Скалярное произведение векторов

Продолжаем разбираться с векторами. На первом уроке Векторы для чайников мы рассмотрели понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора и простейшие задачи с векторами. Если вы зашли на эту страничку впервые с поисковика, настоятельно рекомендую прочитать вышеуказанную вводную статью, поскольку для усвоения материала необходимо ориентироваться в используемых мной терминах, обозначениях, обладать базовыми знаниями о векторах и уметь решать элементарные задачи. Данный урок является логическим продолжением темы, и на нём я подробно разберу типовые задания, в которых используется скалярное произведение векторов. Это ОЧЕНЬ ВАЖНОЕ занятие . Постарайтесь не пропускать примеры, к ним прилагается полезный бонус – практика поможет вам закрепить пройденный материал и «набить руку» на решении распространенных задач аналитической геометрии.

Сложение векторов, умножение вектора на число…. Было бы наивным думать, что математики не придумали что-нибудь ещё. Помимо уже рассмотренных действий, существует ряд других операций с векторами, а именно: скалярное произведение векторов , векторное произведение векторов и смешанное произведение векторов . Скалярное произведение векторов знакомо нам со школы, два других произведения традиционно относятся к курсу высшей математики. Темы несложные, алгоритм решения многих задач трафаретен и понятен. Единственное. Информации прилично, поэтому нежелательно пытаться освоить-прорешать ВСЁ И СРАЗУ. Особенно это касается чайников, поверьте, автор совершенно не хочет чувствовать себя Чикатило от математики. Ну и не от математики, конечно, тоже =) Более подготовленные студенты могут использовать материалы выборочно, в известном смысле, «добирать» недостающие знания, для вас я буду безобидным графом Дракулой =)

Приоткроем же, наконец, дверь и увлечённо посмотрим, что происходит, когда два вектора встречают друг друга….

Определение скалярного произведения векторов.
Свойства скалярного произведения. Типовые задачи

Понятие скалярного произведения

Сначала про угол между векторами . Думаю, всем интуитивно понятно, что такое угол между векторами, но на всякий случай чуть подробнее. Рассмотрим свободные ненулевые векторы и . Если отложить данные векторы от произвольной точки , то получится картинка, которую многие уже представили мысленно:

Признаюсь, здесь я обрисовал ситуацию только на уровне понимания. Если необходимо строгое определение угла между векторами, пожалуйста, обратитесь к учебнику, для практических же задач оно нам, в принципе, ни к чему. Также ЗДЕСЬ И ДАЛЕЕ я буду местами игнорировать нулевые векторы ввиду их малой практической значимости. Оговорку сделал специально для продвинутых посетителей сайта, которые могут меня упрекнуть в теоретической неполноте некоторых последующих утверждений.

может принимать значения от 0 до 180 градусов (от 0 до радиан) включительно. Аналитически данный факт записывается в виде двойного неравенства: либо (в радианах).

В литературе значок угла часто пропускают и пишут просто .

Определение: Скалярным произведением двух векторов и называется ЧИСЛО, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Вот это вот уже вполне строгое определение.

Акцентируем внимание на существенной информации:

Обозначение: скалярное произведение обозначается через или просто .

Результат операции является ЧИСЛОМ : Умножается вектор на вектор, а получается число. Действительно, если длины векторов – это числа, косинус угла – число, то их произведение тоже будет числом.

Сразу пара разминочных примеров:

Пример 1

Решение: Используем формулу . В данном случае:

Ответ:

Значения косинуса можно найти в тригонометрической таблице . Рекомендую её распечатать – потребуется практически во всех разделах вышки и потребуется много раз.

Чисто с математической точки зрения скалярное произведение безразмерно, то есть результат, в данном случае , просто число и всё. С точки же зрения задач физики скалярное произведение всегда имеет определенный физический смысл, то есть после результата нужно указать ту или иную физическую единицу. Канонический пример по вычислению работы силы можно найти в любом учебнике (формула в точности представляет собой скалярное произведение). Работа силы измеряется в Джоулях, поэтому, и ответ запишется вполне конкретно, например, .

Пример 2

Найти , если , а угол между векторами равен .

Это пример для самостоятельного решения, ответ в конце урока.

Угол между векторами и значение скалярного произведения

В Примере 1 скалярное произведение получилось положительным, а в Примере 2 – отрицательным. Выясним, от чего зависит знак скалярного произведения. Смотрим на нашу формулу: . Длины ненулевых векторов всегда положительны: , поэтому знак может зависеть только от значения косинуса.

Примечание: Для более качественного понимания нижеприведенной информации лучше изучить график косинуса в методичке Графики и свойства функции . Посмотрите, как ведёт себя косинус на отрезке .

Как уже отмечалось, угол между векторами может изменяться в пределах , и при этом возможны следующие случаи:

1) Если угол между векторами острый : (от 0 до 90 градусов), то , и скалярное произведение будет положительным сонаправлены , то угол между ними считается нулевым , и скалярное произведение также будет положительным. Поскольку , то формула упрощается: .

2) Если угол между векторами тупой : (от 90 до 180 градусов), то , и, соответственно, скалярное произведение отрицательно : . Особый случай: если векторы направлены противоположно , то угол между ними считается развёрнутым : (180 градусов). Скалярное произведение тоже отрицательно, так как

Справедливы и обратные утверждения:

1) Если , то угол между данными векторами острый. Как вариант, векторы сонаправлены.

2) Если , то угол между данными векторами тупой. Как вариант, векторы направлены противоположно.

Но особый интерес представляет третий случай:

3) Если угол между векторами прямой : (90 градусов), то и скалярное произведение равно нулю : . Обратное тоже верно: если , то . Компактно утверждение формулируется так: Скалярное произведение двух векторов равно нулю тогда и только тогда, когда данные векторы ортогональны . Короткая математическая запись:

! Примечание : повторим основы математической логики : двусторонний значок логического следствия обычно читают «тогда и только тогда», «в том и только в том случае». Как видите, стрелки направлены в обе стороны – «из этого следует это, и обратно – из того, следует это». В чём, кстати, отличие от одностороннего значка следования ? Значок утверждает, только то , что «из этого следует это», и не факт, что обратное справедливо. Например: , но не каждый зверь является пантерой, поэтому в данном случае нельзя использовать значок . В то же время, вместо значка можно использовать односторонний значок. Например, решая задачу, мы выяснили, что и сделали вывод, что векторы ортогональны: – такая запись будет корректной, и даже более уместной, чем .

Третий случай имеет большую практическую значимость , поскольку позволяет проверить, ортогональны векторы или нет. Данную задачу мы решим во втором разделе урока.

Свойства скалярного произведения

Вернёмся к ситуации, когда два вектора сонаправлены . В этом случае угол между ними равен нулю, , и формула скалярного произведения принимает вид: .

А что будет, если вектор умножить на самого себя? Понятно, что вектор сонаправлен сам с собой, поэтому пользуемся вышеуказанной упрощенной формулой:

Число называется скалярным квадратом вектора , и обозначатся как .

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату длины данного вектора:

Из данного равенства можно получить формулу для вычисления длины вектора:

Пока она кажется малопонятной, но задачи урока всё расставят на свои места. Для решения задач нам также потребуются свойства скалярного произведения .

Для произвольных векторов и любого числа справедливы следующие свойства:

1) – переместительный или коммутативный закон скалярного произведения.

2) – распределительный или дистрибутивный закон скалярного произведения. Попросту, можно раскрывать скобки.

3) – сочетательный или ассоциативный закон скалярного произведения. Константу можно вынести из скалярного произведения.

Зачастую, всевозможные свойства (которые ещё и доказывать надо!) воспринимаются студентами как ненужный хлам, который лишь необходимо вызубрить и сразу после экзамена благополучно забыть. Казалось бы, чего тут важного, все и так с первого класса знают, что от перестановки множителей произведение не меняется: . Должен предостеречь, в высшей математике с подобным подходом легко наломать дров. Так, например, переместительное свойство не является справедливым для алгебраических матриц . Неверно оно и для векторного произведения векторов . Поэтому, в любые свойства, которые вам встретятся в курсе высшей математики, как минимум, лучше вникать, чтобы понять, что можно делать, а чего нельзя.

Пример 3

.

Решение: Сначала проясним ситуацию с вектором . Что это вообще такое? Сумма векторов и представляет собой вполне определенный вектор, который и обозначен через . Геометрическую интерпретацию действий с векторами можно найти в статье Векторы для чайников . Та же петрушка с вектором – это сумма векторов и .

Итак, по условию требуется найти скалярное произведение . По идее, нужно применить рабочую формулу , но беда в том, что нам неизвестны длины векторов и угол между ними. Зато в условии даны аналогичные параметры для векторов , поэтому мы пойдём другим путём:

(1) Подставляем выражения векторов .

(2) Раскрываем скобки по правилу умножения многочленов, пошлую скороговорку можно найти в статье Комплексные числа или Интегрирование дробно-рациональной функции . Повторяться уж не буду =) Кстати, раскрыть скобки нам позволяет дистрибутивное свойство скалярного произведения. Имеем право.

(3) В первом и последнем слагаемом компактно записываем скалярные квадраты векторов: . Во втором слагаемом используем перестановочность скалярного произведения: .

(4) Приводим подобные слагаемые: .

(5) В первом слагаемом используем формулу скалярного квадрата , о которой не так давно упоминалось. В последнем слагаемом, соответственно, работает та же штука: . Второе слагаемое раскладываем по стандартной формуле .

(6) Подставляем данные условия , и ВНИМАТЕЛЬНО проводим окончательные вычисления.

Ответ:

Отрицательное значение скалярного произведения констатирует тот факт, что угол между векторами является тупым.

Задача типовая, вот пример для самостоятельного решения:

Пример 4

Найти скалярное произведение векторов и , если известно, что .

Теперь ещё одно распространённое задание, как раз на новую формулу длины вектора . Обозначения тут будут немного совпадать, поэтому для ясности я перепишу её с другой буквой:

Пример 5

Найти длину вектора , если .

Решение будет следующим:

(1) Поставляем выражение вектора .

(2) Используем формулу длины: , при этом в качестве вектора «вэ» у нас выступает целое выражение .

(3) Используем школьную формулу квадрата суммы . Обратите внимание, как она здесь любопытно работает: – фактически это квадрат разности, и, по сути, так оно и есть. Желающие могут переставить векторы местами: – получилось то же самое с точностью до перестановки слагаемых.

(4) Дальнейшее уже знакомо из двух предыдущих задач.

Ответ:

Коль скоро речь идёт о длине, не забываем указать размерность – «единицы».

Пример 6

Найти длину вектора , если .

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Продолжаем выжимать полезные вещи из скалярного произведения. Снова посмотрим на нашу формулу . По правилу пропорции сбросим длины векторов в знаменатель левой части:

А части поменяем местами:

В чём смысл данной формулы? Если известны длины двух векторов и их скалярное произведение, то можно вычислить косинус угла между данными векторами, а, следовательно, и сам угол.

Скалярное произведение – это число? Число. Длины векторов – числа? Числа. Значит, дробь тоже является некоторым числом . А если известен косинус угла: , то с помощью обратной функции легко найти и сам угол: .

Пример 7

Найти угол между векторами и , если известно, что .

Решение: Используем формулу:

На заключительном этапе вычислений использован технический приём – устранение иррациональности в знаменателе. В целях устранения иррациональности я домножил числитель и знаменатель на .

Итак, если , то:

Значения обратных тригонометрических функций можно находить по тригонометрической таблице . Хотя случается это редко. В задачах аналитической геометрии значительно чаще появляется какой-нибудь неповоротливый медведь вроде , и значение угла приходится находить приближенно, используя калькулятор. Собственно, такую картину мы ещё неоднократно увидим.

Ответ:

Опять, не забываем указывать размерность – радианы и градусы. Лично я, чтобы заведомо «снять все вопросы», предпочитаю указывать и то, и то (если по условию, конечно, не требуется представить ответ только в радианах или только в градусах).

Теперь вы сможете самостоятельно справиться с более сложным заданием:

Пример 7*

Даны – длины векторов , и угол между ними . Найти угол между векторами , .

Задание даже не столько сложное, сколько многоходовое.
Разберём алгоритм решения:

1) По условию требуется найти угол между векторами и , поэтому нужно использовать формулу .

2) Находим скалярное произведение (см. Примеры № 3, 4).

3) Находим длину вектора и длину вектора (см. Примеры № 5, 6).

4) Концовка решения совпадает с Примером № 7 – нам известно число , а значит, легко найти и сам угол:

Краткое решение и ответ в конце урока.

Второй раздел урока посвящен тому же скалярному произведению. Координаты. Будет даже проще, чем в первой части.

Скалярное произведение векторов,
заданных координатами в ортонормированном базисе

Ответ:

Что и говорить, иметь дело с координатами значительно приятнее.

Пример 14

Найти скалярное произведение векторов и , если

Это пример для самостоятельного решения. Здесь можно использовать ассоциативность операции, то есть не считать , а сразу вынести тройку за пределы скалярного произведения и домножить на неё в последнюю очередь. Решение и ответ в конце урока.

В заключение параграфа провокационный пример на вычисление длины вектора:

Пример 15

Найти длины векторов , если

Решение: снова напрашивается способ предыдущего раздела: , но существует и другая дорога:

Найдём вектор :

И его длину по тривиальной формуле :

Скалярное произведение здесь вообще не при делах!

Как не при делах оно и при вычислении длины вектора :
Стоп. А не воспользоваться ли очевидным свойством длины вектора? Что можно сказать о длине вектора ? Данный вектор длиннее вектора в 5 раз. Направление противоположно, но это не играет роли, ведь разговор о длине. Очевидно, что длина вектора равна произведению модуля числа на длину вектора :
– знак модуля «съедает» возможный минус числа .

Таким образом:

Ответ:

Формула косинуса угла между векторами, которые заданы координатами

Теперь у нас есть полная информация, чтобы ранее выведенную формулу косинуса угла между векторами выразить через координаты векторов :

Косинус угла между векторами плоскости и , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :
.

Косинус угла между векторами пространства , заданными в ортонормированном базисе , выражается формулой :

Пример 16

Даны три вершины треугольника . Найти (угол при вершине ).

Решение: По условию чертёж выполнять не требуется, но всё-таки:

Требуемый угол помечен зелёной дугой. Сразу вспоминаем школьное обозначение угла: – особое внимание на среднюю букву – это и есть нужная нам вершина угла. Для краткости можно было также записать просто .

Из чертежа совершенно очевидно, что угол треугольника совпадает с углом между векторами и , иными словами: .

Проведённый анализ желательно научиться выполнять мысленно.

Найдём векторы:

Вычислим скалярное произведение:

И длины векторов:

Косинус угла:

Именно такой порядок выполнения задания рекомендую чайникам. Более подготовленные читатели могут записывать вычисления «одной строкой»:

Вот и пример «плохого» значения косинуса. Полученное значение не является окончательным, поэтому нет особого смысла избавляться от иррациональности в знаменателе.

Найдём сам угол:

Если посмотреть на чертёж, то результат вполне правдоподобен. Для проверки угол также можно измерить и транспортиром. Не повредите покрытие монитора =)

Ответ:

В ответе не забываем, что спрашивалось про угол треугольника (а не про угол между векторами), не забываем указать точный ответ: и приближенное значение угла: , найденное с помощью калькулятора.

Те, кто получил удовольствие от процесса, могут вычислить углы , и убедиться в справедливости канонического равенства

Пример 17

В пространстве задан треугольник координатами своих вершин . Найти угол между сторонами и

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока

Небольшой заключительный раздел будет посвящен проекциям, в которых тоже «замешано» скалярное произведение:

Проекция вектора на вектор. Проекция вектора на координатные оси.
Направляющие косинусы вектора

Рассмотрим векторы и :

Спроецируем вектор на вектор , для этого из начала и конца вектора опустим перпендикуляры на вектор (зелёные пунктирные линии). Представьте, что на вектор перпендикулярно падают лучи света. Тогда отрезок (красная линия) будет «тенью» вектора . В данном случае проекцией вектора на вектор является ДЛИНА отрезка . То есть, ПРОЕКЦИЯ – ЭТО ЧИСЛО.

Данное ЧИСЛО обозначается следующим образом: , «большим вектором» обозначают вектор КОТОРЫЙ проецируют, «маленьким подстрочным вектором» обозначают вектор НА который проецируют.

Сама запись читается так: «проекция вектора «а» на вектор «бэ»».

Что произойдёт, если вектор «бэ» будет «слишком коротким»? Проводим прямую линию, содержащую вектор «бэ». И вектор «а» будет проецироваться уже на направление вектора «бэ» , попросту – на прямую, содержащую вектор «бэ». То же самое произойдёт, если вектор «а» отложить в тридесятом царстве – он всё равно легко спроецируется на прямую, содержащую вектор «бэ».

Если угол между векторами острый (как на рисунке), то

Если векторы ортогональны , то (проекцией является точка, размеры которой считаются нулевыми).

Если угол между векторами тупой (на рисунке мысленно переставьте стрелочку вектора ), то (та же длина, но взятая со знаком минус).

Отложим данные векторы от одной точки:

Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется

Будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Если в задаче и длины векторов, и угол между ними преподнесены "на блюдечке с голубой каёмочкой", то условие задачи и её решение выглядят так:

Пример 1. Даны векторы . Найти скалярное произведение векторов , если их длины и угол между ними представлены следующими значениями:

Справедливо и другое определение, полностью равносильное определению 1.

Определение 2 . Скалярным произведением векторов называется число (скаляр), равное произведению длины одного их этих векторов на проекцию другого вектора на ось, определяемую первым из указанных векторов. Формула согласно определению 2:

Задачу с применением этой формулы решим после следующего важного теоретического пункта.

Определение скалярного произведения векторов через координаты

То же самое число можно получить, если перемножаемые векторы заданы своими координатами.

Определение 3. Скалярное произведение векторов - это число, равное сумме попарных произведений их соответствующих координат .

На плоскости

Если два вектора и на плоскости определены своими двумя декартовыми прямоугольными координатами

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат:

.

Пример 2. Найти численную величину проекции вектора на ось, параллельную вектору .

Решение. Находим скалярное произведение векторов, складывая попарные произведения их координат:

Теперь нам требуется приравнять полученное скалярное произведение произведению длины вектора на проекцию вектора на ось, параллельную вектору (в соответствии с формулой ).

Находим длину вектора как квадратный корень из суммы квадратов его координат:

.

Составляем уравнение и решаем его:

Ответ. Искомая численная величина равна минус 8.

В пространстве

Если два вектора и в пространстве определены своими тремя декартовыми прямоугольными координатами

,

то скалярное произведение этих векторов также равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, только координат уже три:

.

Задача на нахождение скалярного произведения рассмотренным способом - после разбора свойств скалярного произведения. Потому что в задаче потребуется определить, какой угол образуют перемножаемые векторы.

Свойства скалярного произведения векторов

Алгебраические свойства

1. (переместительное свойство : от перемены местами перемножаемых векторов величина их скалярного произведения не меняется).

2. (сочетательное относительно числового множителя свойство : скалярное произведение вектора, умноженного на некоторый множитель, и другого вектора, равно скалярному произведению этих векторов, умноженному на тот же множитель).

3. (распределительное относительно суммы векторов свойство : скалярное произведение суммы двух векторов на третий вектор равно сумме скалярных произведений первого вектора на третий вектор и второго вектора на третий вектор).

4. (скалярный квадрат вектора больше нуля ), если - ненулевой вектор, и , если - нулевой вектор.

Геометрические свойства

В определениях изучаемой операции мы уже касались понятия угла между двумя векторами. Пора уточнить это понятие.

На рисунке выше видны два вектора, которые приведены к общему началу. И первое, на что нужно обратить внимание: между этими векторами существуют два угла - φ 1 и φ 2 . Какой из этих углов фигурирует в определениях и свойствах скалярного произведения векторов? Сумма рассмотренных углов равна 2π и поэтому косинусы этих углов равны. В определение скалярного произведения входит только косинус угла, а не значение его выражения. Но в свойствах рассматривается только один угол. И это тот из двух углов, который не превосходит π , то есть 180 градусов. На рисунке этот угол обозначен как φ 1 .

1. Два вектора называют ортогональными и угол между этими векторами - прямой (90 градусов или π /2 ), если скалярное произведение этих векторов равно нулю :

.

Ортогональностью в векторной алгебре называется перпендикулярность двух векторов.

2. Два ненулевых вектора составляют острый угол (от 0 до 90 градусов, или, что тоже самое - меньше π скалярное произведение положительно .

3. Два ненулевых вектора составляют тупой угол (от 90 до 180 градусов, или, что то же самое - больше π /2 ) тогда и только тогда, когда их скалярное произведение отрицательно .

Пример 3. В координатах даны векторы:

.

Вычислить скалярные произведения всех пар данных векторов. Какой угол (острый, прямой, тупой) образуют эти пары векторов?

Решение. Вычислять будем путём сложения произведений соответствующих координат.

Получили отрицательное число, поэтому векторы образуют тупой угол.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Получили нуль, поэтому векторы образуют прямой угол.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

.

Получили положительное число, поэтому векторы образуют острый угол.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Пример 4. Даны длины двух векторов и угол между ними:

.

Определить, при каком значении числа векторы и ортогональны (перпендикулярны).

Решение. Перемножим векторы по правилу умножения многочленов:

Теперь вычислим каждое слагаемое:

.

Составим уравнение (равенство произведения нулю), приведём подобные члены и решим уравнение:

Ответ: мы получили значение λ = 1,8 , при котором векторы ортогональны.

Пример 5. Доказать, что вектор ортогонален (перпендикулярен) вектору

Решение. Чтобы проверить ортогональность, перемножим векторы и как многочлены, подставляя вместо его выражение, данное в условии задачи:

.

Для этого нужно каждый член (слагаемое) первого многочлена умножить на каждый член второго и полученные произведения сложить:

.

В полученном результате дробь за счёт сокращается. Получается следующий результат:

Вывод: в результате умножения получили нуль, следовательно, ортогональность (перпендикулярность) векторов доказана.

Решить задачу самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 6. Даны длины векторов и , a угол между этими векторами равен π /4 . Определить, при каком значении μ векторы и взаимно перпендикулярны.

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Матричное представление скалярного произведения векторов и произведение n-мерных векторов

Иногда выигрышным для наглядности является представление двух перемножаемых векторов в виде матриц. Тогда первый вектор представлен в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца:

Тогда скалярное произведение векторов будет произведением этих матриц :

Результат тот же, что и полученный способом, который мы уже рассмотрели. Получили одно единственное число, и произведение матрицы-строки на матрицу-столбец также является одним единственным числом.

В матричной форме удобно представлять произведение абстрактных n-мерных векторов. Так, произведение двух четырёхмерных векторов будет произведением матрицы-строки с четырьмя элементами на матрицу-столбец также с четырьмя элементами, произведение двух пятимерных векторов - произведением матрицы-строки с пятью элементами на матрицу-столбец также с пятью элементами и так далее.

Пример 7. Найти скалярные произведения пар векторов

,

используя матричное представление.

Решение. Первая пара векторов. Представляем первый вектор в виде матрицы-строки, а второй - в виде матрицы-столбца. Находим скалярное произведение этих векторов как произведение матрицы-строки на матрицу-столбец:

Аналогично представляем вторую пару и находим:

Как видим, результаты получились те же, что и у тех же пар из примера 2.

Угол между двумя векторами

Вывод формулы косинуса угла между двумя векторами очень красив и краток.

Чтобы выразить скалярное произведение векторов

(1)

в координатной форме, предварительно найдём скалярные произведение ортов. Скалярное произведение вектора на само себя по определению:

То, что записано в формуле выше, означает: скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины . Косинус нуля равен единице, поэтому квадрат каждого орта будет равен единице:

Так как векторы

попарно перпендикулярны, то попарные произведения ортов будут равны нулю:

Теперь выполним умножение векторных многочленов:

Подставляем в правую часть равенства значения соответствующих скалярных произведений ортов:

Получаем формулу косинуса угла между двумя векторами:

Пример 8. Даны три точки A (1;1;1), B (2;2;1), C (2;1;2).

Найти угол .

Решение. Находим координаты векторов:

,

.

По формуле косинуса угла получаем:

Следовательно, .

Для самопроверки можно использовать онлайн калькулятор Скалярное произведение векторов и косинус угла между ними .

Пример 9. Даны два вектора

Найти сумму, разность, длину, скалярное произведение и угол между ними.

More meanings of this word and English-Russian, Russian-English translations for the word «ДЛИННАЯ ТОННА» in dictionaries.

• ДЛИННАЯ ТОННА — gross ton, long ton
  
• ДЛИННАЯ ТОННА — (1016 кг) gross ton, long ton
  
• ТОННА — f. ton
  Russian-English Dictionary of the Mathematical Sciences
• ТОННА — Tonne
  
• ДЛИННАЯ — Long
  Русско-Американский Английский словарь
• ТОННА — ton метрическая тонна — tonne, metric ton английская тонна — ton регистровая тонна — register ton
  
• ТОННА — ton, tonne
  Русско-Английский словарь общей тематики
• ТОННА — Ton
  Russian Learner"s Dictionary
• ДЛИННАЯ — Long
  Russian Learner"s Dictionary
• ТОННА — ton
  Russian Learner"s Dictionary
• ТОННА
  Русско-Английский словарь
• ТОННА — ж. ton метрическая тонна — tonne, metric ton английская тонна — ton регистровая тонна — register ton
  Russian-English Smirnitsky abbreviations dictionary
• ТОННА — жен. ton - английская тонна - метрическая тонна - регистровая тонна
  Русско-Английский краткий словарь по общей лексике
• ТОННА — ton
  Русско-Английский словарь по строительству и новым строительным технологиям
• ТОННА — Ton
  Британский Русско-Английский словарь
• ТОННА — ТОННА, -ы, ж. Тысяча рублей. Возм. через уг.
  Англо-Русско-Английский словарь сленга, жаргона, русских имен
• ТОННА — ton, tonne
  Русско-Английский словарь - QD
• ТОННА — ж. (метрическая) tonne; (неметрическая) ton - длинная тонна - короткая тонна - метрическая тонна
  Русско-Aнглийский автомобильный словарь
• ТОННА — жен. ton метрическая тонна английская тонна регистровая тонна ж. ton, tonne
  Большой Русско-Английский словарь
• ТОННА — тонна ton
  Русско-Английский словарь Сократ
• TON
  
• TON — I сущ. 1) тонна long/gross ton ≈ длинная тонна (= 1016 кг) short/net ton ≈ короткая тонна (= 907,2 кг) …
  Новый большой Англо-Русский словарь
• LONG TON — большая тонна, длинная тонна (мера веса - 20 центнерам - 1016 кг)
  Англо-Русский словарь Britain
• TONNE — сущ. метрическая тонна (1000 кг) метрическая тонна (1000 кг)
  Большой Англо-Русский словарь
• TOASTING-FORK — сущ. 1) длинная металлическая вилка для поджаривания хлеба на огне 2) шутл. шпага длинная металлическая вилка для поджаривания хлеба на …
  Большой Англо-Русский словарь
• STREAMER — сущ. 1) вымпел; длинная узкая лента; полоса long streamers of clouds ≈ длинные полосы облаков 2) лозунг, транспарант Syn: …
  Большой Англо-Русский словарь
• SPIT
  Большой Англо-Русский словарь
• SLIP — 1. сущ. 1) скольжение; сползание 2) ошибка, промах slip of the tongue ≈ обмолвка Syn: mistake 3) а) нижняя …
  Большой Англо-Русский словарь
• SHARP — 1. прил. 1) острый; остроконечный, отточенный Syn: keen 2) сообразительный, наблюдательный, острый, проницательный (об интеллектуальных способностях человека) Syn: …
  Большой Англо-Русский словарь
• PELISSE — сущ. 1) длинная мантилья; ротонда 2) женская шуба 3) а) детское пальто б) церк. ряса (верхняя одежда духовенства) Syn: …
  Большой Англо-Русский словарь
• LONG ARM — длинная рука - the sleeves are too short for her long arms для ее длинных рук эти рукава коротки вытянутая …
  Большой Англо-Русский словарь
• LONG — I 1. прил. 1) (протяженный в пространстве) а) длинный; больше своей ширины long legs/arms/fingernails/nose ≈ длинные ноги, руки, ногти, нос …
  Большой Англо-Русский словарь
• GOOD — 1. прил.; сравн. - better; превосх. - best 1) а) хороший Where can we get some good pizza? ≈ Где …
  Большой Англо-Русский словарь
• CHURCHWARDEN — сущ. 1) церковный староста (в англиканской церкви) 2) разг. длинная глиняная курительная трубка церковный староста (разговорное) длинная курительная трубка churchwarden …
  Большой Англо-Русский словарь
• BOULTER — сущ. длинная леса с несколькими крючками длинная леса с большим количеством крючков boulter длинная леса с несколькими крючками
  Большой Англо-Русский словарь
• BODKIN — сущ. 1) шило Syn: awl 2) длинная шпилька для волос 3) уст. кинжал ∙ sit bodkin travel bodkin шило …
  Большой Англо-Русский словарь
• TON — ton.ogg _I tʌn n 1. тонна metric ton - метрическая тонна displacement ton - мор. тонна водоизмещения freight ton - …
  Англо-Русско-Английский словарь общей лексики - Сборник из лучших словарей
• LONG ARM
  Англо-Русско-Английский словарь общей лексики - Сборник из лучших словарей
• LONG
  Англо-Русско-Английский словарь общей лексики - Сборник из лучших словарей
• TON — I ton сущ.1) тонна long/gross ton — длинная тонна (- 1016 кг) metric ton — метрическая тонна (- …
  Англо-Русский словарь Tiger
• TON — I n 1. тонна metric ~ - метрическая тонна displacement ~ - мор. тонна водоизмещения freight ~ - мор. …
  
• LONG ARM — 1. длинная рука the sleeves are too short for her ~s - для её длинных рук эти рукава коротки 2. …
  Новый большой Англо-Русский словарь - Апресян, Медникова
• LONG — I 1. n 1. долгий срок; длительный период; большой промежуток времени for ~ - надолго, на большой срок I …
  Новый большой Англо-Русский словарь - Апресян, Медникова
• TON — _I tʌn n 1. тонна metric ton - метрическая тонна displacement ton - мор. тонна водоизмещения freight ton - мор. …
  
• LONG ARM — 1. длинная рука the sleeves are too short for her long arms - для её длинных рук эти рукава коротки …
  Большой новый Англо-Русский словарь
• LONG — _I 1. lɒŋ n 1. долгий срок; длительный период; большой промежуток времени for long - надолго, на большой срок I …
  Большой новый Англо-Русский словарь
• TON — I tʌn сущ. 1) тонна (единица массы) displacement ton — тонна водоизмещения (= весу 35 куб. футов …
  Англо-Русский словарь по общей лексике
• TON — I [«…-] ton.wav сущ. 1) тонна (единица массы) displacement ton — тонна водоизмещения (- весу 35 куб. футов воды) freight ton — фрахтовая тонна …
  Англо-Русский словарь общей лексики
• TON — _I _n. 1> тонна; long/gross ton - длинная тонна (= 1016 кг); metric ton - метрическая тонна (= 1000 кг); …
  Англо-Русский словарь Мюллера - 24 редакция
• TON — I n. 1. тонна; long/gross ton - длинная тонна (= 1016 кг); metric ton - метрическая тонна (= 1000 кг); …
  Англо-Русский словарь Мюллера - редакция bed

ДЛИННАЯ ТОННА

Syn: английская тонна

Синонимы русского языка. 2012

Смотрите еще толкования, синонимы, значения слова и что такое ДЛИННАЯ ТОННА в русском языке в словарях, энциклопедиях и справочниках:

• ДЛИННАЯ ТОННА в Тезаурусе русской деловой лексики:
  ‘тонна’ Syn: английская …
• ДЛИННАЯ ТОННА в Тезаурусе русского языка:
  ‘тонна’ Syn: английская …
• ТОННА в Словаре воровского жаргона:
  - тысяча …
• ДЛИННАЯ в Справочнике Населённых пунктов и почтовых индексов России:
  306534, Курской, …
• ДЛИННАЯ в Словаре экономических терминов:
  ПОЗИЦИЯ - 1) непокрытый обязательствами, контрактами на продажу остаток фьючерсных контрактов на покупку; 2) ситуация, когда покупка товаров, валюты или …
• ТОННА в Большом энциклопедическом словаре:
  (франц. tonne от ср.-век. лат. tunna - бочка), основная единица массы МТС системы единиц, равная 1000 кг; обозначается т. В …
• ТОННА
  (франц. tonne, от позднелатинского tunna - бочка), наименование различных единиц массы. Т. метрическая равна 1000 кг. Обозначения: русское т …
• ТОННА
  (Tonne собств. бочка) — мера веса (русская Т. = английская Т. = 62 пд.), употребляющаяся в морском деле, при исчислении …
• ТОННА
  [французское tonne] мера веса и массы; метрическая тонна равна 1000 кг; английская тонна - около 1016 кг; регистровая тонна - …
• ТОННА в Энциклопедическом словарике:
  ы, ж. Единица массы, равная 1000 кг. Тонный (спец.) - массой в одну тонну.||Ср. ГРАММ, КИЛОГРАММ, МИЛЛИГРАММ, …
• ТОННА в Энциклопедическом словаре:
  , -ы, ж. Единица массы, равная 1000 кг. II прил. тонный, -ая, -ое (спец.). Тонная …
• ТОННА
  Т́ОННА (франц. tonne, от ср.-век. лат. tunna - бочка), осн. единица массы МТС системы единиц, равная 1000 кг; обозначается: …
• ДЛИННАЯ в Большом российском энциклопедическом словаре:
  ДЛ́ИННАЯ ЛИНИЯ, линия передачи эл.-магн. энергии, образованная 2 параллельными проводниками, длина к-рых превышает длину волны l передаваемых колебаний, а расстояние …
• ТОННА в Энциклопедии Брокгауза и Ефрона:
  (Tonne собств. бочка) ? мера веса (русская Т. = английская Т. = 62 пд.), употребляющаяся в морском деле, при исчислении …
• ТОННА в Полной акцентуированной парадигме по Зализняку:
  то"нна, то"нны, то"нны, то"нн, то"нне, то"ннам, то"нну, то"нны, то"нной, то"нною, то"ннами, то"нне, …
• ТОННА в Популярном толково-энциклопедическом словаре русского языка:
  -ы, ж. Единица массы в метрической системе мер, равная 1000 кг. Сколько тонн? Несколько тонн. Привезти четыре тонны песка. Оказывается, …
• ТОННА
  10 …
• ТОННА в Словаре для разгадывания и составления сканвордов:
  Тысяча …
• ТОННА в Новом словаре иностранных слов:
  (фр. tonne) единица массы; в метрической системе мер т. равна 1000 кг; в английской системе мер т. большая, или …
• ТОННА в Словаре иностранных выражений:
  [фр. tonne] единица массы; в метрической системе мер т. равна 1000 кг; в английской системе мер т. большая, или длинная …
• ТОННА в словаре Синонимов русского языка:
  брутто-тонна, единица, …
• ТОННА в Новом толково-словообразовательном словаре русского языка Ефремовой:
  ж. 1) Единица массы, в метрической системе мер равная 1000 кг. 2) Количество вещества, имеющее такой …
• ТОННА в Полном орфографическом словаре русского языка:
  тонна, …
• ТОННА в Орфографическом словаре:
  т`онна, …
• ТОННА в Словаре Даля:
  тона жен. или тон муж. вес или мера вместимости корабля: 65 пудов, или 40 кубических …
• ТОННА в Современном толковом словаре, БСЭ:
  (франц. tonne, от ср.-век. лат. tunna - бочка), основная единица массы МТС системы единиц, равная 1000 кг; обозначается т. В …
• ТОННА
  тонны, ж. (фр. tonne). Название нек-рых мер веса, массы и объема. Метрическая т. (единица веса или массы, равная 1000 кг). …
• ДЛИННАЯ в Толковом словаре русского языка Ушакова:
  скатерть, постилаемая поверх обычной. Шитая дорожка. || Узкая полоса другого цвета на ткани. 4. Рыболовная снасть в виде длинного шнура …
• ТОННА в Толковом словаре Ефремовой:
  тонна ж. 1) Единица массы, в метрической системе мер равная 1000 кг. 2) Количество вещества, имеющее такой …
• ТОННА в Новом словаре русского языка Ефремовой:
  
• ТОННА в Большом современном толковом словаре русского языка:
  ж. 1. Единица массы, в метрической системе мер равная 1000 кг. 2. Количество вещества, имеющее такой …
• ГРЕЙХАУНД в Иллюстрированной энциклопедии собак:
  Грейхаунд - это собака плавно прогнутого, обтекаемого силуэта, без острых углов и прямых линий (за исключением прямой линии предплечья). Он …
• РУССКАЯ ПСОВАЯ БОРЗАЯ в Энциклопедии Собак.
• КАРЛИКОВЫЙ ШНАУЦЕР в Энциклопедии Собак:
  _Декоративные собаки_ карликовый шнауцер Происхождение Как и более крупные собаки этой породы (большой и средний шнауцер), карликовый шнауцер появился в …
• ДИРХАУНД в Энциклопедии Собак.
• ОДЕЖДА в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  искусственные покровы человеческого тела. О. в широком смысле слова включает также головные уборы, обувь, перчатки и т.д. Украшения лишь дополняют …
• ГРУЗОВЫЕ ПЕРЕВОЗКИ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  перевозки, перемещение грузов различными средствами транспорта - универсальными и специальными. (Перемещение земляных масс при производстве строительных работ с помощью бульдозеров …
• АНГЛИЙСКИЕ МЕРЫ в Большой советской энциклопедии, БСЭ:
  меры, меры, применяемые в Великобритании, США, Канаде и др. странах. Отдельные из этих мер в ряде стран несколько различаются по …
• ЯПОНИЯ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  I b82_709-0.jpg КАРТА ЯПОНСКОЙ ИМПЕРИИ. — Содержание: I. Физический очерк. 1. Состав, пространство, береговая линия. 2. Орография. 3. Гидрография. 4. …
• ЭКСТЕРЬЕР
• СЕТТЕР в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• СЕТТЕ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• РАБОЧЕ-МЯСНОЙ СКОТ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  Разведение Р.-мясного скота сосредоточено главным образом в южной и восточной полосе России, где условия хозяйства вполне способствуют успешному развитию земледелия …
• ОВЦЫ, ПОРОДЫ ОВЕЦ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  (сельскохоз.) — перешли в одомашненное состояние еще в доисторическую эпоху, а в историческое время они встречались уже у самых древних …
• МЫШЦЫ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• ЛОШАДЬ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• КОСТЮМ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона.
• ДАНИЯ в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Евфрона:
  I (датск. Danmark, нем. D?nemark, англ. Denmark, фр. Danemark, ит. Dammarca) — наименьшее из трех скандинавских государств. В состав его …

Конвертер длины и расстояния Конвертер массы Конвертер мер объема сыпучих продуктов и продуктов питания Конвертер площади Конвертер объема и единиц измерения в кулинарных рецептах Конвертер температуры Конвертер давления, механического напряжения, модуля Юнга Конвертер энергии и работы Конвертер мощности Конвертер силы Конвертер времени Конвертер линейной скорости Плоский угол Конвертер тепловой эффективности и топливной экономичности Конвертер чисел в различных системах счисления Конвертер единиц измерения количества информации Курсы валют Размеры женской одежды и обуви Размеры мужской одежды и обуви Конвертер угловой скорости и частоты вращения Конвертер ускорения Конвертер углового ускорения Конвертер плотности Конвертер удельного объема Конвертер момента инерции Конвертер момента силы Конвертер вращающего момента Конвертер удельной теплоты сгорания (по массе) Конвертер плотности энергии и удельной теплоты сгорания топлива (по объему) Конвертер разности температур Конвертер коэффициента теплового расширения Конвертер термического сопротивления Конвертер удельной теплопроводности Конвертер удельной теплоёмкости Конвертер энергетической экспозиции и мощности теплового излучения Конвертер плотности теплового потока Конвертер коэффициента теплоотдачи Конвертер объёмного расхода Конвертер массового расхода Конвертер молярного расхода Конвертер плотности потока массы Конвертер молярной концентрации Конвертер массовой концентрации в растворе Конвертер динамической (абсолютной) вязкости Конвертер кинематической вязкости Конвертер поверхностного натяжения Конвертер паропроницаемости Конвертер плотности потока водяного пара Конвертер уровня звука Конвертер чувствительности микрофонов Конвертер уровня звукового давления (SPL) Конвертер уровня звукового давления с возможностью выбора опорного давления Конвертер яркости Конвертер силы света Конвертер освещённости Конвертер разрешения в компьютерной графике Конвертер частоты и длины волны Оптическая сила в диоптриях и фокусное расстояние Оптическая сила в диоптриях и увеличение линзы (×) Конвертер электрического заряда Конвертер линейной плотности заряда Конвертер поверхностной плотности заряда Конвертер объемной плотности заряда Конвертер электрического тока Конвертер линейной плотности тока Конвертер поверхностной плотности тока Конвертер напряжённости электрического поля Конвертер электростатического потенциала и напряжения Конвертер электрического сопротивления Конвертер удельного электрического сопротивления Конвертер электрической проводимости Конвертер удельной электрической проводимости Электрическая емкость Конвертер индуктивности Конвертер Американского калибра проводов Уровни в dBm (дБм или дБмВт), dBV (дБВ), ваттах и др. единицах Конвертер магнитодвижущей силы Конвертер напряженности магнитного поля Конвертер магнитного потока Конвертер магнитной индукции Радиация. Конвертер мощности поглощенной дозы ионизирующего излучения Радиоактивность. Конвертер радиоактивного распада Радиация. Конвертер экспозиционной дозы Радиация. Конвертер поглощённой дозы Конвертер десятичных приставок Передача данных Конвертер единиц типографики и обработки изображений Конвертер единиц измерения объема лесоматериалов Вычисление молярной массы Периодическая система химических элементов Д. И. Менделеева

1 длинная (английская) тонна = 1,12 короткая тонна

Исходная величина

Преобразованная величина

килограмм грамм эксаграмм петаграмм тераграмм гигаграмм мегаграмм гектограмм декаграмм дециграмм сантиграмм миллиграмм микрограмм нанограмм пикограмм фемтограмм аттограмм дальтон, атомная единица массы килограмм-сила кв. сек./метр килофунт килофунт (kip) слаг фунт-сила кв. сек./фут фунт тройский фунт унция тройская унция метрическая унция короткая тонна длинная (английская) тонна пробирная тонна (США) пробирная тонна (брит.) тонна (метрическая) килотонна (метрическая) центнер (метрический) центнер американский центнер британский квартер (США) квартер (брит.) стоун (США) стоун (брит.) тонна пеннивейт скрупул карат гран гамма талант (Др. Израиль) мина (Др. Израиль) шекель (Др. Израиль) бекан (Др. Израиль) гера (Др. Израиль) талант (Др. Греция) мина (Др. Греция) тетрадрахма (Др. Греция) дидрахма (Др. Греция) драхма (Др. Греция) денарий (Др. Рим) асс (Др. Рим) кодрант (Др. Рим) лептон (Др. Рим) планковская масса атомная единица массы масса покоя электрона масса покоя мюона масса протона масса нейтрона масса дейтрона масса Земли масса Солнца берковец пуд Фунт лот золотник доля квинтал ливр

Линейная плотность заряда

Подробнее о массе

Общие сведения

Масса - это свойство физических тел противостоять ускорению. Масса, в отличие от веса, не изменяется в зависимости от окружающей среды и не зависит от силы притяжения планеты, на которой находится это тело. Массу m определяют при помощи второго закона Ньютона, по формуле: F = m a , где F - это сила, а a - ускорение.

Масса и вес

В обиходе часто используется слово «вес», кода говорят о массе. В физике же вес, в отличие от массы - это сила, действующая на тело благодаря притяжению между телами и планетами. Вес также можно вычислить по второму закону Ньютона: P = m g , где m - это масса, а g - ускорение свободного падения. Это ускорение возникает благодаря силе притяжения планеты, вблизи которой находится тело, и его величина также зависит от этой силы. Ускорение свободного падение на Земле равно 9,80665 метра в секунду, а на Луне - примерно в шесть раз меньше - 1,63 метра в секунду. Так, тело массой в один килограмм весит 9,8 ньютона на Земле и 1,63 ньютона на Луне.

Гравитационная масса

Гравитационная масса показывает какая гравитационная сила действует на тело (пассивная масса) и с какой гравитационной силой тело действует на другие тела (активная масса). При увеличении активной гравитационной массы тела его сила притяжения также увеличивается. Именно эта сила управляет движением и расположением звезд, планет и других астрономических объектов во вселенной. Приливы и отливы также вызваны гравитационными силами Земли и Луны.

С увеличением пассивной гравитационной массы увеличивается и сила, с которой гравитационные поля других тел действуют на это тело.

Инертная масса

Инертная масса - это свойство тела противостоять движению. Именно вследствие того, что тело имеет массу, нужно прикладывать определенную силу, чтобы сдвинуть тело с места или изменить направление или скорость его движения. Чем больше инертная масса, тем большую силу нужно для этого приложить. Масса во втором законе Ньютона - именно инертная масса. По величине гравитационная и инертная массы равны.

Масса и теория относительности

Согласно теории относительности, гравитирующая масса изменяет кривизну пространственно-временного континуума. Чем больше такая масса тела, тем сильнее это искривление вокруг этого тела, поэтому вблизи тел большой массы, таких как звёзды, траектория световых лучей искривляется. этот эффект в астрономии носит название гравитационных линз. Наоборот, вдали от больших астрономических объектов (массивные звёзды или их скопления, называемые галактиками) движение световых лучей прямолинейно.

Основным постулатом теории относительности является постулат о конечности скорости распространения света. Из этого вытекает несколько любопытных следствий. Во-первых, можно представить себе существование объектов со столь большой массой, что вторая космическая скорость такого тела будет равна скорости света, т.е. никакая информация от этого объекта не сможет попасть во внешний мир. Такие космические объекты в общей теории относительности называют «чёрными дырами» и их существование было экспериментально доказано учёными. Во-вторых, при движение объекта с околосветовой скоростью его инертная масса настолько возрастает, что, локальное время внутри объекта замедляется по сравнению со временем. измеряемым стационарными часами на Земле. Этот парадокс известен как «парадокс близнецов»: один из них отправляется в космический полёт с околосветовой скоростью, другой остаётся на Земле. По возвращении из полёта через двадцать лет, выясняется, что космонавт-близнец биологически моложе своего брата!

Единицы

Килограмм

В системе СИ масса изменяется в килограммах. Килограмм определяется исходя из точного численного значения постоянной Планка h , равной 6,62607015×10⁻³⁴, выраженной в Дж с, что равно кг м² с⁻¹, причем секунда и метр определяются по точным значениям c и Δν Cs . Массу одного литра воды можно приближенно считать равной одному килограмму. Производные килограмма, грамм (1/1000 килограмма) и тонна (1000 килограммов) не являются единицами СИ, но широко используются.

Электронвольт

Электронвольт - единица для измерения энергии. Обычно ее используют в теории относительности, а энергию вычисляют по формуле E =mc ², где E - это энергия, m - масса, а c - скорость света. Согласно принципу эквивалентности массы и энергии, электронвольт - также и единица массы в системе естественных единиц, где c равна единице, а значит, масса равна энергии. В основном электронвольты используют в ядерной и атомной физике.

Атомная единица массы

Атомная единица массы (а. е. м. ) предназначена для масс молекул, атомов, и других частиц. Одна а. е. м. равна 1/12 массы атома нуклида углерода, ¹²C. Это примерно 1,66 × 10 ⁻²⁷ килограмма.

Слаг

Слаги используются в основном в британской имперской системе мер в Великобритании и некоторых других странах. Один слаг равен массе тела, которое движется с ускорением один фут в секунду за секунду, когда к нему приложена сила в один фунт-силу. Это примерно 14,59 килограмма.

Солнечная масса

Солнечная масса - мера массы, принятая в астрономии для измерения звезд, планет и галактик. Одна солнечная масса равна массе Солнца, то есть, 2 × 10³⁰ килограммов. Масса Земли примерно в 333 000 раза меньше.

Карат

В каратах измеряют массу драгоценных камней и металлов в ювелирном деле. Один карат равен 200 миллиграммам. Название и сама величина связаны с семенами рожкового дерева (по-английски: carob, произносится «кароб»). Один карат раньше был равен весу семечка этого дерева, и покупатели носили с собой свои семена, чтобы проверить, не обманули ли их продавцы драгоценных металлов и камней. Вес золотой монеты в Древнем Риме равнялся 24 семечкам рожкового дерева, и поэтому караты стали применяться для обозначения количества золота в сплаве. 24 карата - чистое золото, 12 каратов - сплав наполовину из золота, и так далее.

Гран

Гран использовался как мера веса во многих странах до эпохи Возрождения. Он основывался на весе зерен, в основном ячменя, и других популярных в то время культур. Один гран равен около 65 миллиграммам. Это немного больше четверти карата. Пока караты не получили широкого распространения, в ювелирном деле использовались граны. Эта мера веса используется и по сей день для измерения массы пороха, пуль, стрел, а также золотой фольги в стоматологии.

Другие единицы массы

В странах, где не принята метрическая система, используют меры массы британской имперской системы. Например, в Великобритании, США и Канаде широко применяются фунты, стоуны и унции. Один фунт равен 453,6 грамма. Стоуны используются в основном только для измерения массы тела человека. Один стоун - это примерно 6,35 килограмма или ровно 14 фунтов. Унции в основном используют в кулинарных рецептах, особенно для продуктов в маленьких порциях. Одна унция это 1/16 фунта, или приблизительно 28,35 грамма. В Канаде, которая формально перешла на метрическую систему в 1970-х годах, многие продукты продаются в упаковке, рассчитанной на округленные британские единицы, например, один фунт или 14 жидких унций, однако на них указан вес или объем в метрических единицах. По-английски такую систему называют «мягкой метрической» (англ. soft metric ), в отличие от «жесткой метрической» системы (англ. hard metric ), в которой на упаковке указывают округленный вес в метрических единицах. На этом снимке показаны «мягкие метрические» упаковки продуктов питания с указанием веса только в метрических единицах и объема как в метрических, так и в имперских единицах.

Вы затрудняетесь в переводе единицы измерения с одного языка на другой? Коллеги готовы вам помочь. Опубликуйте вопрос в TCTerms и в течение нескольких минут вы получите ответ.