, (трение, зазоры, и т. п..), так и от внешних условий (вибрации, колебания напряжения в сети и т.п.).
Случайные ошибки нельзя исключить опытным путем, но их влияние на результат можно уменьшить многократными измерениями.
Вычисление погрешности при прямых измерениях среднее значение и средняя абсолютная ошибка.
Предположим, что мы проводим серию измерений величины Х. Из-за наличия случайных ошибок, получаем n различных значений:
Х 1 , Х 2 , Х 3 … Х n
В качестве результата измерений обычно принимают среднее значение
Разность между средним значением и результатом i – го измерения назовем абсолютной ошибкой этого измерения
В качестве меры ошибки среднего значения можно принять среднее значение абсолютной ошибки отдельного измерения
(2)
Величина
называется средней арифметической (или
средней абсолютной) ошибкой.
Тогда результат измерений следует записать в виде
(3)
Для характеристики точности измерений служит относительная ошибка, которую принято выражать в процентах
(4)
1. Цель работы : изучение методов измерения физических величин, практических приемов обработки и анализа результатов измерений. Изучение нониусов.
Методы измерения физических величин. Погрешности измерений
Измерение в широком смысле слова - это операция, посредством которой устанавливается численное соотношение между измеряемой величиной и заранее выбранной мерой. Мы будем рассматривать измерение физических величин.
Физическая величина - это свойство, общее в качественном отношении многим объектам (физическим системам, их состояниям и происходящим в них процессам), но в количественном отношении - индивидуальное для каждого физического объекта.
Измерить физическую величину - это значит сравнить её с другой, однородной величиной, принятой за единицу измерения.
Для измерения физических величин применяются различные технические средства, специально для этого предназначенные и имеющие нормированные метрологические свойства.
Поясним некоторые из указанных средств измерений.
Мера - это средство измерений в виде тела или устройства, предназначенного для воспроизведения величин одного или нескольких размеров, значения которых известны с необходимой для измерений точностью. Примером меры могут служить гиря, измерительная колба, масштабная линейка.
В отличие от меры измерительный прибор не воспроизводит известное значение величины. Измеряемая величина в нём преобразуется в показание или сигнал, пропорциональный измеряемой величине в форме, доступной для непосредственного воспроизведения. Примером измерительного прибора могут служить амперметр, вольтметр, термопара и пр.
Измерения физических величин могут отличаться друг от друга особенностями технического или методического характера. С методической точки зрения измерения физических величин поддаются определённой систематизации. Их можно, например, подразделять на прямые и косвенные.
Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с соответствующей единицей её измерения или определяется путём отсчёта показаний измерительного прибора, градуированного в соответственных единицах, то такое измерение называется прямым. Например, измерения толщины проволоки микрометром, промежутка времени секундомером, силы тока амперметром - являются прямыми.
Большинство физических величин измеряется косвенным путём. Косвенным называется такое измерение, при котором искомая физическая величина непосредственно не измеряется, а вычисляется по результатам прямых измерений некоторых вспомогательных величин, связанных с искомой величиной определённой функциональной зависимостью.
При любых измерениях физических величин получаются результаты, которые неизбежно содержат погрешности (ошибки). Эти погрешности обусловлены самыми разнообразными причинами (несовершенство мер и измерительных приборов, несовершенство наших чувств). Результаты измерений являются, поэтому лишь приближёнными, более или менее близкими к истинным значениям измеряемых величин.
Разность между истинным значением измеряемой величины х и фактически измеренным называется истинной абсолютной погрешностью, или ошибкой измерения:
Отношение истинной абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины х называется истинной относительной погрешностью измерения:
Относительная погрешность - величина отвлечённая, она выражается в долях единицы или в процентах и поэтому позволяет сравнивать точность независимых друг от друга выполненных измерений (например, точность измерения диаметра и высоты цилиндра).
Так как никакое измерение не может дать истинного значения измеряемой величины, то задачей измерения любой физической величины является нахождение приближённого наиболее вероятного значения этой величины, а также определение и оценка допущенной при этом погрешности.
Погрешности (ошибки), которые имеют место при измерении физических величин, подразделяются на три группы: грубые, систематические, случайные. Грубые ошибки (промахи)- это ошибки, явно искажающие результаты измерений. Причинами грубых ошибок могут быть неисправности экспериментальной установки или измерительного прибора. Но чаще всего это следствие ошибок самого экспериментатора: неправильное определение цены деления измерительного прибора, неверный отсчёт делений, но шкале прибора, ошибочная запись результатов прямых измерений и т. п. В дальнейшем изложении, будем предполагать, что измерения не содержат грубых ошибок (промахов).
Систематические погрешности обусловлены действием постоянных по величине и направлению факторов. Например, неточностью изготовления мер, неправильной градуировкой шкал или неправильной установкой измерительных приборов, а также постоянным и односторонним воздействием на измеряемую величину или измерительную установку какого-либо внешнего фактора.
При повторных измерениях данной величины в одинаковых условиях систематическая погрешность каждый раз повторяется, имея одну и ту же величину и знак, или изменяется по определённому закону. При внимательном анализе принципа действия применяемых приборов, методики измерения и окружающих условий, систематические погрешности можно либо исключить в самом процессе измерения, либо учесть в окончательном результате измерений, внеся соответствующую поправку.
Случайные погрешности обусловлены действием большого числа самых разнообразных, как правило, переменных факторов, в своём большинстве не поддающихся учёту и контролю и проявляющихся в каждом отдельном измерении по-разному. В силу неупорядоченности совокупного действия этих факторов предвидеть появление случайной погрешности и предугадать её величину и знак невозможно. Погрешность такого рода потому и называется случайной, что появление её - дело случая, появление её не вытекает из данных условий эксперимента. Она может быть, а может и не быть.
Случайные погрешности проявляют себя в том, что при неизменных условиях эксперимента и при полностью исключённых систематических погрешностях результаты повторных измерений одной и тон же величины оказываются несколько отличающимися друг от друга. Случайные погрешности, по указанным выше причинам не могут быть исключены из результатов измерений, как, например, погрешности систематические.
3акон распределения случайных погрешностей
Полностью избежать или исключить совершенно случайные погрешности невозможно, так как факторы, их вызывающие, не поддаются учёту и носят случайный характер. Возникает вопрос: как уменьшить влияние случайных погрешностей на окончательный результат измерения и как оценить точность и достоверность последнего? Ответ на этот вопрос даёт теория вероятностей. Теория вероятностей - это математическая наука, выясняющая закономерности случайных событий (явлений), которые проявляются при действии большого числа случайных факторов.
Случайные погрешности измерений относятся к группе непрерывных величин. Непрерывные величины характеризуются бесчисленным множеством возможных значений. Вероятность любого значения непрерывной случайной величины бесконечно мала. Поэтому, чтобы выявить распределение вероятностей для какой-то непрерывной случайной величины, например, величины , рассматривают ряд интервалов значений этой величины и подсчитывают частоты попадания значений величины в каждый интервал . Таблица, в которой приведены интервалы в порядке их распределения вдоль оси абсцисс и соответствующие им частоты, называется статистическим рядом (табл. 1).
Таблица 1
| Интервалы I | . . . . . . . | . . . . . . . | ||||
| Частоты Р* | . . . . . . . | . . . . . . . |
Статистический ряд графически представляется в виде ступенчатой кривой, которую называют гистограммой. При построении гистограммы по оси абсцисс откладываются интервалы возможных значений случайной величины, а по оси ординат - частоты или число случаев, когда значение случайной величины попадает в данный интервал. Для большинства интересующих нас случайных погрешностей гистограмма имеет вид, показанный на рис. 1. На этом рисунке высота, а следовательно, и площадь прямоугольника для каждого интервала ошибок пропорциональны числу опытов, в которых данная ошибка наблюдалась.
При увеличении числа опытов (измерений) и уменьшении интервала разбиения оси абсцисс гистограмма теряет свой ступенчатый характер и стремится (переходит) к плавной кривой (рис. 2). Такую кривую называют кривой плотности распределения для данной случайной величины, а уравнение, описывающее эту кривую, называется законом распределения случайной величины.
Считается, что случайная величина полностью определена, если известен закон её распределения. Этот закон может быть представлен (задан) в интегральной или дифференциальной форме. Интегральный закон распределения случайной величины обозначается символом и называется функцией распределения. Производная функция от называется плотностью вероятности случайной величины X или дифференциальным законом распределения:
.
При решении многих практических задач нет необходимости характеризовать случайную величину исчерпывающим образом. Достаточно бывает указать только её некоторые числовые характеристики, например, её математическое ожидание (можно писать ) и дисперсию (можно писать ).
Для непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности математическое ожидание вычисляется по формуле
. (3)
Для непрерывной случайной величины X дисперсия определяется по формуле:
. (4)
Положительный квадратный корень из дисперсии обозначается символом и называется средним квадратическим отклонением (сокращенно с. к. о.):
. (5)
При конечном числе опытов в качестве оценки принимают среднее арифметическое наблюденных (измеренных) значений , т. е. и и - математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение - параметры нормального распределения, физический смысл и способ вычисления которых были пояснены выше.
При рассмотрении свойств и характеристик распределения случайных погрешностей мы ограничимся только нормальным законом, так как случайные погрешности измерений чаще всего распределяются нормально (по закону Гаусса). Это означает:
1) случайная погрешность измерения может принимать любые значения в интервале
2) случайные погрешности, равные по абсолютной величине, но противоположные по знаку, равновероятны, то есть встречаются одинаково часто;
3) чембольше по абсолютной величине случайные погрешности, тем они менее вероятны, то есть встречаются реже.
Для уменьшения влияния случайных ошибок необходимо произвести измерение данной величины несколько раз. Предположим, что мы измеряем некоторую величину x. В результате проведенных измерений мы получили значений величины:
x1, x2, x3, ... xn. (2)
Этот ряд значений величины x получил название выборки. Имея такую выборку, мы можем дать оценку результата измерений. Величину, которая будет являться такой оценкой, мы обозначим. Но так как это значение оценки результатов измерений не будет представлять собой истинного значения измеряемой величины, необходимо оценить его ошибку. Предположим, что мы сумеем определить оценку ошибки Дx . В таком случае мы можем записать результат измерений в виде
Так как оценочные значения результата измерений и ошибки Дx не являются точными, запись (3) результата измерений должна сопровождаться указанием его надежности P. Под надежностью или доверительной вероятностью понимают вероятность того, что истинное значение измеряемой величины заключено в интервале, указанном записью (3). Сам этот интервал называется доверительным интервалом.
Например, измеряя длину некоторого отрезка, окончательный результат мы записали в виде
l = (8.34 ± 0.02) мм, (P = 0.95)
Это означает, что из 100 шансов - 95 за то, что истинное значение длины отрезка заключается в интервале от 8.32 до 8.36 мм.
Таким образом, задача заключается в том, чтобы, имея выборку (2), найти оценку результата измерений, его ошибку Дx и надежность P.
Эта задача может быть решена с помощью теории вероятностей и математической статистики.
В большинстве случаев случайные ошибки подчиняются нормальному закону распределения, установленного Гауссом. Нормальный закон распределения ошибок выражается формулой
где Дx - отклонение от величины истинного значения;
у - истинная среднеквадратичная ошибка;
у 2- дисперсия, величина которой характеризует разброс случайных величин.
Как видно из (4) функция имеет максимальное значение при x = 0 , кроме того, она является четной.
На рис.16 показан график этой функции. Смысл функции (4) заключается в том, что площадь фигуры, заключенной между кривой, осью Дx и двумя ординатами из точек Дx1 и Дx2 (заштрихованная площадь на рис.16) численно равна вероятности, с которой любой отсчет попадет в интервал (Дx1,Дx2) .
Поскольку кривая распределена симметрично относительно оси ординат, можно утверждать, что равные по величине, но противоположные по знаку ошибки равновероятны. А это дает возможность в качестве оценки результатов измерений взять среднее значение всех элементов выборки (2)
где - n число измерений.
Итак, если в одних и тех же условиях проделано n измерений, то наиболее вероятным значением измеряемой величины будет ее среднее значение (арифметическое). Величина стремится к истинному значению м измеряемой величины при n > ?.
Средней квадратичной ошибкой отдельного результата измерения называется величина (6)
Она характеризует ошибку каждого отдельного измерения. При n > ? S стремится к постоянному пределу у
С увеличением у увеличивается разброс отсчетов, т.е. становится ниже точность измерений.
Среднеквадратичной ошибкой среднего арифметического называется величина(8)
Это фундаментальный закон возрастания точности при росте числа измерений.
Ошибка характеризует точность, с которой получено среднее значение измеренной величины Результат записывается в виде:
Эта методика расчета ошибок дает хорошие результаты (с надежностью 0.68) только в том случае, когда одна и та же величина измерялась не менее 30 - 50 раз.
В 1908 году Стьюдент показал, что статистических подход справедлив и при малом числе измерений. Распределение Стьюдента при числе измерений n > ? переходит в распределение Гаусса, а при малом числе отличается от него.
Для расчета абсолютной ошибки при малом количестве измерений вводится специальный коэффициент, зависящий от надежности P и числа измерений n, называемый коэффициентом
Стьюдента t.
Опуская теоретические обоснования его введения, заметим, что
Дx = · t. (10)
где Дx - абсолютная ошибка для данной доверительной вероятности;
среднеквадратичная ошибка среднего арифметического.
Коэффициенты Стьюдента приведены в таблице.
Из сказанного следует:
Величина среднеквадратичной ошибки позволяет вычислить вероятность попадания истинного значения измеряемой величины в любой интервал вблизи среднего арифметического.
При n > ? > 0, т.е. интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение м, стремится к нулю с увеличением числа измерений. Казалось бы, увеличивая n, можно получить результат с любой степенью точности. Однако точность существенно увеличивается лишь до тех пор, пока случайная ошибка не станет сравнимой с систематической. Дальнейшее увеличение числа измерений нецелесообразно, т.к. конечная точность результата будет зависеть только от систематической ошибки. Зная величину систематической ошибки, нетрудно задаться допустимой величиной случайной ошибки, взяв ее, например, равной 10% от систематической. Задавая для выбранного таким образом доверительного интервала определенное значение P (например, P = 0.95), нетрудно нейти необходимое число измерений, гарантирующее малое влияние случайной ошибки на точность результата.
Для этого удобнее воспользоваться таблицей коэффициентов Стьюдента, в которой интервалы заданы в долях величины у, являющейся мерой точности данного опыта по отношению к случайным ошибкам.
При обработке результатов прямых измерений предлагается следующий порядок операций:
Результат каждого измерения запишите в таблицу.
Вычислите среднее значение из n измерений
Найдите погрешность отдельного измерения
Вычислите квадраты погрешностей отдельных измерений
(Дx 1)2, (Дx 2)2, ... , (Дx n)2.
Определите среднеквадратичную ошибку среднего арифметического
Задайте значение надежности (обычно берут P = 0.95).
Определите коэффициент Стьюдента t для заданной надежности P и числа произведенных измерений n.
Найдите доверительный интервал (погрешность измерения)
Если величина погрешности результата измерения Дx окажется сравнимой с величиной погрешности прибора д, то в качестве границы доверительного интервала возьмите
Если одна из ошибок меньше другой в три или более раз, то меньшую отбросьте.
Окончательный результат запишите в виде
Случайные погрешности обладают следующими свойствами.
При большом числе измерений одинаковые по величине, но противоположные по знаку погрешности встречаются одинаково часто.
Большие по величине погрешности встречаются с меньшей вероятностью, чем малые. Из соотношений (1), переписав их в виде
Х = х 1 + х 1
Х
=
х 2
+ х 2
Х
=
х n
+ х n
и сложив столбиком, можно определить истинное значение измеряемой величины следующим образом:
или
.
(2)
т.е. истинное значение измеряемой величины равно среднему арифметическому значению результатов измерений, если их бесконечно много. При ограниченном, а тем более при небольшом числе измерений, с которым мы обычно имеем дело на практике, равенство (2) носит приближенный характер.
Пусть в результате нескольких измерений получены следующие значения измеряемой величины Х: 13,4; 13,2; 13,3; 13,4; 13,3; 13,2; 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1. Построим диаграмму распределения этих результатов, откладывая по оси абсцисс показания прибора в порядке их возрастания. Расстояния между соседними точками по оси абсцисс равны удвоенной максимальной ошибке отсчета по прибору. В нашем случае отсчет произведен до 0,1. Этому и равно одно деление шкалы, нанесенной на ось абсцисс. По оси ординат откладываем величины, пропорциональные относительному числу результатов, соответствующих тому или иному показанию прибора. Относительное число, или относительную частоту результатов, равных х к, будем обозначатьW(х к). В нашем случае
Каждому х к ставим в соответствие
(3)
где А – коэффициент пропорциональности.
Диаграмма, которую называют гистограммой, отличается от обычного графика тем, что точки не соединены плавной кривой линей, а через них проведены ступеньки. Очевидно, что площадь ступеньки над некоторым значением х к пропорциональна относительной частоте появления этого результата. Выбирая соответствующим образом коэффициент пропорциональности в выражении (3), можно эту площадь сделать равной относительной частоте появления результата х к. Тогда сумма площадей всех ступенек, как сумма относительных частот всех результатов, должна быть равна единице
Отсюда находим А=10. Условие (4) называется условием нормировки функции (3).
Если производить серии измерений по nизмерений в каждой серии, то при небольшомnотносительные частоты одного и того же значения х k , найденные из различных серий, могут значительно отличаться друг от друга. По мере увеличения числа измерений в сериях колебания в значенияхW(x k) уменьшаются и эти значения приближаются к некоторому постоянному числу, которое называется вероятностью результата х к и обозначается Р(х к).
Допустим, что, производя опыт, мы не отсчитываем результат до целых делений шкалы или их долей, а можем фиксировать ту точку, где остановилась стрелка. Тогда при неограниченно большом числе измерений стрелка побывает в каждой точке шкалы. Распределение результатов измерений приобретает в этом случае непрерывный характер и вместо ступенчатой гистограммы описывается непрерывной кривой y=f(x). На основании свойств случайных погрешностей можно заключить, что кривая должна быть симметрична и, следовательно, максимум ее приходится на среднее арифметическое значение результатов измерений, равное истинному значению измеряемой величины. В случае непрерывного распределения результатов измерений не имеет
смысла говорить о
вероятности какого – либо из их значений,
т.к. имеются значения, как угодно близкие
к рассматриваемому. Теперь уже следует
ставить вопрос о вероятности встретить
при измерениях результат в некотором
интервале около значения х к,
равном
,
.
Подобно тому как на гистограмме
относительная частота результата х к равнялось площади ступеньки, построенной
над этим результатом, на графике для
непрерывного распределения вероятность
нахождения результата в интервале
(
,
),
равна площади криволинейной трапеции,
построенной над этим интервалом и
ограниченной кривойf(x).
Математическая запись этого результата
имеет вид
если
мало,
т.е. площадь заштрихованной криволинейной
трапеции заменяется приблизительно
площадью прямоугольника с тем же
основанием и высотой, равнойf(х к).
Функциюf(х) называют
плотностью вероятности распределения
результатов измерений. Вероятность
найти х на некотором интервале равна
плотности вероятности для данного
интервала, умноженной на его длину.
Кривая распределения результатов измерений, полученная экспериментально для некоторого участка шкалы прибора, если ее продолжить, асимптотически приближая слева и справа к оси абсцисс, аналитически хорошо описывается функцией вида
(5)
Подобно тому как суммарная площадь всех ступенек на гистограмме равнялась единице, вся площадь между кривой f(х) и осью абсцисс, имеющая смысл вероятности встретить при измерениях хоть какое – либо значение х, тоже равна единице. Распределение, описываемое этой функцией, называется нормальным распределением. Основной параметр нормального распределения – дисперсия 2 . Приближенное значение дисперсии может быть найдено из результатов измерений по формуле
(6)
Эта формула дает близкое к действительному значение дисперсии только при большом числе измерений. Например, найденное по результатам 100 измерений σ 2 может иметь отклонение от действительного значения 15%, найденное по 10 измерениям уже 40%. Дисперсия определяет вид кривой нормального распределения. Когда случайные погрешности малы, дисперсия, как следует из (6), невелика. Криваяf(х) в этом случае уже и острее вблизи истинного значения Х и быстрее стремится к нулю при удалении от него, чем при больших погрешностях. Следующий рисунок покажет, как меняется вид кривойf(х) для нормального распределения в зависимости от σ.
В теории вероятностей доказывается, что если рассматривать не распределение результатов измерений, а распределение средних арифметических значений, найденных из серии по nизмерений в каждой серии, то оно тоже подчиняется нормальному закону, но с дисперсией, вnраз меньшей.
Вероятность
нахождения результата измерений в
некотором интервале (
)
около истинного значения измеряемой
величиныравна площади криволинейной трапеции,
построенной над этим интервалом и
ограниченной сверху кривойf(x).
Величину интервала
принято измерять в единицах, пропорциональных
корню квадратному из дисперсии
В зависимости от величиныkна интервал
приходится криволинейная трапеция
большей или меньшей площади, т.е.
где F(k) – некоторая функция от к. Вычисления показывают, что при
k=1, 
k=2, 
k=3, 
Отсюда видно, что на
интервале
приходится приблизительно 95% площади
под кривойf(x).
Этот факт находится в полном соответствии
со вторым свойством случайных погрешностей,
которые утверждает, что большие по
величине погрешности маловероятны.
Погрешности, превышающие по величине
,
встречается с вероятностью, меньшей
5%. Переписанное для распределения
среднего арифметического значенияnизмерений выражение (7) принимает вид
(8)
Величина
в (7) и (8) может быть определена на основании
результатов измерений только приближенно
по формуле (6)
Подставив это значение
в выражение (8), мы получим справа уже неF(k), а какую
– то новую функцию, зависящую не только
от величины рассматриваемого интервала
значений Х, но и от числа произведенных
измерений
Причем
т.к. только при очень большом числе измерений формула (6) становится достаточно точной.
Решив систему двух неравенств, стоящих в скобке в левой части этого выражения относительно истинного значения Х, можем переписать его в виде
Выражение (9) определяет
вероятность, с которой истинное значение
Х находится в некотором интервале длиной
около значения
.
Эта вероятность в теории ошибок называется
надежностью, а соответствующий ей
интервал для истинного значения –
доверительным интервалом. Функция
рассчитана в зависимости отt n иnи для нее составлена
подробная таблица. Таблица имеет 2
входа: поt n и поn. С ее помощью для
данного числа измеренийnможно найти, задаваясь определенной
величиной надежности Р, значения величиныt n ,
называемой коэффициентом Стьюдента.
Анализ
таблицы показывает, что для определенного
числа измерений с требованием роста
надежности получаем растущие значения
t n ,
т.е. увеличение доверительного интервала.
Надежности, равной единице, соответствовал
бы доверительный интервал, равный
бесконечности. Задаваясь определенной
надежностью, мы можем сделать доверительный
интервал для истинного значения более
узким, увеличивая количество измерений,
т.к.S n при этом изменяется незначительно, а
убывает и за счет уменьшения числителя,
и за счет увеличения знаменателя.
Произведя достаточное количество
опытов, можно сделать доверительный
интервал любой малой величины. Но при
большомnдальнейшее
увеличение числа опытов очень медленно
уменьшает доверительный интервал, а
количество вычислительной работы
намного возрастает. Иногда в практической
работе удобно пользоваться приближенным
правилом: чтобы уменьшить доверительный
интервал, найденный по небольшому числу
измерений, в несколько раз, нужно
увеличить число измерений во столько
же раз.
ПРИМЕР ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
Возьмем в качестве опытных данных три первых результата из 12, по которым строилась гистограмма Х: 13,4; 13,2; 13,3.
Зададимся надежностью, которая обычно принята в учебной лаборатории, Р = 95%. Из таблицы для Р = 0,95 и n = 3 находим t n = 4,3.
или
с надежностью 95%. Последний результат принято записывать в виде равенства
Если доверительный интервал такой величины не устраивает (например в случае, когда приборная погрешность равна 0,1), и мы хотим уменьшить его вдвое, следует увеличить число измерений вдвое.
Если взять, например, последние 6 значений из тех же 12 результатов (для первых шести предлагается проделать расчет самим)
Х: 13,1; 13,3; 13,3; 13,2; 13,3; 13,1,
то
Значение коэффициента t n находим из таблицы для Р = 0,95 и n = 6; t n = 2,6.
В
этом случае
Изобразим на числовой оси доверительный
интервал для истинного значения в первом
и во втором случаях.
Интервал, рассчитанный по 6 измерениям, находится, как и следовало ожидать, внутри интервала, найденного по трем измерениям.
Приборная погрешность вносит в результаты систематическую ошибку, которая расширяет изображенные на оси доверительные интервалы на 0,1. Поэтому записанные с учетом приборной погрешности результаты имеют вид
1)
2)
ПОГРЕШНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН И
ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
Измерением называют нахождение значений физических величин опытным путем с помощью специальных технических средств. Измерения бывают прямые и косвенные. При прямом измерении искомое значение физической величины находят непосредственно с помощью измерительных приборов (например, измерение размеров тел с помощью штангенциркуля). Косвенным называют измерение, при котором искомое значение физической величины находят на основании известной функциональной зависимости между измеряемой величиной и величинами, подвергаемыми прямым измерениям. Например, при определении объема V цилиндра измеряют его диаметр D и высоту Н, а затем по формуле p D 2 /4 вычисляют его объем.
Вследствие неточности измерительных приборов и трудности учета всех побочных явлений при измерениях неизбежно возникают погрешности измерений. Погрешностью или ошибкой измерения называют отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой физической величины. Погрешность измерения обычно неизвестна, как неизвестно и истинное значение измеряемой величины. Поэтому задача элементарной обработки результатов измерений заключается в установлении интервала, внутри которого с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой физической величины.
Классификация погрешностей измерений
Погрешности разделяют на три вида:
1) грубые или промахи,
2) систематические,
3) случайные .
Грубые погрешности - это ошибочные измерения, возникающие в результате небрежности отсчета по прибору, неразборчивости записи показаний. Например, запись результата 26,5 вместо 2,65; отсчет по шкале 18 вместо 13 и т.д. При обнаружении грубой ошибки результат данного измерения следует сразу отбросить, а само измерение повторить.
Систематические погрешности - ошибки, которые при повторных измерениях остаются постоянными или изменяются по определенному закону. Эти погрешности могут быть обусловлены неправильным выбором метода измерения, несовершенством или неисправностью приборов (например, измерения с помощью прибора, у которого смещен нуль). Для того, чтобы максимально исключить систематические погрешности, следует всегда тщательно анализировать метод измерений, сверять приборы с эталонами. В дальнейшем будем считать, что все систематические погрешности устранены, кроме тех, которые вызваны неточностью изготовления приборов и ошибкой отсчета. Эту погрешность будем называть аппаратурной.
Случайные погрешности - это ошибки, причина которых заранее не может быть учтена. Случайные погрешности зависят от несовершенства наших органов чувств, от непрерывного действия изменяющихся внешних условий (изменение температуры, давления, влажности, вибрация воздуха и т.д.). Случайные погрешности являются неустранимыми, они неизбежно присутствуют во всех измерениях, но их можно оценить, применяя методы теории вероятностей.
Обработка результатов прямых измерений
Пусть в результате прямых измерений физической величины получен ряд ее значений:
x 1 , x 2 , ... x n .
Зная этот ряд чисел, нужно указать значение, наиболее близкое к истинному значению измеряемой величины, и найти величину случайной погрешности. Эту задачу решают на основе теории вероятностей, подробное изложение которой выходит за рамки нашего курса.
Наиболее вероятным значением измеряемой физической величины (близким к истинному) считают среднее арифметическое
. (1)
Здесь x i – результат i–го измерения; n – число измерений. Случайная ошибка измерения может быть оценена величиной абсолютной погрешности D x, которую вычисляют по формуле
,
(2)
где t(a ,n) – коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений n и доверительной вероятности a . Значение доверительной вероятности a задает сам экспериментатор.
Вероятностью случайного события называется отношение числа случаев, благоприятного для данного события, к общему числу равновозможных случаев. Вероятность достоверного события равна 1, а невозможного - 0.
Значение коэффициента Стьюдента, соответствующее заданной доверительной вероятности a и определенному числу измерений n, находят по табл. 1.
Таблица 1
|
Число измерений n |
Доверительная вероятность a |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
Из табл. 1 видно, что величина коэффициента Стьюдента и случайная погрешность измерения тем меньше, чем больше n и меньше a . Практически выбирают a =0,95. Однако простое увеличение числа измерений не может свести общую погрешность к нулю, так как любой измерительный прибор дает погрешность.
Поясним смысл терминов абсолютная погрешность
D
x
и доверительная вероятность
a
,
используя числовую ось. Пусть среднее значение измеряемой величины
Рис.1
Если измерения той же величины повторить теми же приборами в тех же условиях, то истинное значение измеряемой величины x ист попадет в этот же доверительный интервал, но попадание будет не достоверным, а с вероятностью a .
Вычислив величину абсолютной погрешности
D
x
по формуле (2), истинное значение x измеряемой физической величины можно
записать в виде x=
Для оценки точности измерения физической величины подсчитывают относительную погрешность , которую обычно выражают в процентах,
. (3)
Таким образом, при обработке результатов прямых измерений необходимо проделать следующее:
1. Провести измерения n раз.
2. Вычислить среднее арифметическое значение по формуле (1).
3. Задать доверительную вероятность a (обычно берут a =0.95).
4. По таблице 1 найти коэффициент Стьюдента, соответствующий заданной доверительной вероятности a и числу измерений n.
5. Вычислить абсолютную погрешность по формуле (2) и сравнить ее с аппаратурной. Для дальнейших вычислений взять ту из них, которая больше.
6. По формуле (3) вычислить относительную ошибку e .
7. Записать окончательный результат
x=
Обработка результатов косвенных измерений
Пусть искомая физическая величина y связана с другими величинами x 1 , x 2 , ... x k некоторой функциональной зависимостью
Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)
Среди величин x 1 , x 2 , ... x k имеются величины, полученные при прямых измерениях, и табличные данные. Требуется определить абсолютную D y и относительную e погрешности величины y.
В большинстве случаев проще сначала вычислить относительную погрешность, а затем – абсолютную. Из теории вероятностей относительная погрешность косвенного измерения
.
(5)
Здесь
,
где
- частная производная функции по переменной x i, при вычислении
которой все величины, кроме x i , считаются
постоянными;
D
x i
– абсолютная погрешность величины x i . Если x i
получена в результате прямых измерений, то ее среднее значение
Запишем конечный результат:
y=
Здесь
Обычно в реальных измерениях присутствуют и случайные и систематические (аппаратурные) погрешности. Если вычисленная случайная погрешность прямых измерений равна нулю или меньше аппаратурной в два и большее число раз, то при вычислении погрешности косвенных измерений в расчет должна приниматься аппаратурная погрешность. Если эти погрешности отличаются меньше, чем в два раза, то абсолютная погрешность вычисляется по формуле
.
Рассмотрим пример. Пусть необходимо вычислить объем цилиндра:
. (6)
Здесь D – диаметр цилиндра, H – его высота,
измеренная штангенциркулем с ценой деления 0.1 мм. В результате многократных
измерений найдем средние значения
,
(7)
где D D и D H – абсолютные ошибки прямых измерений диаметра и высоты. Их величины рассчитываем по формуле (2): D D=0.01 мм; D H=0.13 мм. Сравним вычисленные ошибки с аппаратурной, равной цене деления штангенциркуля. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D не 0.01 мм, а 0.1 мм.
Значение p нужно выбрать таким, чтобы относительной ошибкой Dp / p в формуле (7) можно было пренебречь. Из анализа измеренных величин и вычисленных абсолютных ошибок D D и D H видно, что наибольший вклад в относительную ошибку измерения объема вносит ошибка измерения высоты. Вычисление относительной ошибки высоты дает e H =0.01. Следовательно, значение p нужно взять 3.14. В этом случае Dp / p » 0.001 (Dp =3.142-3.14=0.002).
В абсолютной погрешности оставляют одну значащую цифру.
Примечания.
1. Если измерения производят один раз или результаты многократных измерений одинаковы, то за абсолютную погрешность измерений нужно взять аппаратурную погрешность, которая для большинства используемых приборов равна цене деления прибора (более подробно об аппаратурной погрешности см. в разделе “Измерительные приборы”).
2. Если табличные или экспериментальные данные приводятся без указания погрешности, то абсолютную погрешность таких чисел принимают равной половине порядка последней значащей цифры.
Действия с приближенными числами
Вопрос о различной точности вычисления очень важен, так как завышение точности вычисления приводит к большому объему ненужной работы. Студенты часто вычисляют искомую величину с точностью до пяти и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность излишняя. Нет никакого смысла вести вычисления дальше того предела точности, который обеспечивается точностью определения непосредственно измерявшихся величин. Проведя обработку измерений, часто не подсчитывают ошибки отдельных результатов и судят об ошибке приближенного значения величины, указывая количество верных значащих цифр в этом числе.
Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры, кроме нуля, а также нуль в двух случаях:
1) когда он стоит между значащими цифрами (например, в числе 1071 – четыре значащих цифры);
2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единица соответствующего разряда в данном числе не имеется. Пример. В числе 5,20 три значащих цифры, и это означает, что при измерении мы учитывали не только единицы, но и десятые, и сотые, а в числе 5,2 – только две значащих цифры, и это значит, что мы учитывали только целые и десятые.
Приближенные вычисления следует производить с соблюдением следующих правил.
1. При сложении и вычитании в результате сохраняют столько десятичных знаков, сколько их содержится в числе с наименьшим количеством десятичных знаков. Например: 0,8934+3,24+1,188=5,3214 » 5,32. Сумму следует округлить до сотых долей, т.е. принять равной 5,32.
2. При умножении и делении в результате сохраняют столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное число с наименьшим количеством значащих цифр. Например, необходимо перемножить 8,632 ´ 2,8 ´ 3,53. Вместо этого выражения следует вычислять
8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.
При вычислении промежуточных результатов сохраняют на одну цифру больше, чем рекомендуют правила (так называемая запасная цифра). В окончательном результате запасная цифра отбрасывается. Для уточнения значения последней значащей цифры результата нужно вычислить за ней цифру. Если она окажется меньше пяти, ее следует просто отбросить, а если пять или больше пяти, то, отбросив ее, следует предыдущую цифру увеличить на единицу. Обычно в абсолютной ошибке оставляют одну значащую цифру, а измеренную величину округляют до того разряда, в котором находится значащая цифра абсолютной ошибки.
3. Результат расчета значений функций x n ,
,
lg(x
) некоторого приближенного числа x
должен содержать
столько значащих цифр, сколько их имеется в числе x
. Например:
.
Построение графиков
Результаты, полученные в ходе выполнения лабораторной работы, часто важно и необходимо представить графической зависимостью. Для того, чтобы построить график, нужно на основании проделанных измерений составить таблицу, в которой каждому значению одной из величин соответствует определенное значение другой.
Графики выполняют на миллиметровой бумаге. При построении графика значения независимой переменной следует откладывать на оси абсцисс, а значения функции – на оси ординат. Около каждой оси нужно написать обозначение изображаемой величины и указать, в каких единицах она измеряется (рис. 2).
Рис.2
Для правильного построения графика важным является выбор масштаба: кривая занимает весь лист, и размеры графика по длине и высоте получаются приблизительно одинаковыми. Масштаб должен быть простым. Проще всего, если единица измеренной величины (0,1;10;100 и т.д.) соответствует 1, 2 или 5 см. Следует иметь в виду, что пересечение координатных осей не обязательно должно совпадать с нулевыми значениями откладываемых величин (рис. 2).
Каждое полученное экспериментальное значение наносится на график достаточно заметным образом: точкой, крестиком и т.д.
Погрешности указывают для измеряемых величин в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре которых расположены экспериментальные точки. Так как указание погрешностей загромождает график, то делается это лишь тогда, когда информация о погрешностях действительно нужна: при построении кривой по экспериментальным точкам, при определении ошибок с помощью графика, при сравнении экспериментальных данных с теоретической кривой (рисунок 2). Часто достаточно указать погрешность для одной или нескольких точек.
Через экспериментальные точки необходимо проводить плавную кривую. Нередко экспериментальные точки соединяют простой ломаной линией. Тем самым как бы указывается, что величины каким-то скачкообразным образом зависят друг от друга. А это является маловероятным. Кривая должна быть плавной и может проходить не через отмеченные точки, а близко к ним так, чтобы эти точки находились по обе стороны кривой на одинаковом от нее расстоянии. Если какая-либо точка сильно выпадает из графика, то это измерение следует повторить. Поэтому желательно строить график непосредственно во время опыта. Тогда график может служить для контроля и улучшения наблюдений.
ИЗМЕРИТЕЛЬНЫЕ ПРИБОРЫ И УЧЕТ ИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ
Для прямых измерений физических величин применяют измерительные приборы. Любые измерительные приборы не дают истинного значения измеряемой величины. Это связано, во-первых, с тем, что невозможно точно отсчитать по шкале прибора измеряемую величину, во-вторых, с неточностью изготовления измерительных приборов. Для учета первого фактора вводится погрешность отсчета Δx o , для второго - допускаемая погрешность Δx д . Сумма этих погрешностей образует аппаратурную или абсолютную погрешность прибора Δx :
.
Допускаемую погрешность нормируют государственными стандартами и указывают в паспорте или описании прибора.
Погрешность отсчета обычно берут равной половине цены деления прибора, но для некоторых приборов (секундомер, барометр-анероид) - равной цене деления прибора (так как положение стрелки этих приборов изменяется скачками на одно деление) и даже нескольким делениям шкалы, если условия опыта не позволяют уверенно отсчитать до одного деления (например, при толстом указателе или плохом освещении). Таким образом, погрешность отсчета устанавливает сам экспериментатор, реально отражая условия конкретного опыта.
Если допускаемая погрешность значительно меньше ошибки отсчета, то ее можно не учитывать. Обычно абсолютная погрешность прибора берется равной цене деления шкалы прибора.
Измерительные линейки обычно имеют миллиметровые деления. Для измерения рекомендуется применять стальные или чертежные линейки со скосом. Допускаемая погрешность таких линеек составляет 0,1 мм и ее можно не учитывать, так как она значительно меньше погрешности отсчета, равной ± 0,5 мм. Допускаемая погрешность деревянных и пластмассовых линеек ± 1 мм.
Допускаемая погрешность измерения микрометра зависит от верхнего предела измерения и может составлять ± (3–4) мкм (для микрометров с диапазоном измерения 0–25 мм). За погрешность отсчета принимают половину цены деления. Таким образом, абсолютную погрешность микрометра можно брать равно цене деления, т.е. 0,01 мм.
При взвешивании допускаемая погрешность технических весов зависит от нагрузки и составляет при нагрузке от 20 до 200 г – 50 мг, при нагрузке меньше 20 г – 25 мг.
Погрешность цифровых приборов определяется по классу точности.
Загрузка...
