Единый государственный экзамен по математике базового уровня состоит из 20 заданий. В задании 20 проверяются навыки решения логических задач. Школьник должен уметь применять свои знания для решения задач на практике, в том числе на арифметическую и геометрическую прогрессию. Здесь вы можете узнать, как решать задание 20 ЕГЭ по математике базового уровня, а также изучить примеры и способы решения на основе подробно разобранных заданий.
Все задания ЕГЭ база все задания (263) ЕГЭ база задание 1 (5) ЕГЭ база задание 2 (6) ЕГЭ база задание 3 (45) ЕГЭ база задание 4 (33) ЕГЭ база задание 5 (2) ЕГЭ база задание 6 (44) ЕГЭ база задание 7 (1) ЕГЭ база задание 8 (12) ЕГЭ база задание 10 (22) ЕГЭ база задание 12 (5) ЕГЭ база задание 13 (20) ЕГЭ база задание 15 (13) ЕГЭ база задание 19 (23) ЕГЭ база задание 20 (32)
На ленте с разных сторон от середины отмечены две поперечные полоски
На ленте с разных сторон от середины отмечены две поперечные полоски: синяя и красная. Если разрезать ленту по синей полоске, то одна часть будет длиннее другой на A см. Если разрезать по красной, то одна часть будет длиннее другой на B см. Найдите расстояние от красной до синей полоски.
Задача про ленту входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
Биологи открыли разновидность амёб
Биологи открыли разновидность амёб, каждая из которых ровно через минуту делится на две. Биолог кладёт амёбу в пробирку, и ровно через N часов пробирка оказывается полностью заполненной амёбами. Сколько минут потребуется, чтобы вся пробирка заполнилась амёбами, если в неё положить не одну, а K амёб?
При демонстрации летней одежды наряды каждой манекенщицы
При демонстрации летней одежды наряды каждой манекенщицы отличаются хотя бы одним из трёх элементов: блузкой, юбкой и туфлями. Всего модельер приготовил для демонстрации A видов блузок, B вида юбок и C вида туфель. Сколько различных нарядов будет показано на этой демонстрации?
Задача про наряды входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
Группа туристов преодолела горный перевал
Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за K минут, а каждый следующий километр проходили на L минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за M минут. После отдыха N минут на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за P минут, а каждый следующий на R минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за S минут.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме
Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять K капель, а в каждый следующий день - на N капель больше, чем в предыдущий. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится M капель?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на микросхемах
По эмпирическому закону Мура среднее число транзисторов на микросхемах каждый год увеличивается в N раз. Известно, что в 2005 году среднее число транзисторов на микросхеме равнялось K млн. Определите, сколько в среднем миллионов транзисторов было на микросхеме в 2003 году.
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти
Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти, которая залегает, по данным геологоразведки, на глубине N км. В течение рабочего дня бурильщики проходят L метров в глубину, но за ночь скважина вновь «заиливается», то есть заполняется грунтом на K метров. За сколько рабочих дней нефтяники пробурят скважину до глубины залегания нефти?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер
В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано K холодильников, и в три последующих месяца продавали по L холодильников. С мая продажи увеличивались на M единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на N холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке
Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке L минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на M минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности N часов K минут, если будет следовать советам тренера?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии
Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за N часов. За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями на 1/K часть?
Задача входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г
На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б - K км, между А и В - L км, между В и Г - M км, между Г и А - N км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
Задача про бензоколонки входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в K подъезде в квартире № M, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом N-этажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
Задача про квартиры и дома входит в состав ЕГЭ по математике базового уровня для 11 класса под номером 20.
Среднее общее образование
Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)
Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)
Математика
Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения
Разбираем задания и решаем примеры с учителемЭкзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).
Минимальный порог - 27 баллов.
Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.
Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:
- часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
- часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).
Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:
«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».
Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.
Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.
Решение:
1) Найдем количество потраченной воды за месяц:
177 - 172 = 5 (куб м)
2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:
34,17 · 5 = 170,85 (руб)
Ответ: 170,85.
Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.
#ADVERTISING_INSERT#
Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?
Решение:
2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.
6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.
7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.
Ответ: 15000.
Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.
Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:
Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:
S = В + |
Г | |
2 |
S = 18 + |
6 | |
2 |
Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях
Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.
Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.
Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :
у которых все вершины красные.
3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.
4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
у которых вершины красные или с одной синей вершиной.
8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.
10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.
11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.
Ответ: 10.
Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).
Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .
Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим
2 3 + x | = 0,4 или | 2 | 3 + х | = | 2 | , | ||
5 3 + х | 5 | 5 |
откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.
Ответ: –2.
Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.
Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .
Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому
Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.
Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).
Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).
(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)
(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–y + 3 = –4x + 16| · (–1)
y – 3 = 4x – 16
y = 4x – 13, где k 1 = 4.
2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:
3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.
Ответ: –0,25.
Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.
Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому
а 3 = 216
а = 3 √216
2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.
Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:
- преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.
преобразования числовых рациональных выражений;
преобразования алгебраических выражений и дробей;
преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;
действия со степенями;
преобразование логарифмических выражений;
Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и
3π | < α < π. |
4 |
Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём
tg 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
cos 2 α | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
Значит, tg 2 α = ± 0,5.
3) По условию
3π | < α < π, |
4 |
значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.
Ответ: –0,5.
#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.
Два тела массой m
= 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v
= 10 м/с под углом 2α
друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q
= mv
2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α
(в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение.
Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α
∈ (0°; 180°).
mv 2 sin 2 α ≥ 50
2· 10 2 sin 2 α ≥ 50
200 · sin 2 α ≥ 50
Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только
Изобразим решение неравенства графически:
Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.
Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.
Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:560 = (5 + a 16) · 8,
5 + a 16 = 560: 8,
5 + a 16 = 70,
a 16 = 70 – 5
a 16 = 65.
Ответ: 65.
Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.
Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.
Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).
2) Найдем производную функции:
4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума x = –8.
Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебреЗадание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,
|
log 3 (2cosx ) = | 2 | ⇔ |
|
2cosx = 9 | ⇔ |
|
cosx = | 4,5 | ⇔ т.к. |cosx | ≤ 1, |
log 3 (2cosx ) = | 1 | 2cosx = √3 | cosx = | √3 | ||||||
2 | 2 |
то cosx = | √3 |
2 |
|
x = | π | + 2πk |
6 | |||
x = – | π | + 2πk , k ∈ Z | |
6 |
б) Найдём корни, лежащие на отрезке .
Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни
11π | и | 13π | . |
6 | 6 |
Ответ: а) | π | + 2πk ; – | π | + 2πk , k ∈ Z ; б) | 11π | ; | 13π | . |
6 | 6 | 6 | 6 |
Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.
а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.
б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.
Тогда расстояние между хордами составляет либо
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.
б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.
Значит, искомый угол равен
∠ABH = arctg | AH | = arctg | 28 | = arctg14. |
BH | 8 – 6 |
Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.
Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:
1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.
2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].
3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].
Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.
В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.
Решение: а)
1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.
2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.
3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.
BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.
2x | = | 4 – 2x |
2x (√3 + 1) | 4 |
1 | = | 2 – x |
√3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 – √3
2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )
S DEFH = 24 – 12√3.
Ответ: 24 – 12√3.
Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.
Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.
Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство
(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
x < | 7718 |
310 |
x < | 3859 |
155 |
x < 24 | 139 |
155 |
Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.
Ответ: 24.
Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.
При каких a система неравенств
x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1 | |
y + a ≤ |x | – a |
имеет ровно два решения?
Решение: Данную систему можно переписать в виде
x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1 | |
y ≤ |x | – a |
Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а
). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y
= |
x
| –
a
,
причём последний есть график функции
y
= |
x
|
, сдвинутый вниз на а
. Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.
Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.
Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,
Qr = 2a = √2, a = | √2 | . |
2 |
Ответ: a = | √2 | . |
2 |
Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.
Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.
а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.
б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .
в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.
Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:
S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,
S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27
значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.
Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.
Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.
в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.
Осталось проверить значения с 13 до 25:
S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.
Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.
Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.
________________
*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.
Сборник для подготовки к ЕГЭ (базовый уровень)
Прототип задания № 20
1. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
За 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
За 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
2. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым - 7 кусков, а если по зелёным - 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
3. В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
4. В корзине лежат 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
5. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр - на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?
6. Улитка за день залезает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева?
7. На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
8. В корзине лежат 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
9.
1) за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;
2) за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
10. В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год?
11. В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
12. Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
13. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков?
14. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
· за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;
· за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 100 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
15. В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
16. Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр - на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 8 метров?
17. Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 20 капель, а в каждый следующий день - на 3 капли больше, чем в предыдущий. После 15 дней приёма пациент делает перерыв в 3 дня и продолжает принимать лекарство по обратной схеме: в 19-й день он принимает столько же капель, сколько и в 15-й день, а затем ежедневно уменьшает дозу на 3 капли, пока дозировка не станет меньше 3 капель в день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 200 капель?
18. В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине?
19. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
20. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 5 золотых монеты получить 6 серебряных и одну медную;
2) за 8 серебряных монет получить 6 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 55 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
21. Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 22 минуты, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 4 минуты, пока оно не достигнет 60 минут, а дальше продолжать тренироваться по 60 минут каждый день. За сколько занятий, начиная с первого, Андрей проведёт на беговой дорожке в сумме 4 часа 48 минут?
22. Каждую секунду бактерия делится на две новые бактерии. Известно, что весь объём одного стакана бактерии заполняют за 1 час. За сколько секунд стакан будет заполнен бактериями наполовину?
23. В меню ресторана имеется 6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта. Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут выбрать посетители этого ресторана?
24. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
25. Сколькими способами можно поставить в ряд два одинаковых красных кубика, три одинаковых зелёных кубика и один синий кубик?
26. Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
27. В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду?
28. Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 11 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 84 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
29. На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан - это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель - это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
30. На кольцевой дороге расположены четыре бензоколонки: A, B, C и D. Расстояние между A и B - 35 км, между A и C - 20 км, между C и D - 20 км, между D и A - 30 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги в кратчайшую сторону). Найдите расстояние между B и C. Ответ дайте в километрах.
31. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)
32. В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов - хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
33. Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр - на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров?
34. Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в десятом подъезде в квартире № 333, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом девятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На каждом этаже число квартир одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
35. Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день - на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)?
36. Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
37. На кольцевой дороге расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б - 50 км, между А и В - 30 км, между В и Г - 25 км, между Г и А - 45 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по кратчайшей дуге).
Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
38. Нефтяная компания бурит скважину для добычи нефти, которая залегает, по данным геологоразведки, на глубине 3 км. В течение рабочего дня бурильщики проходят 300 метров в глубину, но за ночь скважина вновь «заиливается», то есть заполняется грунтом на 30 метров. За сколько рабочих дней нефтяники пробурят скважину до глубины залегания нефти?
39. Группа туристов преодолела горный перевал. Первый километр подъёма они преодолели за 50 минут, а каждый следующий километр проходили на 15 минут дольше предыдущего. Последний километр перед вершиной был пройден за 95 минут. После десятиминутного отдыха на вершине туристы начали спуск, который был более пологим. Первый километр после вершины был пройден за час, а каждый следующий на 10 минут быстрее предыдущего. Сколько часов группа затратила на весь маршрут, если последний километр спуска был пройден за 10 минут.
40. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
За 3 золотые монеты получить 4 серебряных и одну медную;
За 7 серебряных монет получить 4 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медные. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
41. На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым - 5 кусков, а если по зелёным - 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
42. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 4 золотые монеты получить 5 серебряных и одну медную;
2) за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
43. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 12 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
44. В бак объёмом 38 литров каждый час, начиная с 12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени (в часах) бак будет заполнен полностью.
45. В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
46. Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 7?
47. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
48. Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева?
49. На глобусе фломастером проведены 17 параллелей (включая экватор) и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделяют поверхность глобуса?
50. На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан - это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель - это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
Ответы к прототипу задания № 20
Ответ: 117700
Ответ: 77200
Ответ: 3599
Ответ: 89100
Задание №20 ЕГЭ по математике содержит задачу на сообразительность. Задачи в этом разделе более интуитивно понятно, нежели в 19 задании ЕГЭ, но тем не менее достаточно сложны для обычного школьника. Итак, перейдем к рассмотрению типовых вариантов.
Разбор типовых вариантов заданий №20 ЕГЭ по математике базового уровня
Первый вариант задания (демонстрационный вариант 2018)
- за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
- за 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Алгоритм выполнения:
- Ввести условные обозначения.
- Записать данные задачи с помощью условных обозначений.
- Логически рассуждая определить неизвестное.
Решение:
По условию золотых монет не появилось, значит все полученные после осуществления второй операции золотые монеты, Николай обменял с помощью первой операции. Золотые монеты можно менять только по 2 штуки, следовательно, вторых операций было четное число.
Введем обозначение, пусть вторых операций было 2n(число всегда четное).
Если применить вторую операцию получим:
Все золотые монеты были обменяны в ходе первой операции. За одну операцию можно обменять сразу 2 золотые монеты, значит, всего операций будет совершено (3 · 2n)/2 = 3 n. То есть
3 · 2n золотых обменяли на 3· 3n серебряных + 3n медных.
Или после преобразования:
Сопоставим результаты первой и второй операции:
5 · 2n серебряных обменяли на 3 · 2n золотых + 2n медных.
3 · 2n золотых обменяли на 9n серебряных + 3n медных
5 · 2n серебряных обменяли на 9n серебряных + 3n медных+2n медных
10 n серебряных обменяли на 9n серебряных + 5n медных
Если, обменяв 10 n серебряных монет, получим 9 n серебряных монет, то количество серебряных монет у Николая уменьшилось на n. Из последнего выражения видно, что Николай получил 5n медных монет, а по условию появилось 50 медных, то есть 5n = 50.
Второй вариант задания
Маша и Медведь съели 100 печений и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь - печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в три раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
Алгоритм выполнения:
- Сопоставить результаты.
- Найти неизвестное.
Решение:
- Так как варенье и Маша, и Медведь съели поровну, и при этом Медведь ел варенье в 3 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 3 раза дольше, чем Медведь (такую же половину).
- Тогда получается, что Медведь ел печенья в 3 раза дольше Маши и к тому же ел их в 3 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 3∙3=9 печений, съеденных Медведем.
- В сумме эти печенья составляют 1+9=10 и таких сумм в 100 печеньях ровно 100:10 = 10.
- Значит, Маша съела 10 печений, а Медведь 9∙10=90.
Третий вариант задания
Маша и Медведь съели 51 печенье и банку варенья, начав и закончив одновременно. Сначала Маша ела варенье, а Медведь - печенья, но в какой-то момент они поменялись. Медведь и то, и другое ест в четыре раза быстрее Маши. Сколько печений съел Медведь, если варенья они съели поровну?
Алгоритм выполнения:
- Определить, кто и во сколько раз дольше ел печенье.
- Определить, кто и во сколько раз дольше ел варенье.
- Сопоставить результаты.
- Найти неизвестное.
Решение:
- Так как варенье и Маша, и Медведь, съели поровну, и при этом Медведь ел варенье в 4 раза быстрее, то Маша ела варенье (свою половину) в 4 раза дольше, чем Медведь (такую же половину).
- Тогда получается, что Медведь ел печенья в 4 раза дольше Маши и к тому же ел их в 4 раза быстрее, то есть, на одно съеденное Машей печенье приходилось 4∙4=16 печений, съеденных Медведем.
- В сумме эти печенья составляют 1+16=17 и таких сумм в 51 печеньях ровно 51:17 = 3.
- Значит, Маша съела 3 печенья, а Медведь 3∙16=48.
Четвертый вариант задания
Если бы каждый из двух сомножителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 11. На самом деле каждый из двух сомножителей увеличили на 2. На сколько увеличилось произведение?
Алгоритм выполнения:
- Ввести условные обозначения.
- Преобразовать полученное выражение.
- Найти неизвестное.
Решение:
При увеличении этих сомножителей на 1 их произведение возрастает на 11, то есть,
Теперь аналогично вычислим, на сколько увеличится произведение, если сомножители увеличить на 2 и подставим уже известное нам a + b = 10:
Пятый вариант задания
Если бы каждый из двух сомножителей увеличили на 1, их произведение увеличилось бы на 3. На самом деле каждый из двух сомножителей увеличили на 5. На сколько увеличилось произведение?
Алгоритм выполнения:
- Ввести условные обозначения.
- Записать первое условие с помощью условных обозначений.
- Преобразовать полученное выражение.
- Записать с помощью условных обозначений второе условие.
- Преобразовать полученное выражение.
- Найти неизвестное.
Решение:
Пусть первый сомножитель равен a, а второй b, их произведение равно ab.
При увеличении этих сомножителей на 1 их произведение возрастает на 3, то есть,
Перенесем произведение ab в левую часть с противоположным знаком и раскроем скобки перемножив.
Теперь аналогично вычислим, на сколько увеличится произведение, если сомножители увеличить на 5 и подставим уже известное нам a + b = 2:
Вариант двадцатого задания 2017
Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными отрезками. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 24, 28 и 16. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.
Перерисуем прямоугольник в удобном для нас виде:
Теперь составим уравнения с помощью формулы периметра прямоугольника:
Вариант двадцатого задания 2019 года (1)
Список заданий викторины состоял из 25 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 10 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 42 очка, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Алгоритм выполнения
- Составляем комбинации правильных и неправильных ответов и определяем кол-во баллов в них, например: 1) 1 прав+1 неправ=7–10=–3 балла; 2) 2 прав+1неправ=2·7–10=4 балла и т.д.
- Из баллов за прав.ответы и баллов за их комбинации «набираем» 42 балла. Подсчитываем кол-во вопросов, которые при этом были заданы.
- Оставшуюся разницу между полученным числом вопросов и данными 25-ю вопросами определяем как те, на которые не было дано ответа.
- Делаем проверку полученного результата.
Решение:
Введем обозначения: прав.ответ – 1П, неправ.ответ – 1Н.
Задаем комбинации и определяем кол-во баллов, которое при этом будет начислено:
1П=7 баллов
1П+1Н=7–10=–3 б.
2П+1Н=2·7–10=4 б.
3П+1Н=3·7–10=11 б.
Суммируем баллы, которые можно при этом получить: 7+ (–3)+4+11=19. Это явно мало. И гарантированно можно добавить еще 11: 19+11=30. Чтобы «добрать» до 42 баллов, нужно далее добавить 12 баллов, которые набираются тройным вхождением 4-х баллов. В целом получаем:
7+(–3)+4+11+11+3·4=42.
Распишем полученную комбинацию слагаемых в виде ответов:
1П+(1П+1Н)+(2П+1Н)+(3П+1Н)+(3П+1Н)+3·(2П+1Н)=1П+1П+1Н+2П+1Н+3П+1Н+3П+1Н+6П+3Н=16П+7Н (ответов).
16+7=23 ответа. 25–23=2 ответа, за которые было получено по 0 баллов, т.е. это вопросы, оставшиеся без ответов.
Итак, по нашим подсчетам верных ответов было дано 16.
Проверим это:
16 ответов по 7 б. + 7 ответов по (–10) б. + 2 ответа по 0 б. = 16·7–7·10+2·0=112–70+0=42 (балла).
Вариант двадцатого задания 2019 года (2)
В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором – 97, в третьем – 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?
Алгоритм выполнения
- Находим общую сумму для всех чисел в таблице (сложив суммы для каждого из 3-х столбцов).
- Определяем диапазон допустимых значений для сумм чисел в каждой строке.
- Разделив общую сумму сначала на наименьшую сумму чисел в каждой строке, а затем на наибольшую, получаем искомое кол-во строк.
Решение:
Общая сумма чисел в таблице равна: 103+97+93=293.
Поскольку по условию суммы чисел в каждой строке составляют >21, но <24, то кол-во строк X может быть равным меньше, чем 293:21≈13,95, и больше, чем 293:24≈12,21. Т.е.: 12,21 < X < 13,95. Единственное целое число в полученном диапазоне – 13. Значит, искомое кол-во строк равно 13.
Вариант двадцатого задания 2019 года (3)
В доме всего восемнадцать квартир с номерами от 1 до 18. В каждой квартире живет не менее одного и не более трех человек. В квартирах с 1-й по 13-ю включительно живет суммарно 15 человек, а в квартирах с 11-й по 18-ю включительно живет суммарно 20 человек. Сколько всего человек живет в этом доме?
Алгоритм выполнения
- Определяем максимальное кол-во живущих в 11–13-й квартирах, используя данные о том, сколько человек живет в 1–13-й квартирах.
- Находим минимальное число жильцов 11–13-й квартир, учитывая данные о живущих в 11–18-й квартирах.
- Сопоставляет данные, полученные в пп.1–2, получаем точное кол-во жильцов этих квартир №№11–13.
- Находим кол-во живущих в квартирах 1–10-й и 14–18-й.
- Вычисляем общее число жильцов дома.
Решение:
В первых 13 квартирах (с 1-й по 13-ю) живет 15 человек. Это означает, что в 11-ти квартирах живет по 1 человеку плюс в 2-х квартирах по 2 человека (11·1+2·2=15). Следовательно, в 11–13-й (т.е. в 3-х) квартирах проживает не менее 3-х и не более 5 (1+2+2) человек.
Во вторых 8 квартирах (11-й по 18-ю) проживает 20 человек. При этом с 14-й по 18-ю квартиры (т.е. в 5 квартирах) не может проживать более чем 5·3=15 человек. А следовательно, в 11-13-й квартирах живет не менее, чем 20–15=5 человек.
Т.е. с одной стороны в 11-13-й квартирах должно жить не более 5 человек, а с другой – не менее 5. Вывод: в этих квартирах живет ровно 5 человек, т.к. других допустимых для обоих случаев значений тут нет.
Тогда получаем: в 1–10-й квартирах живет 15–5=10 человек, в 14–18-й – 20–5=15 человек. Всего в доме проживает: 10+5+15=30 человек.
Вариант двадцатого задания 2019 года (4)
В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
- за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
- за 7 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Алгоритм выполнения
- Определяем кол-во серебряных монет, которые необходимы Николаю для совершения двойного обмена так, чтобы у него не появились золотые монеты. Двойной обмен – это обмен сначала серебряных монет на золотые и медные, а затем золотые на серебряные и медные.
- Определяем кол-во разных монет, которые появятся у Николая в результате 1 двойного обмена.
- Вычисляем кол-во двойных обменов, которые необходимо совершить, чтобы появилось 45 медных монет.
- Находим кол-во серебряных монет, которые должен был иметь Николай изначально, чтобы совершить нужное кол-во обменов, и которые получил в результате всех обменов.
- Определяем искомую разницу.
Решение:
Совершить 1-й обмен Николай должен по 2-й схеме, т.к. у него есть только серебряные монеты. Для того же, чтобы в результате у него не оказалось золотых монет, нужно найти минимальное кратное для 5 золотых, которые он получит, и 4 золотых, которые у него за 1 раз могут принять в полном объеме (без остатка). Это – число 20.
Соответственно, чтобы получить 20 золотых монет, у Николая должно быть 20:5=4 комплекта серебряных монет по 7 штук. Значит, первоначально их у него должно быть 4·7=28. И при этом Николай получает еще и 1·4=4 медных монеты.
Совершая обмен, Николай отдает 20:4=5 комплектов золотых медалей. Взамен он получает 5·5=25 серебряных монет и 1·5=5 медных монет.
Т.о., в результате одного обмена у Николая появится 25 серебряных монет и 4+5=9 медных монет. Поскольку в итоге у Николая оказалось 45 медных монет, значит, было совершено 45:9=5 двойных обменов.
Если в результате 1 двойного обмена у Николая оказалось 25 серебряных монет, то после 5 таких обменов у него их окажется 25·5=125 штук. А первоначально он должен был для этого иметь 28·5=140 серебряных монет. Следовательно, их количество у Николая уменьшилось на 140–125=15 штук.
Вариант двадцатого задания 2019 года (5)
Во всех подъездах дома одинаковое число этажей, и на всех этажах одинаковое число квартир. При этом число этажей в доме больше числа квартир на этаже, число квартир на этаже больше числа подъездов, а число подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нем 357 квартир?
Алгоритм выполнения
- Определяем уравнение для определения кол-ва квартир в доме всего через параметры, заявленные в условии (т.е. через кол-во квартир на этаже и т.д.).
- Раскладываем 357 на множители.
- Находим соответствие полученных множителей конкретным параметрам, сходя из условия о том, какой из параметров больше или меньше прочих.
Решение:
Т.к. на всех этажах одинаковое кол-во квартир (Х), по всех подъездах одинаковое кол-во этажей (Y), то обозначив кол-во подъездов через Z, можем записать: 357=X·Y·Z.
Разложим 357 на простые множители. Получим: 357=3·7·17·1. Причем это единственный вариант расклада. Т.к. Y>X>Z>1, то единицу в раскладе не учитываем и определяем, что Z=3, X=7, Y=17.
Поскольку кол-во этажей было обозначено через Y, то искомое число – 17.
Вариант двадцатого задания 2019 года (6)
Из десяти стран семь подписали договор о дружбе ровно с тремя странами, а каждая из оставшихся трех – ровно с семью. Сколько всего было подписано договоров?
Алгоритм выполнения
- Подсчитываем кол-во договоров, подписанных 7-ю странами.
- Определяем кол-во договоров, которые подписали 3 оставшиеся страны.
- Находим общее кол-во подписанных договоров. Делим его на 2, т.к. договоры двусторонние.
Решение:
Первые 7 стран подписали договоры с 3 странами, т.е. на этих договорах поставлено 7·3=21 подпись. Аналогично остальные 3 страны при оформлении договоров с 7-ю странами поставили 3·7=21 подпись. Значит, всего поставлено 21+21=42 подписи.
Т.к. все договоры двусторонние, то это значит, что на каждом из них зафиксировано 2 подписи. Следовательно, договоров вдвое меньше, чем подписей, т.е. 42:2=21 договор.
Вариант двадцатого задания 2019 года (7)
На поверхности глобуса фломастером проведены 13 параллелей и 25 меридианов. На сколько частей проведенные линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан – это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель – это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора.
Алгоритм выполнения
- Доказываем, что параллели делят глобус на 13+1 часть.
- Доказываем, что меридианы делят глобус на 25 частей.
- Определяем кол-во частей, на которые в целом разделен глобус, как произведение найденных чисел.
Решение:
Если всякая параллель – это окружность, то она является замкнутой линией. А это означает, что 1-я параллель делит глобус на 2 части. Далее 2-я параллель обеспечивает деление на 3 части, 3-я – на 4 и т.д. В итоге 13 параллелей разделят глобус на 13+1=14 частей.
Меридиан является дугой окружности, соединяющей полюса, т.е. замкнутой линией она не является и глобус на части не делит. А вот 2 меридиана уже делят, т.е. 2 меридиана обеспечивают деление на 2 части, далее 3-й меридиан добавляет 3-ю часть, 4-й – 5-ю часть и т.д. Значит, в конечном счете, 25 меридианов создает на глобусе 25 частей.
Всего частей на глобусе получается: 14·25=350 частей.
Вариант двадцатого задания 2019 года (8)
В корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов – хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Алгоритм выполнения
- Определяем кол-во груздей среди 12 грибов и рыжиков среди 20 грибов.
- Доказываем, что имеется единственно верное число, отображающее кол-во рыжиков. Фиксируем его в ответе.
Решение:
Если среди 12 грибов есть как минимум 1 рыжик, значит, груздей здесь не более 11. Если среди 20 грибов имеется не менее 1 груздя, то тут не более 19 рыжиков.
Это означает, что если груздей не может быть больше 11, то рыжиков не может быть меньше 30–11=19 штук. Т.е. рыжиков с одной стороны не больше 19, а с другой – не меньше 19. Следовательно, рыжиков может быть только ровно 19.
Вариант двадцатого задания 2019 года (9)
Если бы каждый из двух множителей увеличили на 1, то их произведение увеличилось бы на 3. На сколько увеличится произведение этих множителей, если каждый из них увеличить на 5?
Алгоритм выполнения
- Вводим обозначения для множителей. Это позволит выразить и первоначальное произведение (до увеличения множителей).
- Составляем уравнение для ситуации, когда множители увеличены на 1. Выполняем преобразования. Получаем новое выражение, отображающее связь между первоначальными множителями.
- Составляем уравнение для ситуации, когда множители увеличены на 5. Выполняем преобразования. Вводим в уравнение выражение, полученное в п.2, находим искомую разницу.
Решение:
Пусть 1-й множитель равен х, 2-й – у. Тогда их произведение – ху.
После того, как множители увеличены на 1, получаем:
(х+1)(у+1)=ху+3
ху +у+х+1= ху +3
После увеличения множителей на 5 имеем:
(х+5)(у+5)=ху+N, где N – искомая разница произведений.
Выполняем преобразования:
ху+5у+5х+25=ху+N
N= ху +5у+5х+25– ху
Т.к. выше уже определено, что х+у=2, то получим:
Вариант двадцатого задания 2019 года (10)
Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живет в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком этаже живет Саша? (На всех этажах число квартир одинакова, нумерация квартир в доме начинается с единицы.)
Алгоритм выполнения
- Способом подбора определяем кол-во квартир на площадке. Это должно быть такое число, чтобы номер квартиры оказался большим, чем кол-во квартир в 6-ти подъездах, однако меньшим, чем кол-во квартир в 7-ми.
- Определяем кол-во квартир в 6-ти подъездах. От 462 отнимаем это кол-во и делим на число квартир на площадке. Так узнаем искомый номер этажа. Примечание: 1) если получено целое число, то искомый номер этажа на 1 больше, чем вычисленное значение; 2) если получено дробное число, то номером этажа будет округленный в большую сторону результат.
Решение:
Ищем кол-во квартир на площадке, проверяя число за числом.
Предположим, что это кол-во равно 3. Тогда получим, что в 7 подъездах на 6 этажах имеется 7·6·3=126 квартир,
а в 7 подъездах на 7 этажах 7·7·3=147 квартир.
Квартира №462 точно не попадает в диапазон квартир №№126–147.
Аналогично проверяя числа 4, 5 и т.д., придем к числу 10. Докажем, что именно оно подходит:
в 7 подъездах на 6 этажах находится 7·6·10=420 квартир,
в 7 подъездах на 7 этажах: 7·7·10=490 квартир. Поскольку 420<462<490, то условие задания выполнено.
Для того чтобы попасть в квартиру №462, нужно пройти мимо 462–420=42 квартир. Т.к. на каждой площадке находится 10 квартир, то 42:10=4,2 этажей для этого нужно преодолеть. 4,2 означает, что 4 этажа нужно пройти полностью и подняться на 5-й. Т.о., искомый этаж – 5-й.
Задание 20 Базовый уровень ЕГЭ
1)Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 1 м. Высота дерева 13 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? (4-1 =3, утро 4 дня окажется на высоте 9м, и за день проползет 4м. Ответ: 4 )
2)Улитка за день заползает вверх по дереву на 4 м, а за ночь сползает на 3 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка впервые доползёт до вершины дерева? Ответ: 7
3)Улитка за день залезает вверх по дереву на 3 м, а за ночь спускается на 2 м. Высота дерева 10 м. За сколько дней улитка поднимется на вершину дерева?Ответ:8
4) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 15 кусков, если по жёлтым - 5 кусков, а если по зелёным - 7 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? (Если распилить палку по красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий - 14. Если распилить палку по желтым - 5 кусков, следовательно, линий - 4. Если распилить по зеленым - 7 кусков, линий - 6. Всего линий: 14 + 4 + 6 = 24 линии. Ответ: 25 )
5) На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 5 кусков, если по жёлтым - 7 кусков, а если по зелёным - 11 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Ответ : 21
6)На палке отмечены поперечные линии красного, жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится 10 кусков, если по жёлтым - 8 кусков, если по зелёным - 8 кусков. Сколько кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов? Ответ : 24
7) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
За 2 золотых монеты получить 3 серебряных и одну медную;
За 5 серебряных монет получить 3 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 10
8)В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
· за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;
· за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 100 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая ? Ответ: 20
9) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы? Ответ: 10
10) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
2) за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы? Ответ: 30
11) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 4 золотых монеты получить 5 серебряных и одну медную;
2) за 8 серебряных монет получить 5 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 45 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая? Ответ: 35
12)В корзине лежит 50 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 28 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько груздей в корзине? ( (50-28)+1=23 - должно быть рыжиков. (50-24)+1=27 - должно быть груздей. Ответ: груздей в корзине 27 .)
13)В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? (Согласно условию задачи: (40-17)+1=24 - должно быть рыжиков. (40-25)+1=16 24 .)
14) корзине лежит 30 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 12 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 20 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? (Согласно условию задачи: (30-12)+1=19 - должно быть рыжиков. (30-20)+1=11 - должно быть груздей. Ответ: рыжиков в корзине 19 .)
15)В корзине лежит 45 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 23 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 24 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? (Согласно условию задачи: (45-23)+1=23 - должно быть рыжиков. (45-24)+1=22 - должно быть груздей. Ответ: рыжиков в корзине 23 .)
16)В корзине лежит 25 грибов: рыжики и грузди. Известно, что среди любых 11 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 16 грибов хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине? (Так как среди любых 11 грибов хотя бы один – рыжик, то груздей не больше 10. Так как среди любых 16 грибов хотя бы один – груздь, то рыжиков не больше 15. А так как всего в корзине 25 грибов, то груздей ровно 10, а рыжиков ровно Ответ:15.
17)Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 4200 рублей, а за каждый следующий метр - на 1300 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 11 метров?(Ответ: 117700)
18) Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3700 рублей, а за каждый следующий метр - на 1700 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 8 метров? (77200 )
19) Хозяин договорился с рабочими, что они копают колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3500 рублей, а за каждый следующий метр - на 1600 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько денег хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 9 метров? (89100 )
20) Хозяин договорился с рабочими, что они выкопают ему колодец на следующих условиях: за первый метр он заплатит им 3900 рублей, а за каждый следующий метр будет платить на 1200 рублей больше, чем за предыдущий. Сколько рублей хозяин должен будет заплатить рабочим, если они выкопают колодец глубиной 6 метров? (41400)
21) Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать советам тренера? (5 )
22) Тренер посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке 22 минуты, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое на беговой дорожке, на 4 минуты, пока оно не достигнет 60 минут, а дальше продолжать тренироваться по 60 минут каждый день. За сколько занятий, начиная с первого, Андрей проведёт на беговой дорожке в сумме 4 часа 48 минут? (8 )
23) В первом ряду кинозала 24 места, а в каждом следующем на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в восьмом ряду? (38 )
24)Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 3 капли, а в каждый следующий день - на 3 капли больше, чем в предыдущий. Приняв 30 капель, он ещё 3 дня пьёт по 30 капель лекарства, а потом ежедневно уменьшает приём на 3 капли. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 20 мл лекарства (что составляет 250 капель)? (2) сумму арифметической прогрессии с первым членом, равным 3, разностью, равной 3 и последним членом, равным 30.; 165 + 90 + 135 = 390 капель; 3+ 3(n -1)=30; n =10 и 27- 3(n -1)=3; n =9
25) Врач прописал пациенту принимать лекарство по такой схеме: в первый день он должен принять 20 капель, а в каждый следующий день - на 3 капли больше, чем в предыдущий. После 15 дней приёма пациент делает перерыв в 3 дня и продолжает принимать лекарство по обратной схеме: в 19-й день он принимает столько же капель, сколько и в 15-й день, а затем ежедневно уменьшает дозу на 3 капли, пока дозировка не станет меньше 3 капель в день. Сколько пузырьков лекарства нужно купить пациенту на весь курс приёма, если в каждом содержится 200 капель? (7 ) выпьет 615 + 615 + 55 = 1285 ;1285: 200 = 6,4
26)В магазине бытовой техники объём продаж холодильников носит сезонный характер. В январе было продано 10 холодильников, и в три последующих месяца продавали по 10 холодильников. С мая продажи увеличивались на 15 единиц по сравнению с предыдущим месяцем. С сентября объём продаж начал уменьшаться на 15 холодильников каждый месяц относительно предыдущего месяца. Сколько холодильников продал магазин за год? (360) (5*10+2*25+2*40+2*55+70=360
27) На поверхности глобуса фломастером проведены 12 параллелей и 22 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса?
Меридиан - это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель - это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора. (13 · 22= 286)
28) На поверхности глобуса фломастером проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей проведённые линии разделили поверхность глобуса? Меридиан - это дуга окружности, соединяющая Северный и Южный полюсы. Параллель - это окружность, лежащая в плоскости, параллельной плоскости экватора. (18 · 24 = 432)
29)Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 7? (2) Если бы условие задачи звучало так: «Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение гарантировано делилось на 7?» То нужно было бы взять семь подряд идущих чисел.
30)Какое наименьшее число идущих подряд чисел нужно взять, чтобы их произведение делилось на 9? (2)
31)Произведение десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток? (0) Среди 10 подряд идущих чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен нулю.
32)Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 6 прыжков, начиная прыгать из начала координат? ( кузнечик может оказаться в точках: −6, −4, −2, 0, 2, 4 и 6; всего 7 точек.)
33)Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 12 прыжков, начиная прыгать из начала координат? (кузнечик может оказаться в точках: −12, −10, −8, −6, −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, 10 и 12; всего 13 точек.)
34)Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков, начиная прыгать из начала координат?(может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.)
35)Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 8 прыжков, начиная прыгать из начала координат?
Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с чётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, - чётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает восьми. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −8, −6, -2 ; −4, 0,2 , 4, 6, 8 всего 9 точек.