Эта статья является ответом на два вопроса: «Что такое » и «Как найти координаты проекции точки на плоскость »? Сначала дана необходимая информация о проецировании и его видах. Далее приведено определение проекции точки на плоскость и дана графическая иллюстрация. После этого получен метод нахождения координат проекции точки на плоскость. В заключении разобраны решения примеров, в которых вычисляются координаты проекции заданной точки на заданную плоскость.

Навигация по странице.

Проецирование, виды проецирования – необходимая информация.

При изучении пространственных фигур удобно пользоваться их изображениями на чертеже. Чертеж пространственной фигуры представляет собой так называемую проекцию этой фигуры на плоскость. Процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости происходит по определенным правилам. Так вот процесс построения изображения пространственной фигуры на плоскости вместе с набором правил, по которым осуществляется этот процесс, называется проецированием фигуры на данную плоскость. Плоскость, в которой строится изображение, называют плоскостью проекции .

В зависимости от правил, по которым осуществляется проецирование, различают центральное и параллельное проецирование . Вдаваться в подробности не станем, так как это выходит за рамки этой статьи.

В геометрии в основном используется частный случай параллельного проецирования - перпендикулярное проецирование , которое также называют ортогональным . В названии этого вида проецирования прилагательное «перпендикулярное» часто опускается. То есть, когда в геометрии говорят о проекции фигуры на плоскость, то обычно подразумевают, что эта проекция была получена с помощью перпендикулярного проецирования (если, конечно, не оговорено другое).

Следует отметить, что проекция фигуры на плоскость представляет собой совокупность проекций всех точек этой фигуры на плоскость проекции. Иными словами, чтобы получить проекцию некоторой фигуры необходимо уметь находить проекции точек этой фигуры на плоскость. В следующем пункте статьи как раз показано, как найти проекцию точки на плоскость.

Проекция точки на плоскость – определение и иллюстрация.

Еще раз подчеркнем, что мы будем говорить о перпендикулярной проекции точки на плоскость.

Выполним построения, которые помогут нам дать определение проекции точки на плоскость.

Пусть в трехмерном пространстве нам задана точка М 1 и плоскость . Проведем через точку М 1 прямую a , перпендикулярную к плоскости . Если точка М 1 не лежит в плоскости , то обозначим точку пересечения прямой a и плоскости как H 1 . Таким образом, точка H 1 по построению является основанием перпендикуляра, опущенного из точки M 1 на плоскость .

Определение.

Проекция точки М 1 на плоскость - это сама точка М 1 , если , или точка H 1 , если .

Данному определению проекции точки на плоскость эквивалентно следующее определение.

Определение.

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка, если она лежит в заданной плоскости, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную плоскость.

На приведенном ниже чертеже точка H 1 есть проекция точки М 1 на плоскость ; точка М 2 лежит в плоскости , поэтому М 2 – проекция самой точки М 2 на плоскость .

Нахождение координат проекции точки на плоскость – решения примеров.

Пусть в трехмерном пространстве введена Oxyz , задана точка и плоскость . Поставим перед собой задачу: определить координаты проекции точки М 1 на плоскость .

Решение задачи логически следует из определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость как H 1 . По определению проекции точки на плоскость, H 1 – это точка пересечения заданной плоскости и прямой a , проходящей через точку М 1 перпендикулярно к плоскости . Таким образом, искомые координаты проекции точки М 1 на плоскость - это координаты точки пересечения прямой a и плоскости .

Следовательно, чтобы найти координаты проекции точки на плоскость нужно:

Рассмотрим решения примеров.

Пример.

Найдите координаты проекции точки на плоскость .

Решение.

В условии задачи нам дано общее уравнение плоскости вида , так что его составлять не нужно.

Напишем канонические уравнения прямой a , которая проходит через точку М 1 перпендикулярно к заданной плоскости. Для этого получим координаты направляющего вектора прямой a . Так как прямая a перпендикулярна к заданной плоскости, то направляющим вектором прямой a является нормальный вектор плоскости . То есть, - направляющий вектор прямой a . Теперь мы можем написать канонические уравнения прямой в пространстве , которая проходит через точку и имеет направляющий вектор :
.

Чтобы получить требуемые координаты проекции точки на плоскость, осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого от канонических уравнений прямой переходим к уравнениям двух пересекающихся плоскостей , составляем систему уравнений и находим ее решение. Используем :

Таким образом, проекция точки на плоскость имеет координаты .

Ответ:

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве заданы точки и . Определите координаты проекции точки М 1 на плоскость АВС .

Решение.

Напишем сначала уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки :

Но давайте рассмотрим альтернативный подход.

Получим параметрические уравнения прямой a , которая проходит через точку и перпендикулярна к плоскости АВС . Нормальный вектор плоскости имеет координаты , следовательно, вектор является направляющим вектором прямой a . Теперь мы можем написать параметрические уравнения прямой в пространстве , так как знаем координаты точки прямой () и координаты ее направляющего вектора ():

Осталось определить координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого в уравнение плоскости подставим :
.

Теперь по параметрическим уравнениям вычислим значения переменных x , y и z при :
.

Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость АВС имеет координаты .

Ответ:

В заключении давайте обсудим нахождение координат проекции некоторой точки на координатные плоскости и плоскости, параллельные координатным плоскостям.

Проекциями точки на координатные плоскости Oxy , Oxz и Oyz являются точки с координатами и соответственно. А проекциями точки на плоскости и , которые параллельны координатным плоскостям Oxy , Oxz и Oyz соответственно, являются точки с координатами и .

Покажем, как были получены эти результаты.

Для примера найдем проекцию точки на плоскость (остальные случаи аналогичны этому).

Эта плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и - ее нормальный вектор. Вектор является направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости Oyz . Тогда параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М 1 перпендикулярно к заданной плоскости, имеют вид .

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости . Для этого сначала подставляем в уравнение равенства : , и проекция точки

Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.

Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.

Вспомогательная прямая комплексного чертежа

На чертеже, представленном на рис. 4.7, а, проведены оси проекций, а изображения соединены между собой линиями связи. Горизонтальная и профильная проекции соединены линиями связи с помощью дуг с центром в точке О пересечения осей. Однако в практике применяют и другое выполнение комплексного чертежа.

На безосных чертежах изображения располагают также в проекционной связи. Однако третья проекция может быть помещена ближе или дальше. Например, профильная проекция может быть размещена правее (рис. 4.7, б, II ) или левее (рис. 4.7, б, I ). Это важно для экономии места и удобства нанесения размеров.

Рис. 4.7.

Если на чертеже, выполненном по безосной системе, требуется провести между видом сверху и видом слева линии связи, то применяют вспомогательную прямую комплексного чертежа. Для этого примерно на уровне вида сверху и немного правее его проводят прямую под утлом 45° к рамке чертежа (рис. 4.8, а ). Она называется вспомогательной прямой комплексного чертежа. Порядок построения чертежа с помощью этой прямой показан на рис. 4.8, б, в.

Если три вида уже построены (рис. 4.8, г), то положение вспомогательной прямой выбирать произвольно нельзя. Сначала нужно найти точку, через которую она пройдет. Для этого достаточно продолжить до взаимного пересечения оси симметрии горизонтальной и профильной проекций и через полученную точку k провести под углом 45° отрезок прямой (рис. 4.8, д ). Если осей симметрии нет, то продолжают до пересечения в точке k 1 горизонтальную и профильные проекции любой грани, проецирующейся в виде прямой (рис. 4.8, д ).

Рис. 4.8.

Необходимость в проведении линий связи, а следовательно, и вспомогательной прямой возникает при построении недостающих проекций и при выполнении чертежей, на которых требуется определить проекции точек, чтобы уточнить проекции отдельных элементов детали.

Примеры использования вспомогательной прямой даны в следующем параграфе.

Проекции точки, лежащей на поверхности предмета

Для того чтобы при выполнении чертежей правильно строить проекции отдельных элементов детали, необходимо уметь находить на всех изображениях чертежа проекции отдельных точек. Например, трудно вычертить горизонтальную проекцию детали, представленной на рис. 4.9, не пользуясь проекциями отдельных точек (А, В, C, D, E и др.). Умение находить все проекции точек, ребер, граней необходимо и для воссоздания в воображении формы предмета по его плоским изображениям на чертеже, а также для проверки правильности выполненного чертежа.

Рис. 4.9.

Рассмотрим способы нахождения второй и третьей проекций точки, заданной на поверхности предмета.

Если на чертеже предмета дана одна проекция точки, то прежде надо найти проекции поверхности, на которой расположена эта точка. Затем выбирают один из двух описанных ниже приемов решения задачи.

Первый способ

Этот способ применяется, когда хотя бы на одной из проекций данная поверхность изображается в виде линии.

На рис. 4.10, а изображен цилиндр, на фронтальной проекции которого задана проекция а" точки А, лежащей на видимой части его поверхности (заданные проекции отмечены двойными цветными окружностями). Чтобы найти горизонтальную проекцию точки А, рассуждают так: точка лежит на поверхности цилиндра, горизонтальная проекция которой – окружность. Значит, и проекция точки, лежащей на этой поверхности, будет лежать на окружности. Проводят линию связи и на пересечении ее с окружностью отмечают искомую точку а. Третью проекцию а"

Рис. 4.10.

Если же точка В, лежащая на верхнем основании цилиндра, задана своей горизонтальной проекцией b, то проводят линии связи до пересечения с отрезками прямых, изображающих фронтальную и профильную проекции верхнего основания цилиндра.

На рис. 4.10, б представлена деталь – упор. Чтобы построить проекции точки А, заданной своей горизонтальной проекцией а, находят две другие проекции верхней грани (на которой лежит точка А ) и, проведя линии связи до пересечения с отрезками прямых, изображающих эту грань, определяют искомые проекции – точки а" и а". Точка В лежит на левой боковой вертикальной грани, значит, и ее проекции будут лежать на проекциях этой грани. Поэтому из заданной точки b" проводят линии связи (как указано стрелками) до встречи их с отрезками прямых, изображающих эту грань. Фронтальную проекцию с" точки С, лежащей на наклонно расположенной (в пространстве) грани, находят на линии, изображающей эту грань, а профильную с" – на пересечении линии связи, так как профильная проекция этой грани не линия, а фигура. Построение проекций точки D показано стрелками.

Второй способ

Этот способ применяют, когда первым способом пользоваться нельзя. Тогда следует поступить так:

• провести через заданную проекцию точки проекцию вспомогательной линии, расположенной на данной поверхности;
• найти вторую проекцию этой линии;
• на найденную проекцию линии перенести заданную проекцию точки (этим будет определена вторая проекция точки);
• найти третью проекцию (если это требуется) на пересечении линий связи.

На рис. 4.10, в дана фронтальная проекция а" точки А, лежащей на видимой части поверхности конуса. Для нахождения горизонтальной проекции через точку а" проводят фронтальную проекцию вспомогательной прямой, проходящей через точку А и вершину конуса. Получают точку V – проекцию точки встречи проведенной прямой с основанием конуса. Имея фронтальные проекции точек, лежащих на прямой, можно найти их горизонтальные проекции. Горизонтальная проекция s вершины конуса известна. Точка b лежит на окружности основания. Через эти точки проводят отрезок прямой и переносят на него (как показано стрелкой) точку а", получая точку а. Третья проекция а" точки А находится на пересечении линии связи.

Эту же задачу можно решить иначе (рис. 4.10, г ).

В качестве вспомогательной линии, проходящей через точку А, берут не прямую, как в первом случае, а окружность. Эта окружность образуется, если в точке А пересечь конус плоскостью, параллельной основанию, как показано на наглядном изображении. Фронтальная проекция этой окружности изобразится отрезком прямой, так как плоскость окружности перпендикулярна фронтальной плоскости проекций. Горизонтальная проекция окружности имеет диаметр, равный длине этого отрезка. Описав окружность указанного диаметра, проводят из точки а" линию связи до пересечения со вспомогательной окружностью, так как горизонтальная проекция а точки А лежит на вспомогательной линии, т.е. на построенной окружности. Третью проекцию aс" точки А находят на пересечении линий связи.

Таким же приемом можно найти проекции точки, лежащей на поверхности, например, пирамиды. Разница будет в том, что при ее пересечении горизонтальной плоскостью образуется не окружность, а фигура, подобная основанию.

Положение точки в пространстве может быть задано двумя её ортогональными проекциями, например, горизонтальной и фронтальной, фронтальной и профильной. Сочетание любых двух ортогональных проекций позволяет узнать значение всех координат точки, построить третью проекцию, определить октант, в котором она находится. Рассмотрим несколько типичных задач из курса начертательной геометрии.

По заданному комплексному чертежу точек A и B необходимо:

Определим сначала координаты т. A, которые можно записать в виде A (x, y, z). Горизонтальная проекция т. A – точка A", имеющая координаты x, y. Проведем из т. A" перпендикуляры к осям x, y и найдем соответственно A х, A у. Координата х для т. A равна длине отрезка A х O со знаком плюс, так как A х лежит в области положительных значений оси х. С учетом масштаба чертежа находим х = 10. Координата у равна длине отрезка A у O со знаком минус, так как т. A у лежит в области отрицательных значений оси у. С учетом масштаба чертежа у = –30. Фронтальная проекция т. A – т. A"" имеет координаты х и z. Опустим перпендикуляр из A"" на ось z и найдем A z . Координата z точки A равна длине отрезка A z O со знаком минус, так как A z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа z = –10. Таким образом, координаты т. A (10, –30, –10).

Координаты т. B можно записать в виде B (x, y, z). Рассмотрим горизонтальную проекцию точки B – т. В". Так как она лежит на оси х, то B x = B" и координата B у = 0. Абсцисса x точки B равна длине отрезка B х O со знаком плюс. С учетом масштаба чертежа x = 30. Фронтальная проекция точки B – т. B˝ имеет координаты х, z. Проведем перпендикуляр из B"" к оси z, таким образом найдем B z . Аппликата z точки B равна длине отрезка B z O со знаком минус, так как B z лежит в области отрицательных значений оси z. С учетом масштаба чертежа определим значение z = –20. Таким образом, координаты B (30, 0, -20). Все необходимые построения представлены на рисунке ниже.

Построение проекций точек

Точки A и B в плоскости П 3 имеют следующие координаты: A""" (y, z); B""" (y, z). При этом A"" и A""" лежат одном перпендикуляре к оси z, так как координата z у них общая. Точно также на общем перпендикуляре к оси z лежат B"" и B""". Чтобы найти профильную проекцию т. A, отложим по оси у значение соответствующей координаты, найденное ранее. На рисунке это сделано с помощью дуги окружности радиуса A у O. После этого проведем перпендикуляр из A у до пересечения с перпендикуляром, восстановленным из точки A"" к оси z. Точка пересечения этих двух перпендикуляров определяет положение A""".

Точка B""" лежит на оси z, так как ордината y этой точки равна нулю. Для нахождения профильной проекции т. B в данной задаче необходимо лишь провести перпендикуляр из B"" к оси z. Точка пересечении этого перпендикуляра с осью z есть B""".

Определение положения точек в пространстве

Наглядно представляя себе пространственный макет, составленный из плоскостей проекций П 1 , П 2 и П 3 , расположение октантов , а также порядок трансформации макета в эпюр, можно непосредственно определить, что т. A расположена в III октанте, а т. B лежит в плоскости П 2 .

Другим вариантом решения данной задачи является метод исключений. Например, координаты точки A (10, -30, -10). Положительная абсцисса x позволяет судить о том, что точка расположена в первых четырех октантах. Отрицательная ордината y говорит о том, что точка находится во втором или третьем октантах. Наконец, отрицательная аппликата z указывает на то, что т. A расположена в третьем октанте. Приведенные рассуждения наглядно иллюстрирует следующая таблица.

Октанты	Знаки координат
	x	y	z
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

Координаты точки B (30, 0, -20). Поскольку ордината т. B равна нулю, эта точка расположена в плоскости проекций П 2 . Положительная абсцисса и отрицательная аппликата т. B указывают на то, что она расположена на границе третьего и четвертого октантов.

Построение наглядного изображения точек в системе плоскостей П 1 , П 2 , П 3

Используя фронтальную изометрическую проекцию, мы построили пространственный макет III октанта. Он представляет собой прямоугольный трехгранник, у которого гранями являются плоскости П 1 , П 2 , П 3 , а угол (-y0x) равен 45 º. В этой системе отрезки по осям x, y, z будут откладываться в натуральную величину без искажений.

Построение наглядного изображения т. A (10, -30, -10) начнем с её горизонтальной проекции A". Отложив по оси абсцисс и ординат соответствующие координаты, найдем точки A х и A у. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из A х и A у соответственно к осям x и y определяет положение т. A". Отложив от A" параллельно оси z в сторону её отрицательных значений отрезок AA", длина которого равна 10, находим положение точки A.

Наглядное изображение т. B (30, 0, -20) строится аналогично – в плоскости П 2 по осям x и z нужно отложить соответствующие координаты. Пересечение перпендикуляров, восстановленных из B х и B z , определит положение точки B.

Изучение свойств фигур в пространстве и на плоскости невозможно без знания расстояний между точкой и такими геометрическими объектами, как прямая и плоскость. В данной статье покажем, как находить эти расстояния, рассматривая проекцию точки на плоскость и на прямую.

Уравнение прямой для двумерного и трехмерного пространств

Расчет расстояний точки до прямой и плоскости осуществляется с использованием ее проекции на эти объекты. Чтобы уметь находить эти проекции, следует знать, в каком виде задаются уравнения для прямых и плоскостей. Начнем с первых.

Прямая представляет собой совокупность точек, каждую из которых можно получить из предыдущей с помощью переноса на параллельные друг другу вектора. Например, имеется точка M и N. Соединяющий их вектор MN¯ переводит M в N. Имеется также третья точка P. Если вектор MP¯ или NP¯ параллелен MN¯, тогда все три точки на одной прямой лежат и образуют ее.

В зависимости от размерности пространства уравнение, задающее прямую, может изменять свою форму. Так, всем известная линейная зависимость координаты y от x в пространстве описывает плоскость, которая параллельна третьей оси z. В связи с этим в данной статье будем рассматривать только векторное уравнение для прямой. Оно имеет одинаковый вид для плоскости и трехмерного пространства.

В пространстве прямую можно задать следующим выражением:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(a; b; c)

Здесь значения координат с нулевыми индексами соответствуют принадлежащей прямой некоторой точки, u¯(a; b; c) - координаты направляющего вектора, который лежит на данной прямой, α - произвольное действительное число, изменяя которое можно получить все точки прямой. Это уравнение называется векторным.

Часто приведенное уравнение записывают в раскрытом виде:

Аналогичным образом можно записать уравнение для прямой, находящейся в плоскости, то есть в двумерном пространстве:

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b);

Уравнение плоскости

Чтобы уметь находить расстояние от точки до плоскостей проекций, необходимо знать, как задается плоскость. Так же, как и прямую, ее можно представить несколькими способами. Здесь рассмотрим один единственный: общее уравнение.

Предположим, что точка M(x 0 ; y 0 ; z 0) плоскости принадлежит, а вектор n¯(A; B; C) ей перпендикулярен, тогда для всех точек (x; y; z) плоскости справедливым будет равенство:

A*x + B*y + C*z + D = 0, где D = -1*(A*x 0 + B*y 0 + C*z 0)

Следует запомнить, что в этом общем уравнении плоскости коэффициенты A, B и C являются координатами нормального к плоскости вектора.

Расчет расстояний по координатам

Перед тем как переходить к рассмотрению проекций на плоскость точки и на прямую, следует напомнить, как следует рассчитывать расстояние между двумя известными точками.

Пусть имеются две пространственные точки:

A 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) и A 2 (x 2 ; y 2 ; z 2)

Тогда дистанция между ними вычисляется по формуле:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2 +(z 2 -z 1) 2)

С помощью этого выражения также определяют длину вектора A 1 A 2 ¯.

Для случая на плоскости, когда две точки заданы всего парой координат, можно записать аналогичное равенство без присутствия в нем члена с z:

A 1 A 2 = √((x 2 -x 1) 2 +(y 2 -y 1) 2)

Теперь рассмотрим различные случаи проекции на плоскости точки на прямую и на плоскость в пространстве.

Точка, прямая и расстояние между ними

Предположим, что имеется некоторая точка и прямая:

P 2 (x 1 ; y 1);

(x; y) = (x 0 ; y 0) + α*(a; b)

Расстояние между этими геометрическими объектами будет соответствовать длине вектора, начало которого лежит в точке P 2 , а конец находится в такой точке P на указанной прямой, для которой вектор P 2 P ¯ этой прямой перпендикулярен. Точка P называется проекцией точки P 2 на рассматриваемую прямую.

Ниже приведен рисунок, на котором изображена точка P 2 , ее расстояние d до прямой, а также вектор направляющий v 1 ¯. Также на прямой выбрана произвольная точка P 1 и от нее до P 2 проведен вектор. Точка P здесь совпадает с местом, где перпендикуляр пересекает прямую.

Видно, что оранжевые и красные стрелки образуют параллелограмм, сторонами которого являются вектора P 1 P 2 ¯ и v 1 ¯, а высотой - d. Из геометрии известно, что для нахождения высоты параллелограмма следует разделить его площадь на длину основания, на которое опущен перпендикуляр. Поскольку площадь параллелограмма вычисляется как векторное произведение его сторон, то получаем формулу для расчета d:

d = ||/|v 1 ¯|

Все вектора и координаты точек в этом выражении известны, поэтому можно им пользоваться без выполнения каких-либо преобразований.

Решить эту задачу можно было бы иначе. Для этого следует записать два уравнения:

• скалярное произведение P 2 P ¯ на v 1 ¯ должно равняться нулю, поскольку эти вектора взаимно перпендикулярны;
• координаты точки P должны удовлетворять уравнению прямой.

Этих уравнений достаточно, чтобы найти координаты P, а затем и длину d по формуле, приведенной в предыдущем пункте.

Задача на нахождение дистанции между прямой и точкой

Покажем, как использовать данные теоретические сведения для решения конкретной задачи. Допустим, известны следующая точка и прямая:

(x; y) = (3; 1) - α*(0; 2)

Необходимо найти точки проекции на прямую на плоскости, а также расстояние от M до прямой.

Обозначим проекцию, которую следует найти, точкой M 1 (x 1 ; y 1). Решим эту задачу двумя способами, описанными в предыдущем пункте.

Способ 1. Направляющий вектор v 1 ¯ координаты имеет (0; 2). Чтобы построить параллелограмм, выберем принадлежащую прямой какую-нибудь точку. Например, точку с координатами (3; 1). Тогда вектор второй стороны параллелограмма будет иметь координаты:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Теперь следует вычислить произведение векторов, задающих стороны параллелограмма:

Подставляем это значение в формулу, получаем расстояние d от M до прямой:

Способ 2. Теперь найдем другим способом не только расстояние, но и координаты проекции M на прямую, как это требует условие задачи. Как было сказано выше, для решения задачи необходимо составить систему уравнений. Она примет вид:

(x 1 -5)*0+(y 1 +3)*2 = 0;

(x 1 ; y 1) = (3; 1)-α*(0; 2)

Решаем эту систему:

Проекция исходной точки координаты имеет M 1 (3; -3). Тогда искомое расстояние равно:

d = |MM 1 ¯| = √(4+0) = 2

Как видим, оба способа решения дали одинаковый результат, что говорит о правильности выполненных математических операций.

Проекция точки на плоскость

Теперь рассмотрим, что представляет собой проекция точки, заданной в пространстве, на некоторую плоскость. Несложно догадаться, что этой проекцией также является точка, которая вместе с исходной образует перпендикулярный плоскости вектор.

Предположим, что проекция на плоскость точки М координаты имеет следующие:

Сама плоскость описывается уравнением:

A*x + B*y + C*z + D = 0

Исходя из этих данных, мы можем составить уравнение прямой, пересекающей плоскость под прямым углом и проходящей через M и M 1:

(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0) + α*(A; B; C)

Здесь переменные с нулевыми индексами - координаты точки M. Рассчитать положение на плоскости точки M 1 можно исходя из того, что ее координаты должны удовлетворять обоим записанным уравнениям. Если этих уравнений при решении задачи будет недостаточно, то можно использовать условие параллельности MM 1 ¯ и вектора направляющего для заданной плоскости.

Очевидно, что проекция точки, принадлежащей плоскости, совпадает сама с собой, а соответствующее расстояние равно нулю.

Задача с точкой и плоскостью

Пусть дана точка M(1; -1; 3) и плоскость, которая описывается следующим общим уравнением:

Следует вычислить координаты проекции на плоскость точки и рассчитать расстояние между этими геометрическими объектами.

Для начала построим уравнение прямой, проходящей через М и перпендикулярной указанной плоскости. Оно имеет вид:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α*(-1; 3; -2)

Обозначим точку, где эта прямая пересекает плоскость, M 1 . Равенства для плоскости и прямой должны выполняться, если в них подставить координаты M 1 . Записывая в явном виде уравнение прямой, получаем следующие четыре равенства:

X 1 + 3*y 1 -2*z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3*α;

Из последнего равенства получим параметр α, затем подставим его в предпоследнее и во второе выражение, получаем:

y 1 = -1 + 3*(3-z 1)/2 = -3/2*z 1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1)/2 = 1/2*z 1 - 1/2

Выражение для y 1 и x 1 подставим в уравнение для плоскости, имеем:

1*(1/2*z 1 - 1/2) + 3*(-3/2*z 1 + 3,5) -2*z 1 + 4 = 0

Откуда получаем:

y 1 = -3/2*15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2*15/7 - 1/2 = 4/7

Мы определили, что проекция точки M на заданную плоскость соответствует координатам (4/7; 2/7; 15/7).

Теперь рассчитаем расстояние |MM 1 ¯|. Координаты соответствующего вектора равны:

MM 1 ¯(-3/7; 9/7; -6/7)

Искомое расстояние равно:

d = |MM 1 ¯| = √126/7 ≈ 1,6

Три точки проекции

Во время изготовления чертежей часто приходится получать проекции сечений на взаимно перпендикулярные три плоскости. Поэтому полезно рассмотреть, чему будут равны проекции некоторой точки M с координатами (x 0 ; y 0 ; z 0) на три координатные плоскости.

Не сложно показать, что плоскость xy описывается уравнением z = 0, плоскость xz соответствует выражению y = 0, а оставшаяся плоскость yz обозначается равенством x = 0. Нетрудно догадаться, что проекции точки на 3 плоскости будут равны:

для x = 0: (0; y 0 ; z 0);

для y = 0: (x 0 ; 0 ; z 0);

для z = 0: (x 0 ; y 0 ; 0)

Где важно знать проекции точки и ее расстояния до плоскостей?

Определение положения проекции точек на заданную плоскость важно при нахождении таких величин, как площадь поверхности и объем для наклонных призм и пирамид. Например, расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания является высотой. Последняя входит в формулу для объема этой фигуры.

Рассмотренные формулы и методики определения проекций и расстояний от точки до прямой и плоскости являются достаточно простыми. Важно лишь запомнить соответствующие формы уравнений плоскости и прямой, а также иметь хорошее пространственное воображение, чтобы успешно их применять.

Точка, как математическое понятие, не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным объектом, то говорить о его проецировании бессмысленно.

Рис.9 Рис.10

В геометрии под точкой целесообразно принимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.

При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: ортогональная проекция точки есть точка.

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: X, Y, Z, показывающие величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций. Чтобы определить эти расстояния, достаточно определить точки встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить соответствующие величины, которые укажут соответственно значения абсциссы X , ординаты Y и аппликаты Z точки (рис. 10).

Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую плоскость проекций. Горизонтальной проекцией точки а называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, фронтальной проекцией а / – соответственно на фронтальной плоскости проекций и профильной а // – на профильной плоскости проекций.

Прямые Аа, Аa / и Аa // называются проецирующими прямыми. При этом прямую Аа, проецирующую точку А на горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально- проецирующей прямой, Аa / и Аa // - соответственно: фронтально и профильно-проецирущими прямыми.

Две проецирующие прямые, проходящие через точку А определяют плоскость, которую принято называть проецирующей.

При преобразовании пространственного макета, фронтальная проекция точки А – а / остается на месте, как принадлежащая плоскости, которая не менят своего положения при рассматриваемом преобразовании. Горизонтальная проекция – а вместе с горизонтальной плоскостью проекции повернется понаправлению движения часовой стрелки и расположится на одном перепендикуляре к оси Х с фронтальной проекцией. Профильная проекция - a // будет вращаться вместе с профильной плоскостью и к концу преобразования займет положение, указанное на рисунке 10. При этом - a // будет принадлежать перпендикуляру к оси Z , проведенному из точки а / и будет удалена от оси Z на такое же расстояние, на какое горизонтальная проекция а удалена от оси Х . Поэтому связь между горизонтально и профильной проекциями точки может быть установлена с помощью двух ортогональных отрезков аа y и а y a // и сопрягающей их дуги окружности с центром в точке пересечения осей (О – начало координат). Отмеченной связью пользуются для нахождения недостающей проекции (при двух заданных). Положение профильной (горизонтальной) проекции по заданным горизонтальной (профильной) и фронтальной проекциям может быть найдено с помощью прямой, проведенной под углом 45 0 из начала координат к оси Y (эту биссектрису называют прямой k – постоянной Монжа). Первый из указанных способов предпочтителен, как более точный.

Из этого следует:

1. Точка в пространстве удалена:

от горизонтальной плоскости H Z,

от фронтальной плоскости V на величину заданной координаты Y,

от профильной плоскости W на величину координаты.X.

2. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи):

горизонтальная и фронтальная – перпендикуляру к оси X,

горизонтальная и профильная – перпендикуляру к оси Y,

фронтальная и профильная – перпендикуляру к оси Z.

3. Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Из этого следует – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда иожно построить недостающую ее третью проекцию.

Если точка имеет три определенные координаты, то такую точку называют точкой общего положения. Если у точки одна или две координаты имеют нулевое значение, то такую точку называют точкой частного положения.

Рис. 11 Рис. 12

На рисунке 11 дан пространственный чертеж точек частного положения, на рисунке 12 – комплексных чертеж (эпюр) этих точек. Точка А принадлежит фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной плоскости проекций, точка С – профильной плоскости проекций и точка D – оси абсцисс (Х ).