Рациональные иррациональные уравнения методы их решения. Уравнения иррациональные и способы их решения. Иррациональное в математике

Методы решения иррациональных уравнений.

Предварительная подготовка к уроку: учащиеся должны уметь решать иррациональные уравнения различными способами.

За три недели до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №1: решить различные иррациональные уравнения. (Учащиеся самостоятельно находят по 6 различных иррациональных уравнений и решают их в парах.)

За одну неделю до данного занятия учащиеся получают домашнее задание №2, которое выполняют индивидуально.

1. Решить уравнение различными способами.

2. Оценить достоинства и недостатки каждого способа.

3. Оформить запись выводов в виде таблицы.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки

Цели урока:

Образовательная: обобщение знаний учащихся по данной теме, демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений, умения учащихся подходить к решению уравнений с исследовательских позиций.

Воспитательная: воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и общаться в группах, повышение интереса к предмету.

Развивающая: развитие логического мышления, алгоритмической культуры, навыков самообразования, самоорганизации, работы в парах при выполнении домашнего задания, умений анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, таблица «Правила решения иррациональных уравнений», плакат с цитатой М.В. Ломоносова «Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит», карточки.

Правила решения иррациональных уравнений.

Тип урока: урок-семинар (работа в группах по 5-6 человек, в каждой группе обязательно есть сильные ученики).

Ход урока

I . Организационный момент

(Сообщение темы и целей урока)

II . Презентация исследовательской работы «Методы решения иррациональных уравнений»

(Работу представляет учащийся, который ее проводил.)

III . Анализ методов решения домашнего задания

(По одному учащемуся от каждой группы записывают на доске предложенные ими способы решения. Каждая группа анализирует один из способов решения, оценивает достоинства и недостатки, делает выводы. Учащиеся групп дополняют, если это необходимо. Оценивается анализ и выводы группы. Ответы должны быть четкими и полными.)

Первый способ: возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень с последующей проверкой.

Решение.

Снова возведем обе части уравнения в квадрат:

Отсюда

Проверка:

1. Если х= 42, то , значит, число 42 не является корнем уравнения.

2. Если х= 2, то , значит, число 2 является корнем уравнения.

Ответ: 2.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
	Возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень	1. Понятно. 2. Доступно.	1. Словесная запись. 2. Сложная проверка.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень необходимо вести словесную запись, что делает решение понятным и доступным. Однако обязательная проверка иногда бывает сложной и занимает много времени. Этот метод можно использовать для решения несложных иррациональных уравнений, содержащих 1-2 радикала.

Второй способ: равносильные преобразования.

Решение: Возведем обе части уравнения в квадрат:

Ответ: 2.

№ п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
	Равносильных преобразований	1. Отсутствие словесного описания. 2. Нет проверки. 3. Четкая логическая запись. 4. Последовательность равносильных переходов.	1. Громоздкая запись. 2. Можно ошибиться при комбинации знаков системы и совокупности.

Вывод. При решении иррациональных уравнений методом равносильных переходов нужно четко знать, когда ставить знак системы, а когда - совокупности. Громоздкость записи, различные комбинации знаков системы и совокупности нередко приводят к ошибкам. Однако последовательность равносильных переходов, четкая логическая запись без словесного описания, не требующая проверки, являются бесспорными достоинствами данного способа.

Третий способ: функционально-графический.

Решение.

Рассмотрим функции и .

1. Функция степенная; является возрастающей, т.к. показатель степени - положительное (не целое) число.

D( f ).

Составим таблицу значений x и f ( x ).

	1,5		3,5
f(x)

2. Функция степенная; является убывающей.

Найдем область определения функции D ( g ).

Составим таблицу значений x и g ( x ).

g(x)

Построим данные графики функций в одной системе координат.

Графики функций пересекаются в точке с абсциссой Т.к. функция f ( x ) возрастает, а функция g ( x ) убывает, то решение уравнения будет только одно.

Ответ: 2.

№п/п	Способ	Достоинства	Недостатки
	Функционально-графический	1. Наглядность. 2. Не нужно делать сложных алгебраических преобразований и следить за ОДЗ. 3. Позволяет найти количество решений.	1. словесная запись. 2. Не всегда можно найти точный ответ, а если ответ точный, то нужна проверка.

Вывод. Функционально-графический метод является наглядным, позволяет найти количество решений, но применять его лучше тогда, когда легко можно построить графики рассматриваемых функций и получить точный ответ. Если ответ приближенный, то лучше воспользоваться другим методом.

Четвертый способ: введение новой переменной.

Решение. Введем новые переменные, обозначив Получим первое уравнение системы

Составим второе уравнение системы.

Для переменной :

Для переменной

Поэтому

Получим систему двух рациональных уравнений, относительно и

Вернувшись к переменной , получим

Введение новой переменной

Упрощение - получение системы уравнений, не содержащих радикалы

1. Необходимость отслеживать ОДЗ новых переменных

2. Необходимость возврата к исходной переменной

Вывод. Этот метод лучше применять для иррациональных уравнений, содержащих радикалы различных степеней, или одинаковые многочлены под знаком корня и за знаком корня, или взаимообратные выражения под знаком корня.

- Итак, ребята, для каждого иррационального уравнения необходимо выбирать наиболее удобный способ решения: понятный. Доступный, логически и грамотно оформленный. Поднимите руку, кто из вас при решении этого уравнения отдал бы предпочтение:

1) методу возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень с проверкой;

2) методу равносильных преобразований;

3) функционально-графическому методу;

4) методу введения новой переменной.

IV . Практическая часть

(Работа в группах. Каждая группа учащихся получает карточку с уравнением и решает ее в тетрадях. В это время по одному представителю от группы решают пример на доске. Учащиеся каждой группы решают тот же пример, что и член их группы, и следят за правильностью выполнения задания на доске. Если отвечающий у доски допускает ошибки, то тот, кто их замечает, поднимает руку и помогает исправить. В ходе занятия каждый учащийся помимо примера, решаемого его группой, должен записать в тетрадь и другие, предложенные группам, и решить их дома.)

Группа 1.

Группа 2.

Группа 3.

V . Самостоятельная работа

(В группах сначала идет обсуждение, а затем учащиеся приступают к выполнению задания. Правильное решение, подготовленное преподавателем, выводится на экран.)

VI . Подведение итогов урока

Теперь вы знаете, что решение иррациональных уравнений требует от вас хороших теоретических знаний, умения применять их на практике, внимания, трудолюбия, сообразительности.

Домашнее задание

Решить уравнения, предложенные группам в ходе занятия.

Конспект урока

«Методы решения иррациональных уравнений»

11 класс физико-математического профиля.

Зеленодольского муниципального района РТ»

Валиева С.З.

Тема урока: Методы решения иррациональных уравнений

Цель урока: 1.Изучить различные способы решения иррациональных уравнений.

1. 
   Развивать умение обобщать, правильно отбирать способы решения иррациональных уравнений.
2. 
   Развивать самостоятельность, воспитывать грамотность речи

Тип урока: семинар.
План урока:

1. 
   Организационный момент
2. 
   Изучение нового материала
3. 
   Закрепление
4. 
   Домашнее задание
5. 
   Итог урока

Ход урока
I . Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.

На предыдущем уроке мы рассмотрели решение иррациональных уравнений, содержащих квадратные корни, возведением их в квадрат. При этом мы получаем уравнение-следствие, что приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней. Также рассмотрели решение уравнений, используя определение квадратного корня. В этом случае проверку можно не делать. Однако при решении уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению алгоритмов решения уравнения. В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с которыми мы сегодня и познакомимся. Предварительно класс был разделен на 8 творческих групп, и им было дано на конкретных примерах раскрыть суть того или иного метода. Слово даем им.

II. Изучение нового материала.

Из каждой группы 1 ученик объясняет ребятам способ решения иррациональных уравнений. Весь класс слушают и конспектируют их рассказ.

1 способ. Введение новой переменной.

Решить уравнение: (2х + 3) 2 - 3

4х 2 + 12х + 9 - 3

4х 2 - 8х - 51 - 3

, t ≥0

х 2 – 2х – 6 = t 2 ;

4t 2 – 3t – 27 = 0

х 2 – 2х – 15 =0

х 2 – 2х – 6 =9;

Ответ: -3; 5.

2 способ. Исследование ОДЗ.

Решить уравнение

ОДЗ:


х = 2. Проверкой убеждаемся, что х = 2 является корнем уравнения.

3 способ. Умножение обеих частей уравнения на сопряженный множитель.

+
(умножим обе части на -
)

х + 3 – х – 8 = 5(-)

2=4, отсюда х=1. Проверкой убеждаемся, что х = 1 является корнем данного уравнения.

4 способ. Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.

Решить уравнение

Пусть = u,
=v.

Получим систему:

Решим методом подстановки. Получим u = 2, v = 2. Значит,

получим х = 1.

Ответ: х = 1.

5 способ. Выделение полного квадрата.

Решить уравнение

Раскроем модули. Т.к. -1≤сos0,5x≤1, то -4≤сos0,5x-3≤-2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.

6 способ. Метод оценки

Решить уравнение

ОДЗ: х 3 - 2х 2 - 4х + 8 ≥ 0, по определению правая часть -х 3 + 2х 2 + 4х - 8 ≥ 0

получим
т.е. х 3 - 2х 2 - 4х + 8 = 0. Решив уравнение разложением на множители, получим х = 2, х = -2

7 способ: Использование свойств монотонности функций.

Решить уравнение . Функции строго возрастают. Сумма возрастающих функций есть возрастающая и данное уравнение имеет не более одного корня. Подбором находим х = 1.

8 способ. Использование векторов.

Решить уравнение . ОДЗ: -1≤х≤3.

Пусть вектор
. Скалярное произведение векторов - есть левая часть. Найдем произведение их длин . Это есть правая часть. Получили
, т.е. векторы а и в – коллинеарны. Отсюда
. Возведем обе части в квадрат. Решив уравнение, получим х = 1 и х =
.

1. 
   Закрепление. (каждому ученику раздаются листы с заданиями)

Фронтальная устная работа

Найти идею решения уравнений (1-10)

1.
(ОДЗ - )

2.
х = 2

3. х 2 – 3х +
(замена)

4. (выделение полного квадрата)

5.
(Сведение уравнения к системе с помощью введения переменной.)

6.
(умножением на сопряженное выражение)

7.
т.к.
. То данное уравнение не имеет корней.

8. Т.к. каждое слагаемое неотрицательно, приравниваем их к нулю и решаем систему.

9. 3

10. Найдите корень уравнения (или произведение корней, если их несколько) уравнения.

Письменная самостоятельная работа с последующей проверкой

решить уравнения под номерами 11,13,17,19

Решить уравнения:

12. (х + 6) 2 -

14.

Метод оценки

Использование свойств монотонности функций.

Использование векторов.

1. 
   Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?
2. 
   Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?

1. 
   Домашнее задание: Решить оставшиеся уравнения.

Список литературы:

1. 
   Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин. М: Прсвещение, 2009

1. 
   Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.
2. 
   Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10 – 11 кл.: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2000.
3. 
   Ершова А. П., Голобородько В. В. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10 – 11 классов. – М.: Илекса, 2004
4. 
   КИМы ЕГЭ 2002 – 2010 г. г

6. Алгебраический тренажер. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С. Якир. Пособие для школьников и абитуриентов. Москва.: «Илекса» 2001г.
7. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Учебно – методическое пособие. 10 – 11 классы. С.Н.Олейник, М.К. Потапов, П.И.Пасиченко. Москва. «Дрофа». 2001г.

Зав. кафедрой математики ДВГГУ

Системы иррациональных, логарифмических и показательных уравнений

Традиционно в контрольные измерительные материалы для проведения единого государственного экзамена по математике включаются задачи позволяющие проверить умения выпускников решать различные системы уравнений. Как правило, это системы из двух уравнений с двумя переменными. Уравнения, входящие в систему могут быть как алгебраическими, в том числе иррациональными, так и трансцендентными. В рамках этой статьи рассмотрим основные методы решения систем с двумя переменными иррациональных, логарифмических и показательных уравнений.

Прежде чем непосредственно переходить к методам решения систем уравнений напомним основные определения и свойства различных функций, которые могут входить в уравнения системы.

Напомним, что два уравнения с двумя неизвестными образуют систему уравнений , если ставится задача о нахождении таких значений переменных, которые являются решениями каждого из уравнений.

Решением системы двух уравнений с двумя неизвестными называется упорядоченная пара чисел , при подстановке которых в систему вместо соответствующих переменных, получаются верные числовые равенства.

Решить систему уравнений – означает найти все ее решения.

Процесс решения системы уравнений, как и процесс решения уравнения, состоит в последовательном переходе с помощью некоторых преобразований от данной системы к более простой. Обычно пользуются преобразованиями, которые приводят к равносильной системе, в этом случае не требуется проверка найденных решений. Если же были использованы неравносильные преобразования, то обязательна проверка найденных решений.

Иррациональными называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или под знаком операции возведения в дробную степень.

Следует отметить, что

1. Все корни четной степени, входящие в уравнения, являются арифметическими. Другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно.

2. Все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения. При этом корень отрицателен, если подкоренной выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно.

Функции y = https://pandia.ru/text/78/063/images/image002_247.gif" width="37" height="24 src="> являются возрастающими на своей области определения.

При решении систем иррациональных уравнений используются два основных метода: 1) возведение обеих частей уравнений в одну и туже степень; 2) введение новых переменных.

При решении систем иррациональных уравнений первым методом следует помнить, что при возведении обеих частей уравнения, содержащего корни четной степени, в одну и туже степень, получается уравнение, которое является следствием первоначального, в связи с этим, в процессе решения могут появиться посторонние корни..gif" width="161" height="61">

Решение. Чтобы избавиться от иррациональности введем новые переменные. Пусть ……………………… (1),

тогда первоначальная система примет вид: ..gif" width="92" height="59">. Возведя обе части первого уравнения в квадрат, второго – в четвертую степень, получим систему: , откуда находим:

Нетрудно убедиться в том, что найденное решение последней системы является решением исходной системы.

Ответ: (6; 5)

Пример 2. Решить систему уравнений

Решение. 1..gif" width="51" height="27">.gif" width="140" height="27 src=">………………………..(2). Введем новую переменную: положим …………………….(3) и подставим в уравнение (2), получим квадратное уравнение от переменной : ..gif" width="56" height="23 src="> является посторонним, так как через обозначили арифметический корень..gif" width="84 height=27" height="27">. Возведем обе части уравнения в квадрат и выразим : .

Подставим, полученное выражение во второе уравнение первоначальной системы: https://pandia.ru/text/78/063/images/image026_45.gif" width="147" height="24 src=">. Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, при этом, чтобы не расширить область допустимых значений полученного уравнения, потребуем, чтобы https://pandia.ru/text/78/063/images/image028_36.gif" width="297" height="24 src=">.gif" width="65" height="23 src=">.gif" width="56" height="41 src="> является посторонним.

Найдем значение у при : https://pandia.ru/text/78/063/images/image034_32.gif" width="199" height="59 src=">

Решение. 1. Заметим, что правая часть первого уравнения должна быть неотрицательной, т. е..gif" width="225" height="24">..gif" width="48" height="21">. Подставим их во второе уравнение и найдем значения переменной :

https://pandia.ru/text/78/063/images/image041_28.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20 src=">, пара (10; 5) не является решением первоначальной системы.

https://pandia.ru/text/78/063/images/image044_23.gif" width="140" height="24 src=">.gif" width="39" height="20">. Нетрудно убедиться в том, что найденная пара чисел является решением первоначальной системы.

Ответ: (-10; -5)

Для успешного решения показательных и логарифмических систем уравнений, вспомним определение и свойства логарифма.

Логарифмом числа b по основанию а, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b .

Основные свойства логарифмов:

1) https://pandia.ru/text/78/063/images/image047_24.gif" width="125" height="25">;

2) https://pandia.ru/text/78/063/images/image049_23.gif" width="120" height="41">;

3) https://pandia.ru/text/78/063/images/image051_23.gif" width="99 height=45" height="45">.

4) https://pandia.ru/text/78/063/images/image053_22.gif" width="93" height="24 src=">; 9)

5) https://pandia.ru/text/78/063/images/image056_20.gif" width="53" height="24 src=">;

Перечислим основные свойства показательной и логарифмической функций:

1) Область определения функции , где - всё множество действительных чисел; функции https://pandia.ru/text/78/063/images/image058_21.gif" width="77" height="21 src="> - множество положительных действительных чисел.

2) Множество значений функции - множество положительных действительных чисел; функции https://pandia.ru/text/78/063/images/image060_20.gif" width="35" height="19">обе функции возрастают; если - обе функции убывают.

Замечание. В соответствии со вторым свойством, при решении логарифмических уравнений необходимо либо выяснять область допустимых значений уравнения, либо после решения делать проверку.

Показательным называется трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в показатель степени некоторых величин. При решении показательных уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения ……….(1) к уравнению ;

2) введение новых переменных.

Иногда приходится применять искусственные приемы.

Первый метод решения показательных уравнений основан на следующей теореме:

Если , то уравнение равносильно уравнению .

Перечислим основные приемы сведения показательного уравнения к уравнению вида (1).

1. Приведение обеих частей уравнения к одному основанию.

2. Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго положительные) по одинаковому основанию.

Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию, но обычно логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в уравнение.

3. Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1).

Логарифмическое уравнение – это трансцендентное уравнение, в котором неизвестное входит в аргумент логарифма.

При решении логарифмических уравнений используются два основных метода:

1) переход от уравнения к уравнению вида;

2) введение новых переменных.

Замечание. Так как область определения логарифмической функции только множество положительных действительных чисел, при решении логарифмических уравнений необходимо либо находить область допустимых значений уравнения (ОДЗ), либо после нахождения решений уравнения делать проверку.

Решение простейшего логарифмического уравнения вида

https://pandia.ru/text/78/063/images/image066_13.gif" width="43" height="21 src="> - единственный корень.

Для уравнения вида https://pandia.ru/text/78/063/images/image068_13.gif" width="65" height="24">.

Пример 4. Найдите значение выражения , если пара является решением системы уравнений https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">.

2. Так как уравнения системы содержат логарифмы по двум разным основаниям, перейдем к одному основанию 3: ..gif" width="65" height="93">..gif" width="41 height=21" height="21">, делаем вывод что - посторонний корень. Из первого уравнения последней системы находим значение при : https://pandia.ru/text/78/063/images/image082_11.gif" width="131 height=21" height="21">

Пример 5. Найдите наибольшую сумму , если пара является решением системы уравнений https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> из второго уравнения системы: ..gif" width="161" height="21">. Получили показательное уравнение от одной переменной.

Воспользуемся свойствами степени: . В уравнение входят степени с двумя разными основаниями. Стандартным приемом перехода к одному основанию является деление обеих частей уравнения на одну из степеней с наибольшим показателем..gif" width="164" height="49"> . Стандартным методом решения такого вида показательного уравнения является замена переменной. Пусть (замечаем, что на основании свойств показательной функции, значение новой переменной должно быть положительным), тогда получим уравнение https://pandia.ru/text/78/063/images/image092_10.gif" width="41" height="41">; . Решаем совокупность двух уравнений: . Получаем: ; .

Из уравнения https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17">:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image097_11.gif" width="68" height="41 src=">.gif" width="67" height="23 src=">. Таким образом, пары и https://pandia.ru/text/78/063/images/image083_11.gif" width="37" height="19 src="> и выберем из них наибольшую, которая очевидно равна 3.

Рассмотрим несколько примеров «комбинированных» систем уравнений в которые входят уравнения различных видов: иррациональные, логарифмические, показательные.

Пример 6. Решить систему уравнений https://pandia.ru/text/78/063/images/image072_13.gif" width="85" height="21">,

2. Преобразуем систему, воспользовавшись свойствами степени и логарифма:

https://pandia.ru/text/78/063/images/image104_9.gif" width="69" height="24 src="> (1), тогда второе уравнение системы примет вид: . Решим это дробно-рациональное уравнение, учитывая, что . Получим: ; https://pandia.ru/text/78/063/images/image023_49.gif" width="15" height="17"> через .

При https://pandia.ru/text/78/063/images/image109_8.gif" width="77" height="24 src=">.gif" width="104" height="24 src=">. Решим это уравнение: , так как должен быть положительным, то это посторонний корень; https://pandia.ru/text/78/063/images/image110_8.gif" width="49 height=41" height="41">, получаем .

При https://pandia.ru/text/78/063/images/image115_7.gif" width="65" height="24 src=">.gif" width="116" height="24 src=">. Мы уже нашли, что , следовательно равен нулю может быть только второй сомножитель произведения: https://pandia.ru/text/78/063/images/image120_7.gif" width="85" height="28">. Очевидно, что - посторонний корень. Следовательно, еще одним решением системы является пара .

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Основные методы решения иррациональных уравнений - страница №1/1

Учитель: Зыкова О.Е. Конспект урока

Класс: 11 – физико-математический профиль.

Тема урока: Основные методы решения иррациональных уравнений

Тип: Урок обобщения и систематизации знаний.

Форма урока: семинар

Цели урока:

1. Систематизировать способы решения иррациональных уравнений; стимулировать учащихся к овладению рациональными приемами и методами решения, научить применять полученные знания при решении уравнений повышенного уровня сложности.

2. Развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжать формирование математической речи и графической культуры, вырабатывать умение обобщать, делать выводы.

3. Приучать к эстетическому оформлению записи в тетради и на доске, прививать аккуратность, учить умению выслушивать других и умению общаться.

Оборудование: компьютер, экран, проектор для показа презентаций, раздаточный материал по теме урока.

План урока:

1. 
   Организационный момент.
2. 
   Актуализация знаний.
3. 
   Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений,

рассмотрение новых.

1. 
   Закрепление
2. 
   Итог урока
3. 
   Домашнее задание

Ход урока

1. 
   Организационный момент: сообщение темы урока, цели урока.
2. 
   Актуализация знаний.

Вспомним, что иррациональным уравнением называется такое уравнение, в котором переменная находится под знаком радикала . Решение иррационального уравнения основывается, как правило, на сведении его к равносильному с помощью элементарных преобразований. Ранее нами были рассмотрены некоторые способы решения иррациональных уравнений: а) уединение радикала и возведение в квадрат обеих частей уравнения (иногда не один раз) б) определение области допустимых значений неизвестного.

Устная работа .

1. 
   Какие из следующих уравнений являются иррациональными:

а) x + = 2; б) x =1+ x ; в)у + =2; г) =3?

Ответ: а), в), г).

1. 
   Является ли число x 0 корнем уравнения:

а) = , x 0 = 4; б) = , x 0 = 2; в) = - , x 0 = 0?

Ответ: а)нет, б)да, в) нет.

1. 
   Выясните, при каких значениях x имеет место равенство:

а) = ; б) =

Ответ: а) при x , б) при x .

1. 
   Не решая следующих уравнений, объясните, почему каждое из них не может иметь корней:

а) + = - 2; б) + = - 4;

в) + = - 1; г) + = - 1.

Ответ: при каждом допустимом значении переменной сумма двух неотрицательных чисел не может быть равна отрицательному числу.

1. 
   Найдите область определения функции:

а) у = ; б) у = + ; в) у = + .

Ответ: а) .
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и помнить и другие методы решения иррациональных уравнений, о которых мы сегодня и будем говорить: метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножение на сопряженный множитель; приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину; графический и функциональный методы решения иррациональных уравнений; использование неравенства Коши при решении иррациональных уравнений; использование свойств уравнения вида f(f(x)) = x и др. методы.

Группа ребят подготовили задания по одному из методов решения. Они вам покажут, как их применяют, вы должны записывать решение и задавать вопросы.

1. 
   Обобщение и систематизация способов решения иррациональных уравнений, рассмотрение новых.

1-й ученик.

1. 
   Уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня или возводится в дробную степень, называют иррациональным.

Рассмотрим уравнение вида Прежде всего, остановимся на области допустимых значений иррационального уравнения , под которой будем понимать множество таких значений переменной, для которых определена каждая функция, входящая в уравнение.

Например, для уравнения - = 5 областью допустимых значений служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть пустое множество. Значит, уравнение решений не имеет.

Рассмотрим еще один пример – = 0. Областью допустимых значений данного уравнения служит множество решений системы неравенств то есть область допустимых значений данного уравнения есть одноэлементное множество . Непосредственная подстановка числа 2 в уравнение показывает, что 2 –его корень.

2. Как уже говорилось, основной метод решения – возведение обеих частей уравнения в степень n. При этом, если n- четное, то могут возникнуть посторонние корни. Поэтому в уравнениях необходимо делать проверку.

а) Если n = 2 k +1 , то уравнение = h (x ) равносильно на множестве действительных чисел уравнению g (x ) =(h (x )) 2 k +1 .

б) Если n = 2 k , то уравнение = h (x ) равносильно на множестве действительных чисел системе

Если уравнение содержит два и больше корней, то один из корней «уединяется», после чего обе части уравнения возводятся в степень n.

Решим уравнения:

Пример 1 . .

Решение

Область допустимых значений:
.

Преобразуем уравнение: . Возведем обе части этого уравнения в квадрат: ,
.

Полученное уравнение равносильно смешанной системе:

или

Ответ: x = 1.

Пример 2 . Решить уравнение и установить, при каких действительных значениях a уравнение имеет решение.

Решение

Перепишем данное уравнение так:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, получим:

Снова возведем обе части последнего уравнения в квадрат, получим

Остается установить, при каких значениях a уравнение имеет решение.

Подставляя в данное уравнение вместо x выражение
получим:

Последнее равенство рассмотрим на каждом из четырех промежутков:

Если
, то равенство примет вид: и выполняется тождество. Следовательно, при
уравнение имеет решение.

Если
, то равенство примет вид: которое не выполняется при
; следовательно, при a = 0 уравнение не имеет решений.

Если
, то равенство не выполняется, так как

Если
, то равенство выполняется, так как

Итак, при
и при

При
уравнение не имеет решений.
Ответ:

1. При
уравнение имеет единственный корень

2. При
уравнение не имеет решений.
2-й ученик. (Введение новой переменной)

Замена переменной в иррациональном уравнении используется довольно часто. Она, как правило, позволяет свести данное иррациональное уравнение к рациональному или, по крайней мере, упростить его.

Пример 1. 2x 2 +3 x -3 + =30.

Решение. Пусть y= , у Тогда = у 2 - 9 и уравнение примет вид: у 2 - 9 – 3 + у = 30. Решаем его:

система равносильна совокупности двух систем:
или

Возвращаясь к исходной переменной, получим: = 6, = 36, - 27 = 0, x 1 = 3, x 2 = - 4,5. Т.к. все совершенные преобразования были равносильными, то проверять эти числа не следует.

Ответ: - 4,5; 3.

Пример 2.
.

Решение. Выражения
и
являются взаимно обратными, если они не равны нулю, т. е.
, т. е. область допустимых значений:

В самом деле:
.

Пусть
, получим смешанную систему:

система равносильна совокупности двух систем:

или

Возвращаясь к старой переменной, получим:

Это значение переменной входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.
Ответ : 2,5.
Пример 3.

Решение.

Пусть тогда отсюда можно исключить x и получить уравнение, содержащие переменные u и v.

Из системы уравнений исключим x:

Подставляя значения в первоначальное уравнение, получим:

Приходим к системе уравнений:

Подставим значения u из второго уравнения в первое, получим:

Это биквадратное уравнение. Положим
тогда придем к квадратному уравнению:
которое имеет два корня:

не удовлетворяет условию
и является посторонним корнем. Находим:

Ответ: - 3
3-й ученик. (Выделение полного квадрата (квадрата двучлена) и приведение к уравнениям, содержащих абсолютную величину)

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений:

Замечаем, что под знаками корней находятся полные квадраты. Преобразуем их:

Приходим к уравнению, содержащему модули:


При
получаем уравнение
Это значение x не входит в промежуток

При
получаем уравнение
Это значение также не входит в промежуток
и не может быть корнем уравнения.

При
получаем уравнение
- не является корнем уравнения.

При
получаем
- не является корнем.

Ответ: корней нет.

Пример 2. + =1

Решение. Считая x 1, произведем замену = у, у и решим уравнение (у 2 = x -1 , тогда x = у 2 +1 ):

+ = 1 + =1 + =1

2 .

Сделаем обратную замену и решим неравенство:

4 5

Таким образом, уравнение имеет бесконечно много корней.

Ответ:

Пример 3.

Решение.

Раскроем модули. Т.к. -1 ≤ сos0,5 x ≤ 1, то -4 ≤ сos0,5x - 3 ≤ -2, значит, . Аналогично,

Тогда получим уравнение:3- - 3 + 2 = 1

cos0,5x = 1

x = 4πn, nZ.

Ответ: 4πn, nZ.

4-й ученик. (Метод исключения радикалов в иррациональном уравнении, умножением на сопряженный множитель)

Цель умножения на сопряженное выражение ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

Пример 1.

Решение.

Область допустимых значений




или

Умножим обе части уравнения на выражение сопряженное левой части уравнения, т. е. на
получаем:

Таким образом, исходное уравнение равносильно системе уравнений:

сложим уравнения и получаем:

Возведем обе части полученного уравнения в квадрат, придем к линейному уравнению

Это значение входит в область допустимых значений и является корнем уравнения.

Ответ:
Пример 2.

Решение.

ОДЗ - множество всех действительных чисел т. е.
.

Преобразуем уравнение

В левой части уравнения получили неполной квадрат разности двух выражений. Умножим обе части уравнения на (
). В левой части получим сумму кубов этих выражений - корней нет.

Ответ : решений нет.
5-й ученик. (Применение неравенства Каши и свойств уравнения вида f (f (x )) = x )
Применение неравенства Коши.

При решении некоторых иррациональных уравнений иногда бывает полезно воспользоваться известным классическим неравенством Коши: для любых положительных чисел a и b справедливо неравенство:

, где знак равенства достигается тогда и только тогда, когда a = b .

Пример 1.

Решение. В силу неравенства Коши имеем:

Следовательно, левая часть неравенства не превосходит x + 1. В самом деле, сложим обе части неравенств,

получим:

Таким образом, из данного уравнения следует, что правая часть, будучи равна левой, также будет меньше или равна x + 1, т. е. значит x = 1. Это значение и является единственным решением данного уравнения.

Ответ : 1.

Применение свойств уравнения вида f(f(x)) = x

Теорема . Если y = f(x) - монотонно возрастающая функция, то уравнения

Равносильны.

Замечание . Теорема имеет обобщение. Если y = f(x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения
и
равносильны.

Применение этой теоремы к решению иррациональных уравнений. «встречно монотонны», т.е.
возрастает, а
убывает и наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

Для выяснения монотонности той или иной функции, входящей в уравнение, можно использовать, прежде всего, свойства элементарных функций. Строгая монотонность исследуемой функции легко выясняется с помощью производной.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример. .

Решение. Это уравнение можно попытаться решить возведением в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени. Попробуем угадать корень. Это сделать нетрудно:
. Теперь заметим, что левая часть уравнения – возрастающая функция, а правая – убывающая. Но это значит, что больше одного корня такое уравнение иметь не может. Итак,
– единственный корень.

Y . Итог урока:

1. 
   Какие методы решения иррациональных уравнений мы рассмотрели?
2. 
   Какие из этих методов используются при решении уравнений других типов?
3. 
   Какой из этих методов вам понравился больше всего и почему?

YI . Домашнее задание: Из предложенных уравнений выбрать не менее 5 любых уравнений и решить их.