Приведение систем сил к простейшему виду. Задачи на тему приведение системы сил к простейшему виду. Вопросы для самопроверки

Теорема (о параллельном переносе силы в любую точку). Силу, приложенную к ATT, не изменяя оказываемого ею на тело действия, можно переносить параллельно ей самой в любую точку ATT, прибавляя при этом пару сил с моментом, равным моменту переносимой силы относительно точки, куда она переносится.

Доказательство. Пусть на ATT действует сила F, приложенная в точке А. По аксиоме 2 статики в любой точке тела мы можем приложить уравновешенную систему сил F, F ", например в точке В (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Пусть F"= F. Тогда полученную систему из трех сил можно рассматривать как систему, состоящую из силы F" и добавленной пары сил F", F с моментом т = m B {F). ?

Приведем еще две теоремы, которые могут быть полезны при решении задач. Первая из них - это теорема Эйлера - Сомова.

Теорема. Произвольная пространственная система сил, действующая на ATT, может быть приведена к двум силам (кресту сил), одна из которых приложена в произвольно выбранной точке А ТТ.

Вторая - теорема Вариньона для произвольной плоской системы сил, которая является частным случаем теоремы Эйлера - Сомова.

Теорема. Произвольная плоская система сил эквивалентна системе двух сил, лежащих в этой плоскости.

? Приведение системы сил к одному центру Теорема (основная теорема статики). Действие любой произвольной системы сил на А ТТ эквивалентно действию в произвольной точке А этого ATT главного вектора 1 F этой системы сил и пары сил с моментом М А, который равен главному моменту системы сил относительно центра приведения А 2 .

Доказательство. Пусть на ATT действует произвольная система сил F { _ n . Выберем произвольно точку А тела в качестве центра приведения (рис. 4.2) и перенесем в эту точку все силы согласно теореме о параллельном переносе силы.

Рис. 4.2. К основной теореме статики: приведение к простейшему виду произвольной системы сил

При таком переносе в точке А будут приложены две группы векторов:

1) векторы сил F{_ n = F x _ n и 2) векторы добавленных моментов #и ЛО б,1 = m A (F\_„). ССС F x "_ n можно заменить равнодействующей F = ^Fj, а система пар эквивалентна одной паре с моментом

м л = !

В частном случае расположения всех сил в одной плоскости - плоская система сил - система сил сводится к главному вектору и скалярному главному моменту (так как направление вектора главного момента известно, он перпендикулярен плоскости расположения сил).

Сила F, равная геометрической/векторной сумме всех сил системы, называется главным вектором системы сил.

Момент М А, равный геометрической/векторной сумме моментов всех сил относительно центра А, называется главным моментом системы сил.

Таким образом, механическое действие любой пространственной системы сил на ATT характеризуется двумя обобщенными парамет-

1 Определение главного вектора и главного момента системы сил см. ниже в этой главе.
2 При этом F не зависит от выбора центра Л (другими словами, главный вектор системы сил является инвариантом системы сил), а значения М А в общем случае зависит от положения центра приведения (другими словами, главный момент системы сил не является инвариантом системы сил).

рами: главным вектором и главным моментом. Определение этих величин можно выполнить либо геометрическим построением, либо числовыми расчетами по формулам:

Если надо найти углы, то вычисляются направляющие косинусы главных векторов:

? Частные случаи приведения систем сил

Эти случаи формально связаны с равенством нулю значений главных векторов системы сил.

I случай. Приведение произвольной плоской системы сил:

1) F= О, М Л - 0 - система сил находится в равновесии;
2) F - О, М А Ф М А,
3) FФ О, М А - 0 - система сил приводится к одному главному вектору (приложенному в центре приведения А), который в данном случае является равнодействующей силой;
4) F Ф О, М А Ф 0 - система сил приводится к одной силе - главному вектору системы сил, приложенному в точке В (рис. 4.3), которая в данном случае является равнодействующей силой.

Рис. 4.3.

На рис. 4.3 расстояние ЛВ = d, являющееся плечом силы, вычисляется из условия М А - F ? d.

II случай. Приведение произвольной пространственной системы сил:

1)F= О, М А = 0 - система сил находится в равновесии;
2) F= О, М А Ф 0 - система сил сводится к одной паре с моментом М А, величина которого не зависит от выбора центра приведения;
3) FФ О, М А = 0 - система сил сводится к одной равнодействующей F
4)
Гф О, М А Ф 0:
- а) F А. М А - система сил приводится к одной равнодействующей, которая приложена в точке В такой, что ЛВ = d = MJF (см. рис. 4.3);
- б) F М А - система сил (рис. 4.4) в данном случае называется динамическим/силовым винтом, или просто динамой. Прямая, вдоль которой направлен главный вектор, называется осью динамы, или центральной осью системы сил.

Рис. 4.4.

Под действием такой системы сил свободное тело совершает винтовое движение. При аналитическом задании ось динамы, проходящей через полюс А, имеет уравнения:

где - параметр динамы, имеющий размерность длины.

Действительно, пусть М 0 = ^Г(#;. х/с) - главный момент системы сил F i с равнодействующей F(X, У, Z) = относительно центра О и М А = ^(я, х/Д - главный момент той же системы сил при приведении к центру А (рис. 4.5, а). Так как /*, = ОА + я, то М Л = М 0 - ОА х ^F i = М 0 - ОА х F. Условие коллинеарности главного вектора и главного момента для точки А записывается следующим образом: pF = М А, где р - параметр винта, имеющий размерность длины. Откуда имеем

и, приравнивая коэффициенты при ортах слева и справа, получим искомое уравнение центральной оси динамы;

Рис. 4.5, а. К выводу уравнения центральной оси динамы

в) если главный вектор и главный момент образуют между собой угол ф, отличный от нуля и л/2, то система сил приводится к динаме F, М р ось которой проходит через точку В такую, что AB=MJF{ рис. 4.5,б).

Рис. 4.5, б. Произвольное расположение главного вектора системы сил и главного момента

Как видим, элементами динамы являются главный вектор F системы сил и момент динамы М р М А на направление главного вектора, т.е. = М А соБф.

Откуда имеем

Основными статическими инвариантами 1 системы сил являются главный вектор Ри момент динамы, равный проекции главного момента М А на направление главного вектора. Для вектора F это утверждение очевидно. Для момента динамы можно заметить, что М А = М 1{ + М ± , откуда M A F= M l{ F+ M L F, или M A F = М п F.

Поскольку вектор /’постоянен, отсюда следует, что и проекция главного момента на его направление тоже постоянна.

? Условия равновесия

Системы сил по геометрическим признакам делятся на следующие виды:

1) система сходящихся сил, т.е. сил, линии действия которых пересекаются в одной точке;
2) произвольная плоская система сил, т.е. сил, линии действия которых расположены в одной плоскости;
3) система параллельных сил - плоская и пространственная, т.е. сил, линии действия которых параллельны;
4) произвольная пространственная система сил.

Если на Л ТТ действует кроме системы сил также система моментов, то можно каждый момент этой системы представить в виде пары сил и, таким образом, свести систему моментов к системе сил.

Основное условие равновесия статики (в векторной форме):

Для равновесия Л ТТ под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил относительно любого центра приведения были равны нулю 1:

Проецируя эти два векторных уравнения на координатные оси выбранной СО, получим шесть скалярных уравнений, или аналитическую форму условий равновесия:

Таким образом, для равновесия ATT под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и суммы моментов всех сил относительно этих осей были равны нулю.

Эти же условия можно сформулировать в геометрической форме: для равновесия ATT под действием пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник и многоугольник моментов были замкнутыми.

Условия равновесия, выраженные в аналитической форме (4.1а), часто называют также уравнениями равновесия. Если число неизвестных превышает число уравнений равновесия, то задача является статически неопределенной. Как видим, в общем случае задача на равновесие тела может иметь шесть неизвестных величин.

Совет! Для получения наиболее простых уравнений равновесия {каждое из которых содержит минимальное число неизвестных ) можно координатные оси проводить перпендикулярно наибольшему числу неизвестных сил, а в качестве центра приведения выбирать точки на пересечении линий действия наибольшего числа неизвестных сил.

? Частные случаи условий равновесия
1. Система сходящихся сил с центром сил в точке А. Условие равновесия для нее в векторной форме сводится к одному уравнению

1а. Пространственная система сходящихся сил. Уравнения равновесия для такой системы в аналитической форме примут вид:

16. Плоская система сходящихся сил. Уравнения равновесия для такой системы в аналитической форме, считая, что силы расположены в плоскости, параллельной плоскости Оху, примут вид:

2. Плоская система сил с силами, расположенными в плоскости Оху:

Для статической определенности в этом случае число неизвестных не должно превышать трех. Эти же уравнения можно дать в других, эквивалентных аналитических формах:

где прямая ВС не перпендикулярна оси Ох.

Еще одна форма условий равновесия:

где А, В, С не лежат на одной прямой и принадлежат плоскости Оху.

3. Параллельные системы сил:

За. Параллельные системы сил в пространстве, считая их расположенными параллельно оси Оу. Тогда из шести уравнений (4.1а) первое, третье и шестое обратятся в тождество (независимо от того, находится данная система сил в равновесии или нет):

36. Параллельные системы сил на плоскости, считая их расположенными в одной плоскости Оху параллельно оси Оу:

или в другой форме:

4. Для произвольной пространственной системы сил условие равновесия уже было показано ранее в данной главе - это основное условие равновесия статики (4.1).

Пример 1 (приведение системы сил к простейшему виду). Определить главный вектор R* и главный момент М 0 заданной системы сил Р х, Р 2 , Р 2 , Р 4 относительно центра О и установить, к какому простейшему виду приводится эта система. Размеры параллелепипеда (рис. 4.6), а также модули и направления сил указаны в таблице.

При выполнении задания необходимо сделать следующее:

1) изобразить заданную систему сил, выполнив построение параллелепипеда в масштабе, показав угол хОу на чертеже равным 135°; сокращение размеров по оси Ох принять равным 1:2;
2) выбрав систему координатных осей, определить модуль и направление главного вектора заданной системы сил по его проекциям на координатные оси и изобразить R* на чертеже;

Рис. 4.6. К примеру 1: исходный параллелепипед

3) вычислить главный момент заданной системы сил относительно центра О по его проекциям на координатные оси и изобразить М 0 на чертеже;
4) вычислить наименьший главный момент заданной системы сил;
5) на основании результатов вычислений главного вектора и наименьшего главного момента М* установить, к какому простейшему виду приводится заданная система сил. При этом необходимо сделать следующее:
- а) если заданная система сил приводится к паре сил, то показать момент этой пары, приложив его к точке О;
6) если заданная система сил приводится к равнодействующей, то найти уравнения линии действия равнодействующей, определить точки пересечения этой линией координатных плоскостей и изобразить на чертеже;
в) если заданная система сил приводится к динаме (силовому винту), то найти уравнения центральной оси, определить точки пересечения этой осью координатных плоскостей и изобразить /?* иМ*на чертеже.

Решение. 1. Определение главного вектора заданной системы сил. Заданная система сил показана на рис. 4.7.

Рис. 4.7. К примеру 1: приложенная система сил Предварительно определяем

В данном случае cos а = 0,6 и sin а = 0,8.

Проекции главного вектора на оси координат:

Модуль главного вектора Направляющие косинусы:

В соответствии с исходными данными получаем Х= 10,6 Н, У= 10,0 Н; Z= -12,8 Н; R* = 19,4 Н; cos(R, i) = 0,547, cos(R, j) = 0,515, cos(R, k) = = -0,660.

Главный вектор показан на рис. 4.8.

Рис. 4.8.

2. Определение главного момента заданной системы сил относительно центра О.

Главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей:

Модуль главного момента:

Направляющие косинусы:

В результате вычислений имеем: М х = -200 Н см; М = 384 Н см; М, = -200 Н см; cos(М 0 , i ) = -0,419; cos(M 0 ,j) = 0,805; cos(M 0 , к) - - -0,419.

Главный момент показан на рис. 4.8.

3. Вычисление наименьшего главного момента заданной системы сил :

По этой формуле получаем: ЛГ = 221 Н см.

4. Так как R* Ф 0 и Л/* * 0, то заданная система сил приводится к динаме {силовому винту).

Уравнение центральной оси таково:

Из этих трех уравнений независимыми являются только два. Подставляя в два из этих уравнений найденные числовые значения величин, находим:

Значения координат точек пересечения центральной осью координатных плоскостей, определенные с помощью этих уравнений, приведены в таблице.

	Координаты,см

Центральная ось системы показана на рис. 4.8.

Примечание. Если силы приводятся к равнодействующей, т.е. R* ф 0 и М" = 0, то уравнения линии действия равнодействующей:

где X, У, Z - проекции равнодействующей силы на координатные оси; М х, М у, М. - главные моменты заданной системы сил относительно координатных осей. Из этих трех уравнений независимыми являются только два.

Инвариантной называется величина, не зависящая от выбора СК и остающаяся поэтому при различных преобразованиях систем координат постоянной. В данном случае эти величины остаются постоянными при различных выборах центра приведения.
Эти условия будут достаточными для равновесия ATT, если в начальныймомент времени оно покоилось в выбранной инерциальной СО. Обычнов инженерной практике за таковую систему выбирают СО, связаннуюс Землей.

Плоская система сил тоже приводится к силе, равной и приложенной в произвольно выбранном центре О, и паре с моментом

при этом вектор можно определить или геометрически построением силового многоугольника (см. п. 4), или аналитически. Таким образом, для плоской системы сил

R x =F kx , R y =F ky ,

где все моменты в последнем равенстве алгебраические и сумма тоже алгебраическая.

Найдем, к какому простейшему виду может приводиться данная плоская система сил, не находящаяся в равновесии. Результат зависит от значений R и М O .

1. Если для данной системы сил R=0, a M O ?0, то она приводится к одной паре с моментом М O , значение которого не зависит от выбора центра О.
2. Если для данной системы сил R?0, то она приводится к одной силе, т. е. к равнодействующей. При этом возможны два случая:
- а) R?0, М O =0. В этом случае система, что сразу видно, приводится к равнодействующей R, проходящей через центр О;
- б) R?0, М O ?0. В этом случае пару с моментом М O можно изобразить двумя силами R" и R", беря R"=R, a R"= - R. При этом, если d=OC - плечо пары, то должно быть Rd=|M O |.

Отбросив теперь силы R и R", как уравновешенные, найдем, что вся система сил заменяется равнодействующей R"=R, проходящей через точку С. Положение точки С определяется двумя условиями: 1) расстояние OC=d () должно удовлетворять равенству Rd=|M O |; 2) знак момента относительно центра О силы R", приложенной в точке С, т. е. знак m O (R") должен совпадать со знаком М O .

Случаи приведения к простейшему виду

Приведение к паре

Пусть в результате приведения сил к центру О оказалось, что главный вектор равен нулю, а главный момент отличен от нуля: . Тогда в силу основной теоремы статики можем написать

Это означает, что исходная система сил в этом случае эквивалентна паре сил с моментом .

Момент пары не зависит от того, какая точка выбрана в качестве центра моментов при вычислении момента пары. Следовательно, в данном случае главный момент не должен зависеть от выбора центра приведения. Но именно к этому выводу и приводит соотношение

связывающее главные моменты относительно двух различных центров. При добавочный член также равен нулю, и мы получаем

Приведение к равнодействующей

Пусть теперь главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю: . В силу основной теоремы статики имеем

то есть система сил оказывается эквивалентной одной силе - главному вектору. Следовательно, в этом случае исходная система сил приводится к равнодействующей, и эта равнодействующая совпадает с главным вектором, приложенным в центре приведения: .

Система сил приводится к равнодействующей и в том случае, когда главный вектор и главный момент оба не равны нулю, но взаимно перпендикулярны: . Доказательство осуществляется при помощи следующей последовательности действий.

Через центр приведения О проводим плоскость, перпендикулярную главному моменту (рис. 50, а). На рисунке эта плоскость совмещена с плоскостью чертежа, в ней же расположен главный вектор . В этой плоскости строим пару с моментом , причем силы пары выберем равными по модулю главному вектору ; тогда плечо пары будет равно . Далее переместим пару в ее плоскости таким образом, чтобы одна из сил пары оказалась приложенной в центре приведения О противоположно главному ; вторая сила пары будет приложена в точке С, отстоящей от центра О в нужную сторону, определяемую направлением , на расстоянии ОС, равном плечу пары h (рис. 50, б). Отбрасывая теперь уравновешенные силы R и - , приложенные в точке О, приходим к одной силе , приложенной в точке С (рис. 50, в). Она и будет служить равнодействующей данной системы сил .

Видно, что равйодействующая по-прежнему равна главному вектору , однако отличается от главного вектора своей точкой приложения. Если главный вектор приложен в центре приведения О, то равнодействующая - в точке С, положение которой требует специального определения. Геометрический способ нахождения точки С виден из проделанного выше построения.

Для момента равнодействующей относительно центра приведения О можно написать (см. рис. 50):

или, опуская промежуточные значения:

Если спроектировать это векторное равенство на какую-либо ось , проходящую через точку О, получаем соответствующее равенство в проекциях:

Вспоминая, что проекция момента силы относительно точки на ось, проходящую через эту точку, является моментом силы относительно оси, перепишем этой равенство так:

Полученные равенства выражают теорему Вариньона в ее общем виде (в лекции 2 теорема была сформулирована только для сходящихся сил): если система сил имеет равнодействующую, то момент этой равнодействующей (относительно точки, относительно оси) равен сумме моментов всех заданных сил - составляющих (относительно той же точки, той же оси). Понятно, что в случае точки суммирование моментов векторное, в случае оси - алгебраическое.

Приведение к динаме

Динамой или динамическим винтом называется совокупность пары сил и силы, направленной перпендикулярно плоскости действия пары. Можно показать, что в общем случае приведения, когда и не перпендикулярен , исходная система сил эквивалентна некоторой динаме.

Случаи приведения к простейшему виду

Приведение к паре

Это означает, что исходная система сил в этом случае эквивалентна паре сил с моментом .

Приведение к равнодействующей

Для момента равнодействующей относительно центра приведения О можно написать (см. рис. 50):

или, опуская промежуточные значения:

Приведение к динаме

Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент равны нулю, т.е.

Система сил уравновешена. Под действием такой системы сил твердое тело будет находиться в равновесии. Очевидно, что в общем случае двум векторным уравнениям (4.1) соответствуют шесть скалярных уравнений, отражающих равенство нулю проекций этих векторов на оси выбранной координатной системы (например, декартовой).

Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю, т.е.

На тело действует результирующая пара сил, стремящаяся его повернуть. Заметим, что в этом случае выбор центра приведения не влияет на результат.

Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор не равен нулю, а главный момент равен нулю, т.е.

На тело действует равнодействующая системы сил, проходящая через центр приведения и стремящаяся сдвинуть тело вдоль линии своего действия. Очевидно, что соотношения (4.3.) справедливы для всех точек линии действия равнодействующей.

Заметим, что к этому случаю сводится действие системы сходящихся сил, если за центр приведения принять точку пересечения линий действия сил системы (т.к. моменты сил относительно этой точки равны нулю).

Если после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О главный вектор и главный момент не равны нулю, а их направления составляют прямой угол, т. е.

то такую систему сил тоже можно привести к равнодействующей, но проходящей через другой центр приведения - точку . Для выполнения этой операции сначала рассмотрим эквивалентные системы сил, изображенные на рис. 4.2.б и рис. 4.1. Очевидно, что если заменить обозначения (точку В назвать центром О, точку А – центром ), стоящая перед нами задача требует выполнения операции, обратной выполненной в лемме о параллельном переносе силы. С учетом сказанного, точка должна, во-первых, располагаться в плоскости, перпендикулярной вектору главного момента, проходящей через центр О, и, во-вторых, лежать на линии, параллельной линии действия главного вектора сил и отстоящей от нее на расстоянии h, равном

Из двух найденных линий следует выбрать ту, для точек которой равен нулю вектор главного момента (момент главного вектора сил относительно нового центра должен быть равен по модулю и противоположен по направлению главному моменту системы сил относительно точки О).

В общем случае после приведения пространственной системы сил к выбранному центру О неравные нулю главный вектор и главный момент составляют между собой не прямой угол (рис.4.5.а).

Если главный момент разложить на две составляющие – вдоль главного вектора сил и перпендикулярно ему, то, в соответствии с (4.5), может быть найден такой центр приведения , для которого перпендикулярная составляющая главного момента становится равной нулю, а величины и направления главного вектора и первой составляющей главного момента остаются прежними (рис.4.5.б). Совокупность векторов и называется силовым винтом или динамой .

Дальнейшее упрощение не представляется возможным.

Поскольку при такой смене центра приведения изменяется только проекция главного момента на направление, перпендикулярное главному вектору системы сил, остается неизменной величина скалярного произведения этих векторов, т.е.

Это выражение называется вторым инвариантом

статики .

Пример 4.1. На вершины прямоугольного параллелепипеда со сторонами и действуют силы и (см. рис.4.6). Приняв за центр приведения системы сил начало координат указанной на рисунке декартовой координатной системы, записать выражения для проекций главного вектора и главного момента.

Запишем тригонометрические соотношения для определения углов:

Теперь можно записать выражения для проекций главного вектора и главного момента сил системы:

Примечание: знание проекций вектора на координатные оси позволит, в случае необходимости, вычислить его величину и направляющие косинусы.