Центр тяжести
геометрическая точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении последнего в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (например, у кольца). Если свободное тело подвешивать на нити, прикрепляемые последовательно к разным точкам тела, то направления этих нитей пересекутся в Ц. т. тела. Положение Ц. т. твёрдого тела в однородном поле тяжести совпадает с положением его центра масс (См. Центр масс). Разбивая тело на части с весами p k ,
для которых координаты x k , y k , z k
их Ц. т. известны, можно найти координаты Ц. т. всего тела по формулам:
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Синонимы :Смотреть что такое "Центр тяжести" в других словарях:
Центр масс (центр инерции, барицентр) в механике это геометрическая точка, характеризующая движение тела или системы частиц как целого. Содержание 1 Определение 2 Центры масс однородных фигур 3 В механике … Википедия
Неизменно связанная с твёрдым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.),… … Энциклопедический словарь
Геом. точка, неизменно связанная с твёрдым телом, через к рую проходит равнодействующая сила всех сил тяжести, действующих на частицы тела при любом его положении в пространстве; она может не совпадать ни с одной из точек данного тела (напр., у… … Физическая энциклопедия
Неизменно связанная с твердым телом точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т. д.),… … Большой Энциклопедический словарь
Центр тяжести - ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести, действующих на частицы твердого тела при любом положении тела в пространстве. У однородного тела, имеющего центр симметрии (круг, шар, куб и т.д.), центр тяжести находится … Иллюстрированный энциклопедический словарь
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ, точка, в которой сконцентрирован вес тела и вокруг которой его вес распределен и уравновешен. Свободно падающий предмет вращается вокруг своего центра тяжести, в свою очередь вращающийся по траектории, которую описывал бы точечный… … Научно-технический энциклопедический словарь
центр тяжести - твёрдого тела; центр тяжести Центр параллельных сил тяжести, действующих на все частицы тела … Политехнический терминологический толковый словарь
Центроид Словарь русских синонимов. центр тяжести сущ., кол во синонимов: 12 главное (31) дух … Словарь синонимов
ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ - человеческого тела не обладает постоянным анат. расположением внутри тела, а перемещается в зависимости от измене ний позы; экскурсии его относительно позвоночника могут достигать 20 25 см. Опытное определение положения Ц. т. всего тела при… … Большая медицинская энциклопедия
Точка приложения равнодействующей сил тяжести (весов) всех отдельных частей (деталей), составляющих данное тело. Если тело симметрично относительно плоскости, прямой или точки, то в первом случае Ц. т. лежит в плоскости симметрии, во втором на… … Технический железнодорожный словарь
центр тяжести - Геометрическая точка твёрдого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом положении его в пространстве [Терминологический словарь по строительству на 12 языках (ВНИИИС Госстроя… … Справочник технического переводчика
Книги
- Центр тяжести , Поляринов А.В.. Роман Алексея Поляринова напоминает сложную систему озер. В нем и киберпанк, и величественные конструкции Дэвида Митчелла, и Борхес, и Дэвид Фостер Уоллес… Но его герои – молодые журналист,…
Если твердое тело находится вблизи поверхности Земли, то к каждой материальной точке этого тела приложена сила тяжести. При этом размеры тела по сравнению с размером Земли настолько малы, что силы земного притяжения, действующие на все частицы тела, можно считать параллельными между собой
Центр (точка С ) системы параллельных сил тяжести всех точек тела называется центром тяжести твердого тела , а сумма сил тяжести всех его материальных точек называется силой тяжести , действующей на него
Координаты центра тяжести твердого тела определяются по формулам:
где - координаты точек приложения сил тяжести , действующих на k -ю материальную точку.
Для однородного тела:
где V - объем всего тела;
V k - объем k -й частицы.
Для однородной тонкой пластины:
где S – площадь пластины;
S k – площадь k- ой части пластины.
Для линии:
где L - длина всей линии;
L k - длина k -ой части линии.
Способы определения координат центров тяжести тел:
Теоретические
Симметрия. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно или в плоскости симметрии, или на оси, или в центре симметрии.
Разбиение. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести всего тела можно непосредственно вычислить по выше приведенным формулам.
Дополнение. Этот способ является частным случаем способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. В расчеты их включают со знаком «-».
Интегрирование . Когда тело нельзя разбить на составные части, центры тяжести которых известны, используют метод интегрирования, являющийся универсальным.
Экспериментальные
Метод подвешивания. Тело подвешивают за две-три точки, проводя из них вертикали. Точка их пересечении – центр масс.
Метод взвешивания . Тело разными частями помещают на весы, определяя тем самым опорные реакции. Составляют уравнения равновесия, из которых определяют координаты центра тяжести.
С помощью теоретических методов выведены формулы для определения координат центра тяжести
наиболее распространенных однородных тел:
Дуга окружности
Центр тяжести твердого тела
Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).
Радиус-вектор этой точки
Рисунок 1.6
Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.
Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела
P k = γΔV k (P = γV)
подставить в формулу для определения r C , имеем
Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема
Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)
Рисунок 1.7
Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)
Способы определения координат центра тяжести
Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:
Рисунок 1.8
Рисунок 1.9
11. Основные понятия кинематики. Кинематика точки. Способы задания движения точки. Скорость и ускорение точки.
Основные понятия кинематики
Кинематика - раздел механики, изучающий движение тел без учета причин, вызвавших это движение.
Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.
Механическое движение - это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени.
Для описания механического движения надо выбрать систему отсчета.
Тело отсчета - тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел.
Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1).
Положение тела можно определить с помощью радиуса-вектора r⃗ r→ или с помощью координат.
Радиус-вектор r⃗ r→ точки Μ - направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой Μ (рис. 2).
Координата x точки Μ - это проекция конца радиуса-вектора точки Μ на ось Ох . Обычно пользуются прямоугольной системой ко ординат. В этом случае положение точки Μ на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (x ), двумя (х , у ) и тремя (х , у , z ) числами - координатами (рис. 3).
В элементарном курсе физики изучают кинематику движения материальной точки.
Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.
Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.
Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движении все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.
В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка".
Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией . На практике форму траектории задают с помощью математических формул (y = f (x ) - уравнение траектории) или изображают на рисунке. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободно падающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей.
В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.
Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s > 0.
Перемещение Δr⃗ Δr→ тела за определенный промежуток времени - направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка M 0) и конечное (точка М ) положение тела (см. рис. 2):
Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,
где r⃗ r→ и r⃗ 0 r→0 - радиусы-векторы тела в эти моменты времени.
Проекция перемещения на ось Ox
Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0
Где x 0 и x - координаты тела в начальный и конечный моменты времени.
Модуль перемещения не может быть больше пути
|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s
Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.
Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:
r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;
{x=x0+Δrx;y=y0+Δry. {x=x0+Δrx;y=y0+Δry.
Скорость
Средняя скорость hυ⃗ i hυ→i - векторная физическая величина, численно равная отношению перемещения к промежутку времени, за который оно произошло, и направленная вдоль перемещения (рис. 4):
hυ⃗ i=Δr⃗ Δt;hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.
В СИ единицей скорости является метр в секунду (м/с).
Средняя скорость, найденная по этой формуле, характеризует движение только на том участке траектории, для которого она определена. На другом участке траектории она может быть другой.
Иногда пользуются средней скоростью пути
hυi=sΔt hυi=sΔt
Где s - путь, пройденный за промежуток времени Δt . Средняя скорость пути - это скалярная величина.
Мгновенная скорость υ⃗ υ→ тела - скорость тела в данный момент времени (или в данной точке траектории). Она равна пределу, к которому стремится средняя скорость за бесконечно малый промежуток времени υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Здесь r⃗ ′ r→ ′ - производная от радиуса-вектора по времени.
В проекции на ось Ох :
υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.
Мгновенная скорость тела направлена по касательной к траектории в каждой ее точке в сторону движения (см. рис. 4).
Ускорение
Среднее ускорение - физическая величина, численно равная отношению изменения скорости ко времени, за которое оно произошло:
ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.
Вектор ha⃗ i ha→i направлен параллельно вектору изменения скорости Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) в сторону вогнутости траектории (рис. 5).
Мгновенное ускорение :
a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗ ′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.
В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате (м/с 2).
В общем случае мгновенное ускорение направлено под углом к скорости. Зная траекторию, можно определить направление скорости, но не ускорения. Направление ускорения определяется направлением равнодействующей сил, действующих на тело.
При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью (рис. 6, а) векторы a⃗ a→ и υ⃗ 0 υ→0 сонаправлены (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) и проекция ускорения на направление движения положительна.
При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью (рис. 6, б) направления векторов a⃗ a→ и υ⃗ 0 υ→0 противоположны (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) и проекция ускорения на направление движения отрицательна.
Вектор a⃗ a→ при криволинейном движении можно разложить на две составляющие, направленные вдоль скорости a⃗ τ a→τ и перпендикулярно скорости a⃗ n a→n (рис. 1.7), a⃗ τ a→τ - тангенциальное ускорение, характеризующее быстроту изменения модуля скорости при криволинейном движении, a⃗ n a→n - нормальное ускорение, характеризующее быстроту изменения направления вектора скорости при криволинейном движении Модуль ускорения a=a2τ+a2n−−−−−−√ a=aτ2+an2.
Способы задания движения точки
Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов:
1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.
1. Векторный способ задания движения точки.
Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz . Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М (рис. 3).
Рис.3
При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t:
Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.
Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.
2. Координатный способ задания движения точки.
Положение точки можно непосредственно определять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.3), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости
x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).
Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.
Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t.
Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения.
Разложим вектор на составляющие по осям координат:
где r x , r y , r z - проекции вектора на оси; – единичные векторы направленные по осям, орты осей.
Так как начало вектора находится в начале координат, то проекции вектора будут равны координатам точки M . Поэтому
Если движение точки задано в полярных координатах
r=r(t), φ = φ(t),
где r - полярный радиус, φ - угол между полярной осью и полярным радиусом, то данные уравнения выражают уравнение траектории точки. Исключив параметр t, получим
r = r(φ).
Пример 1. Движение точки задано уравнениями
Рис.4
Чтобы исключить время, параметр t , найдём из первого уравнения sin2t=x/2, из второго cos2t=y/3. Затем возведём в квадрат и сложим. Так как sin 2 2t+cos 2 2t=1, получим . Это уравнение эллипса с полуосями 2 см и 3 см (рис.4).
Начальное положение точки M 0 (при t =0) определяется координатами x 0 =0, y 0 =3 см.
Через 1 сек. точка будет в положении M 1 с координатами
x 1 =2sin2=2∙0,91=1,82 см, y 1 =2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 см.
Примечание.
Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам.
3. Естественный способ задания движения точки.
Рис.5
Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О" , которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на координатной оси).
Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s , которая равна расстоянию от точки О’ до точки М , измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M 1 , М 2 ,... . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.
Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость
Уравнение выражает закон движения точки М вдоль траектории. Функция s= f(t) должна быть однозначной, непрерывной и дифференцируемой.
За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Cледует помнить, что уравнение s=f(t) не определяет закон движения точки в пространстве, так как для определения положения точки в пространстве нужно знать еще траекторию точки с начальным положением точки на ней и фиксированное положительное направление. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение (или закон) движения точки по траектории.
Важно заметить, что дуговая координата точки s отлична от пройденного точкой по траектории пути σ. При своем движении точка проходит некоторый путь σ, которой является функцией времени t. Однако пройденный путь σ совпадает с расстоянием s лишь тогда, когда функция s = f(t) монотонно изменяется со временем, т.е. при движении точки в одном направлении. Допустим, что точка М переходит из М 1 в М 2 . Положению точки в М 1 соответствует время t 1 , а положению точки в М 2 - время t 2 . Разложим промежуток времени t 2 - t 1 на весьма малые промежутки времени ∆t 1 (i = 1,2, …n) так, чтобы в каждый из них точка совершала движение в одном направлении. Соответствующее приращение дуговой координаты обозначим ∆s i . Пройденной точкой путь σ будет положительной величиной:
Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле
где dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.
Следовательно,
Пример 2. Точка движется по прямой линии, по закону s=2t+3 (см) (рис. 6).
Рис.6
В начале движения, при t=0 s=OM 0 =s 0 =3 см. Положение точки M 0 называется начальным положением . При t=1 с, s=OM 1 =5 см.
Конечно, за 1 сек. точка прошла расстояние M 0 M 1 = 2см.Так что s – это не путь пройденный точкой, а расстояние от начала отсчёта до точки.
Вектор скорости точки
Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.
Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.
Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.
Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.
Для равномерно-прямолинейного движения
∆r=v ∆t, (1)
где v – постоянный вектор.
Вектор v называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет.
Из соотношения (1) видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени. Из (1) имеем
Направление вектора v указано на рис. 6.1.
Рис.6.1
При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени.
Пусть движущаяся точка находится в момент времени t в положении М , определяемом радиусом-вектором , а в момент t 1 приходит в положение M 1 определяемое вектором (рис.7). Тогда перемещение точки за промежуток времени ∆t=t 1 -t определяется вектором который будем называть вектором перемещения точки. Из треугольника ОММ 1 видно, что ; следовательно,
Рис. 7
Отношение вектора перемещения точки к соответствующему промежутку времени дает векторную величину, называемую средней по модулю и направлению скоростью точки за промежуток времени ∆t:
Скоростью точки в данный момент времени t называется векторная величина v, к которой стремится средняя скорость v ср при стремлении промежутка времени ∆t к нулю:
Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени.
Так как предельным направлением секущей ММ 1 является касательная, то вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Определение скорости точки при координатном способе задания движения
Вектор скорости точки , учитывая, что r x =x, r y =y, r z =z, найдем:
Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.
Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т.е. углы α, β, γ, которые вектор v образует с координатными осями) по формулам
Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния (криволинейной координаты) s точки по времени.
Направлен вектор скорости по касательной к траектории, которая нам наперед известна.
Определение скорости точки при естественном способе задания движения
Величину скорости можно определить как предел (∆r – длина хорды ММ 1):
где ∆s – длина дуги ММ 1 . Первый предел равен единице, второй предел – производная ds/dt.
Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:
Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении
Вектор ускорения точки
Ускорение - векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени.
В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате . к соответствующему промежутку времени ∆t определяет вектор среднего ускорения точки за этот промежуток времени:
Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и вектор , т.е. направлен в сторону вогнутости траектории.
Ускорением точки в данный момент времени t называется векторная величина , к которой стремится среднее ускорение при стремлении промежутка времени ∆t к нулю: Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени.
Ускорение точки равно нулю лишь тогда, когда скорость точки v постоянна как по величине, так и по направлению: это соответствует только прямолинейному и равномерному движению.
Найдем, как располагается вектор по отношению к траектории точки. При прямолинейном движении вектор направлен вдоль прямой, по которой движется точка. направлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, проходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, параллельную касательной в соседней точке M 1 (рис. 8). В пределе, когда точка М стремится к М , эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т.е. плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Следовательно, в общем случае вектор ускорения лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой.
Определение ускорения при координатном способе задания движения
Вектор ускорения точки в проекции на оси получаем:
т.е. проекция ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направление ускорения найдутся из формул
Рис.10
Проекции ускорения a x = =0, a y = =-8 см∙с -2 . Так как проекция вектора ускорения на ось x равна нулю, а на ось y – отрицательна, то вектор ускорения направлен вертикально вниз, и величина его постоянна, не зависит от времени.
Выделим в неоднородном твердом теле элементарный объем dV=dx dy dz (рис.5.3). Вес выделенного элемента будет , где – удельный вес в точке тела с соответствующими координатами.
Веса элементов образуют систему сил, параллельных оси аппликат. Модуль равнодействующей
весов элементов называется весом твердого тела, а геометрическая точка приложения равнодействующей – центром тяжести твердого тела. Для вычисления этих величин воспользуемся формулами (5.1) и (5.4), заменив в них суммирование интегрированием по объему, то есть
Величина, стоящая в числителе формулы (5.8), называется статическим моментом веса твердого тела относительно координатной плоскости .
Очевидно, что для однородного тела формула (5.8) принимает вид
Структура формул для вычисления и аналогичная.
В этом случае центр тяжести твердого тела совпадает центром его объема.
Если один из размеров твердого тела существенно меньше двух других, тело называют тяжелой поверхностью . При неизменном весе единицы площади поверхности она является однородной. Формулы для вычисления веса и координат центра тяжести получаются из (5.7) – (5.9) заменой интегралов по объему на интегралы по поверхности. В некоторых случаях поверхность может быть плоской.
Если два размера твердого тела существенно меньше третьего, тело называют тяжелой линией . При неизменном весе единицы длины линии она является однородной. Формулы для вычисления веса и координат центра тяжести получаются из (5.7) – (5.9) заменой интегралов по объему на криволинейные интегралы. В некоторых случаях линия может быть прямой.
Если однородное твердое тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости (сумма статических моментов элементарных сил веса относительно плоскости симметрии равна нулю).
Если однородное твердое тело имеет две плоскости симметрии, то центр тяжести тела принадлежит линии пересечения этих плоскостей.
Если однородное твердое тело имеет три плоскости симметрии, то центр тяжести тела расположен в точке их пересечения.
Если твердое тело может быть мысленно расчленено на элементы, веса и положения центров тяжести которых известны, то вычисление веса твердого тела и положения его центра тяжести может быть выполнено по формулам (5.1) и (5.4). Так, например, рассчитываются вес и координаты центра тяжести строящегося судна.
Если тело имеет вырезы, то они могут быть учтены как элементы отрицательного веса.
Заметим, что в инженерной справочной литературе приводится достаточно большое количество однородных элементов (объемных, плоских и криволинейных), для которых рассчитаны веса и положения центров тяжести. Ниже в таблице приведены некоторые из них.
| Вид элемента | Объем (площадь) элемента | Абсцисса ц.т. | Ордината ц.т. | Аппликата ц.т. |
В некоторых ситуациях положение центра тяжести твердого тела может быть найдено по результатам эксперимента. Например, при подвешивании тела на нити, его центр тяжести располагается на линии нити. Подвесив тело за другую точку, не лежащую на первой линии, найдем положение центра тяжести тела как точку пересечения двух линий. Другим способом, применяемым для нахождения центра тяжести протяженных тел, является так называемая постановка его на «ножи» с параллельными лезвиями. При сближении «ножей» центр тяжести тела стремится остаться между ними и, в пределе, оказывается на линии совпадения лезвий.
В инженерной практике для определения положения центра тяжести тела могут применяться способы, являющиеся комбинацией расчета и эксперимента. В качестве примера приведем вычисление удаления центра тяжести самолета, изображенного на рис.5.4., от его переднего колеса.
На рисунке: Д- динамометр, показывающий величину силы нормального давления переднего колеса, P – вес самолета, – расстояние от переднего колеса до оси задних колес.
Очевидно, что интересующее расстояние от переднего колеса до линии силы веса самолета может быть получено из уравнения суммы моментов сил и P относительно оси задних колес, как
Замечание: если вес Р самолета не известен, то, переставив динамометр Д под задние колеса, можно получить величину силы нормального давления . Тогда
Пример 5.1. Для однородной пластины, имеющей форму кругового сектора с углом 2 при вершине (см. рис. 5.5), найти положение центра тяжести пластины.
Проведем ось абсцисс так, что бы она являлась биссектрисой угла 2 . Тогда, в силу симметрии, ордината центра тяжести равна нулю, т.е. .
Двумя радиусами, элементарный угол между которыми , выделим на пластине элемент, площадь которого приближенно равна площади равнобедренного треугольника
Абсцисса центра тяжести выделенного треугольного элемента равна .
Теперь можно составить выражение для вычисления абсциссы центра тяжести кругового сектора как
Замечание: при вычислении учтено, что центр тяжести однородного плоского тела имеет на плоскости те же координаты, что и у соответствующей плоской фигуры.
Пример 5.2. Для тонкой однородной пластины сложной формы, размеры которой указаны на рис.5.6, найти положение центра тяжести.
Мысленно расчленим пластину на три элемента: прямоугольник, треугольник и круг. Для каждого из элементов найдем площадь и координаты центра тяжести:
Тогда для пластины координаты центра тяжести можно вычислить по формулам:
При вычислении отверстие трактовалось как присоединение круга отрицательного веса.
Центром тяжести твердого тела называется геометрическая точка, жестко связанная с этим телом, и являющаяся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (рисунок 1.6).
Радиус-вектор этой точки
Рисунок 1.6
Для однородного тела положение центра тяжести тела не зависит от материала, а определяется геометрической формой тела.
Если удельный вес однородного тела γ , вес элементарной частицы тела
P k = γΔV k (P = γV ) подставить в формулу для определения r C , имеем
Откуда, проецируя на оси и переходя к пределу, получаем координаты центра тяжести однородного объема
Аналогично для координат центра тяжести однородной поверхности площадью S (рисунок 1.7, а)
Рисунок 1.7
Для координат центра тяжести однородной линии длиной L (рисунок 1.7, б)
Способы определения координат центра тяжести
Исходя из полученных ранее общих формул, можно указать способы определения координат центров тяжести твердых тел:
1 Аналитический (путем интегрирования).
2 Метод симметрии . Если тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то его центр тяжести лежит соответственно в плоскости симметрии, оси симметрии или в центре симметрии.
3 Экспериментальный (метод подвешивания тела).
4 Разбиение . Тело разбивается на конечное число частей, для каждой из которых положение центра тяжести C и площадь S известны. Например, проекцию тела на плоскость xOy (рисунок 1.8) можно представить в виде двух плоских фигур с площадями S 1 и S 2 (S = S 1 + S 2 ). Центры тяжести этих фигур находятся в точках C 1 (x 1 , y 1 ) и C 2 (x 2 , y 2 ) . Тогда координаты центра тяжести тела равны
Рисунок 1.8
5Дополнение (метод отрицательных площадей или объемов). Частный случай способа разбиения. Он применяется к телам, имеющим вырезы, если центры тяжести тела без выреза и вырезанной части известны. Например, необходимо найти координаты центра тяжести плоской фигуры (рисунок 1.9):
Рисунок 1.9
Центры тяжести простейших фигур
Рисунок 1.10
1 Треугольник
Центр тяжести площади треугольник совпадает с точкой пересечения его медиан (рисунок 1.10, а).
DM = MB , CM = (1/3)AM .
2 Дуга окружности
Дуга имеет ось симметрии (рисунок 1.10, б). Центр тяжести лежит на этой оси, т.е. y C = 0 .
dl – элемент дуги, dl = Rdφ , R – радиус окружности, x = Rcosφ , L = 2αR ,
Следовательно:
x C = R(sinα/α) .
3 Круговой сектор
Сектор радиуса R с центральным углом 2α имеет ось симметрии Ox , на которой находится центр тяжести (рисунок 1.10, в).
Разбиваем сектор на элементарные секторы, которые можно считать треугольниками. Центры тяжести элементарных секторов располагаются на дуге окружности радиуса (2/3)R .
Центр тяжести сектора совпадает с центром тяжести дуги AB :
14. Способы задания движения точки.
При векторном способе задания движения положение точки определяется радиус-вектором, проведенным из неподвижной точки в выбранной системе отсчета.
При координатном способе задания движения задаются координаты точки как функции времени:
Это параметрические уравнения траектории движущейся точки, в которых роль параметра играет время t . Чтобы записать ее уравнение в явной форме, надо исключить из них t .
При естественном способе задания движения задаются траектория точки, начало отсчета на траектории с указанием положительного направления отсчета, закон изменения дуговой координаты: s=s(t) . Этим способом удобно пользоваться, если траектория точки заранее известна.
15. 1.2 Скорость точки
Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt :
средняя скорость точки за промежуток времени Dt . Скорость точки в данный момент времени
Скорость точки – это кинематическая мера ее движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета. Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.
Загрузка...
